Математический анализ

Специалитет 2020/2021

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс обязательный (Компьютерная безопасность)

Кто читает: Департамент прикладной математики

Где читается: Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Когда читается: 1-й курс, 1-4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Анашкин Александр Владимирович, Гайдуков Роман Константинович, Кочетков Юрий Юрьевич, Кузьмина Людмила Ивановна, Чухно Андрей Борисович

Специальность: 10.05.01. Компьютерная безопасность

Язык: русский

Кредиты: 10

Контактные часы: 180

Полная версия программы учебной дисциплины Задать вопрос

Аннотация

При изложении дисциплины «Математический анализ» используются знания и умения, полученные обучаемыми в рамках школьной программы, а также при изучении дисциплин базовой части «Алгебра» и «Геометрия». Знания и практические навыки, полученные по дисциплине «Математический анализ», используются в изучении • дисциплин базовой части: «Теория вероятностей и математическая статистика», «Математическая логика и теория алгоритмов», «Дискретная математика», «Теория информации», «Физика»; • дисциплин вариативной части: «Дифференциальные уравнения», «Функциональный анализ»; • дисциплины по выбору: «Теория функций комплексного переменного», «Случайные процессы», «Численные методы», «Квантовые вычисления».

Цель освоения дисциплины

Ознакомление студентов с понятиями и методами математического анализа;
Ознакомление студентов с математическими методами и подходами к решению прикладных задач;
Формирование у студентов естественнонаучного мировоззрения и развитие у них системного мышления.

Планируемые результаты обучения

Студент должен знать: • основные положения теории пределов и непрерывных функций одной и нескольких действительных переменных, теории неявных функций и ее приложений к задачам на условный экстремум; • основные теоремы дифференциального исчисления функций одной и нескольких действительных переменных, основные теоремы теории интегрального исчисления функции одной и нескольких действительных переменных;
Студент должен уметь: • решать задачи на вычисление пределов функций, дифференцирование и интегрирование функций одной и нескольких действительных переменных; •определять возможности применения методов математического анализа для постановки и решения конкретных прикладных задач.
Студент должен иметь навыки (приобрести опыт): • использования стандартных методов и моделей математического анализа и их применения к решению прикладных задач.

Содержание учебной дисциплины

Вводная часть, числовые последовательности и их пределы.
Действительные, рациональные, натуральные числа. Отношения эквивалентности и порядка. Расширенная числовая прямая. Верхние и нижние грани числовых множеств. Теорема о вложенных отрезках. Открытые и замкнутые множества. Понятие окрестности точки. Граничные, предельные, внутренние и изолированные точки множества. Теорема Больцано- Вейерштрасса. Числовые последовательности и их пределы; свойства пределов последовательностей.
Действительные функции одной действительной переменной.
Понятие функции. Предел функции. Основные свойства предела функции, локальные свойства функции, имеющей предел. Непрерывные функции и их основные локальные свойства; элементарные функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций, эквивалентные функции. Точки разрыва, их классификация. Точки разрыва монотонной функции. Равномерная непрерывность. Свойства функций, непрерывных на отрезке: теоремы Вейерштрасса, Больцано-Коши, Кантора. Обратные функции, признак непрерывности. Производная, дифференцируемые функции и их свойства. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, формула Тейлора, правило Лопиталя. Признаки монотонности. Экстремумы. Направления вогнутости. Точки перегиба. Асимптоты. Построение графика функции с помощью производных.
Интегральное исчисление функций одной действительной переменной.
Первообразная. Неопределенный интеграл и его основные свойства. Замена переменной. Интегрирование по частям. Определенный интеграл и его свойства. Классы интегрируемых функций. Теорема о среднем. Свойства интеграла Римана, как функции верхнего предела интегрирования. Существование первообразной у непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница. Геометрические приложения определённого интеграла. Замена переменной, интегрирование по частям. Спрямляемые кривые; длина кривой. Несобственные интегралы. Абсолютная сходимость. Признаки сходимости.
n-мерные евклидовы пространства, функции нескольких переменных, предел и непрерывность.
Конечномерные евклидовы пространства. Граничные, предельные, внутренние и изолированные точки множеств. Открытые и замкнутые множества. Компактные множества. Связные множества. Предел последовательности точек метрического пространства. Связь с пределами координатных последовательностей. Предел и непрерывность отображения одного метрического пространства в другое, локальные свойства непрерывных функций и функций, имеющих предел. Равномерная непрерывность. Глобальные свойства функций нескольких переменных, непрерывных на компакте и на связном множестве.
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
Частные производные. Производная по направлению. Градиент. Достаточное условие дифференцируемости. Основные свойства дифференцируемых вектор-функций. Дифференцирование сложных вектор-функций. Инвариантность формы первого дифференциала. Частные производные высших порядков. Теорема Шварца Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функций нескольких переменных. Необходимое условие существования локального экстремума, достаточное условие. Дифференцируемые отображения. Производная, дифференциал, матрица Якоби, якобиан. Связь с дифференцируемостью координатных функций.
Обратные отображения и неявные функции.
Обратные отображения, их непрерывность и дифференцируемость. Неявные функции, теоремы существования. Дифференцирование неявных функций. Замена переменных в дифференциальных выражениях. Условный экстремум.

Элементы контроля

Контрольная работа №1
При выполнении контрольных работ студенту не разрешается использовать конспекты лекций и семинаров, справочные материалы, учебники, электронные средства и т.д.
Контрольная работа №2
При выполнении контрольных работ студенту не разрешается использовать конспекты лекций и семинаров, справочные материалы, учебники, электронные средства и т.д.
Коллоквиум №1м
Коллоквиумы, как правило, проводится в 2 этапа: 1. Допуск к коллоквиуму – Проверяется знание студентом нескольких (список сообщается заранее) основных определений. Успешно сдавший первый этап студент получает 1 балл и допускается ко второму этапу. 2. Коллоквиум - Проверяется знание студентом основных определений и результатов с доказательствами. Список вопросов студентам сообщается заранее.
Аудиторная
Контрольная работа №3
При выполнении контрольных работ студенту не разрешается использовать конспекты лекций и семинаров, справочные материалы, учебники, электронные средства и т.д.
Контрольная работа №4
При выполнении контрольных работ студенту не разрешается использовать конспекты лекций и семинаров, справочные материалы, учебники, электронные средства и т.д.
Промежуточный экзамен №1
На экзамене студенту не разрешается использовать конспекты лекций и семинаров, справочные материалы, учебники, электронные средства и т.д.
Промежуточный экзамен №2
На экзамене студенту не разрешается использовать конспекты лекций и семинаров, справочные материалы, учебники, электронные средства и т.д.
Коллоквиум 3м
Коллоквиум проводится в 2 этапа: 1. Допуск к коллоквиуму (предколлоквиум) – Проводится в виде теста. Студент, получивший 6 или более баллов, допускается ко второму этапу. 2. Коллоквиум - Проверяется знание студентом основных определений и результатов с доказательствами. Список вопросов студентам сообщается заранее.

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
Промежуточная оценка складывается из среднего арифметического с коэффициентом 0,4 оценок за коллоквиум и две контрольные, оценки за аудиторную работу с коэффициентом 0,1 и оценки за экзамен с коэффициентом 0,5.
Промежуточная аттестация (4 модуль)
Промежуточная оценка складывается из среднего арифметического с коэффициентом 0,4 оценок за коллоквиум и две контрольные, оценки за аудиторную работу с коэффициентом 0,1 и оценки за экзамен с коэффициентом 0,5.

Программа дисциплины