Бакалавриат
2020/2021
Математический анализ
Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус:
Курс обязательный (Совместный бакалавриат НИУ ВШЭ и ЦПМ)
Направление:
01.03.01. Математика
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
2-й курс, 1-4 модуль
Формат изучения:
без онлайн-курса
Преподаватели:
Богачев Владимир Игоревич,
Глуцюк Алексей Антонович,
Львовский Сергей Михайлович,
Рыбников Григорий Леонидович,
Степанов Евгений Олегович,
Такэбэ Такаси,
Шилин Иван Сергеевич
Язык:
русский
Кредиты:
8
Контактные часы:
202
Программа дисциплины
Аннотация
Курс посвящен 1) знакомству с основными понятиями, конструкциями и результатами теории меры и интеграла Лебега и связанными с интегралом Лебега концепциями теории функции действительного переменного (абсолютно непрерывные функции, функции ограниченной вариации, интеграл Лебега-Стилтьеса) и 2) знакомству с рядами и преобразованием Фурье, а также с основами теории обобщенных функций.
Цель освоения дисциплины
- Знакомство с основными понятиями, конструкциями и результатами теории меры и интеграла Лебега.
- Знакомство с рядами и преобразованием Фурье и их свойствами и применениями, а также с основами теории обобщенных функций.
Планируемые результаты обучения
- знакомство с основными понятиями, конструкциями и результатами теории меры и интеграла Лебега
- Знакомство с Евклидовым пространством, ортогональными базисами и процессом ортогонализации.
- Знакомство с неравенством Бесселя, замкнутыми ортогональными системы и равенством Парсеваля.
- Знакомство с гилбертовыми пространствами
- Знакомство с пространствами L1 и L2
- Различные типы сходимости
- Знакомство с рядами Фурье. Свойства и применение
- Знакомство с обобщенными функциями и действиям с ними
- Знакомство с задачами Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Полнота системы собственных функций
- Применение интеграла Фурье
- Преобразования Фурье. Свойства и применение
Содержание учебной дисциплины
- Меры, мера Лебега
- Измеримые функции, сходимость по мере
- Интеграл Лебега
- Теория дифференцирования (абсолютно непрерывные функции, функции ограниченной вариации)
- Нормированные и банаховы пространства. Примеры.
- Евклидово пространство. Ортогональные базисы. Процесс ортогонализации.
- Неравенство Бесселя. Замкнутые ортогональные системы. Равенство Парсеваля.
- Вещественный и комплексные гильбертовы пространства. Теорема об изоморфизме.
- Пространства L1 и L2. Теоремы о полноте этих пространства.
- Различные типы сходимости: равномерная, в среднем, почти всюду, по мере.
- Ортогональные системы функций в L2. Тригонометрические ряды Фурье.
- Многочлены Лежандра и Чебышева. Ряды Фурье в n-мерном пространстве.
- Условия сходимости ряда Фурье в точке. Интеграл Дирихле. Условие Дини.
- Условия равномерной сходимости ряда Фурье. Теорема Фейера.
- Полнота тригонометрической системы. Теоремы Вейерштрасса.
- Гладкость функции и скорость убывания коэффициентов ряда Фурье.
- Применение рядов Фурье. Изопериметрическое неравенство. Метод Фурье разделения переменных.
- Решение методом Фурье одномерного уравнения теплопроводности на отрезке.
- Решение методом Фурье уравнения упругих колебаний струны.
- Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Полнота системы собственных функций.
- Интеграл Фурье. Теорема об обращении. Интеграл Фурье в комплексной форме.
- Преобразование Фурье в пространстве L1(R).
- Преобразование Фурье в пространстве Шварца и его свойства. Свертка функций.
- Применение преобразования Фурье для решения уравнения теплопроводности в R^1. Формула Пуассона.
- Решение уравнения теплопроводности в R^n. Решение уравнения упругих колебаний бесконечной струны с помощью преобразования Фурье.
- Преобразование Фурье свертки функций. Преобразование Фурье в пространстве L2(R). Теорема Планшереля.
- Обобщенные функции и действия с ними.
Элементы контроля
- Экзамен
- Сдача листков
- Работа на семинарах
- Экзамен
- Коллоквиум
- Сдача листков
- Работа на семинарах
- Контрольная работа #1
- Контрольная работа #2
- Контрольная работа #3
Промежуточная аттестация
- Промежуточная аттестация (2 модуль)Оценка за семестр является средневзвешенной оценкой за экзамен (0.25), коллоквиум (0.25), участие в семинарах (0.3) и оценкой за листки (0.2); в скобках указаны веса компонентов. Оценка за семинары выставляется семинаристом на основании активности работы на семинарах и результатов проведенных контрольных работ.
- Промежуточная аттестация (4 модуль)Итоговая оценка за четвертый семестр является взвешенной суммой из четырех компонент: участие в семинарах, сдача листков, коллоквиум и экзамен, которые выставляются по 10-балльной шкале. В итоговую оценку компоненты входят со следующими весами: ● участие в семинарах — 0,3 ● сдача задач листков — 0,3 ● коллоквиум — 0,25 ● экзамен — 0,25
