Бакалавриат 2020/2021

Уравнения математической физики

Статус: Курс обязательный (Прикладная математика)

Направление: 01.03.04. Прикладная математика

Кто читает: Департамент прикладной математики

Где читается: Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Когда читается: 3-й курс, 3, 4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Новикова Елена Михайловна, Синельщиков Дмитрий Игоревич

Язык: русский

Кредиты: 4

Контактные часы: 80

Программа дисциплины

Аннотация

В ходе изучения дисциплины студенты познакомятся с основными типами уравнений математической физики и методами их вывода из физических моделей, а также научатся решать основные типы уравнений математической физики.

Цель освоения дисциплины

• Изучение математических основ моделирования физических процессов
• Обучение основным методам аналитического решения линейных дифференциальных уравнений с частными производными

Планируемые результаты обучения

• Знает основные типы уравнений математической физики и методы их вывода из физических моделей
• Умеет решать квазилинейные уравнения с частными производными первого порядка и задачу Коши для уравнения Гамильтона-Якоби.
• Умеет решать задачи (с начальными и начально-краевыми условиями) для уравнений с частными производными параболического типа.
• Знает понятие фундаментального решения.
• Умеет выводить фундаментальные решения оператора теплопроводности, волнового оператора, операторов Лапласа и Гельмгольца.
• Умеет решать задачи с начальными и начально-краевыми условиями для волнового уравнения.
• Имеет навыки решения краевых задач для уравнения Лапласа и Гельмгольца.

Содержание учебной дисциплины

• Уравнения с частными производными первого порядка
  Классификация уравнений с частными производными первого порядка. Решение линейных и квазилинейных уравнений с частными производными первого порядка. Задача Коши для линейного и квазилинейного уравнения с частными производными первого порядка. Метод характеристик. Геометрический смысл решения. Нелинейные уравнения с частными производными первого порядка. Система Гамильтона. Задача Коши для нестационарного уравнения Гамильтона-Якоби. Задача Коши для стационарного уравнения Гамильтона-Якоби.
• Обобщенные функции
  Два способа описания функций: поточечное описание и описание через средние. Основные определения и примеры. Регулярные и сингулярные обобщенные функции. Операции с обобщенными функциями. Производная кусочно-гладкой функции. Обобщенные решения дифференциальных уравнений. Преобразование Фурье обобщенных функций и его свойства. Фундаментальные решения дифференциальных операторов.
• Уравнения параболического типа
  Классификация уравнений с частными производными второго порядка (линейных относительно старших производных). Каноническая форма уравнений с двумя независимыми переменными. Вывод уравнения теплопроводности (диффузии). Постановка задачи Коши и краевых задач для уравнения теплопроводности. Формула Пуассона для решения задачи Коши. Распространение тепла в полупространстве. Начально-краевые задачи. Принцип максимума и его следствия. Принцип Дюамеля. Метод Фурье разделения переменных для уравнения теплопроводности на отрезке с краевыми условиями первого и второго рода. Оператор Лапласа в криволинейной системе координат. Решение уравнения теплопроводности в цилиндре методом разделения переменных. Функции Бесселя и их свойства.
• Волновое уравнение
  Вывод волнового уравнения из уравнения продольных колебаний решетки; из уравнения поперечных колебаний. Одномерное уравнение; формула Даламбера на оси. Решение волнового уравнения на полуоси с краевыми условиями I, II и III рода. Формулы Дюамеля. Метод разделения переменных для волнового уравнения на отрезке. Решения волнового уравнения в прямоугольнике и в круге методом разделения переменных. Решение задачи Коши для волнового уравнения в трехмерном и двумерном пространствах; метод спуска. Качественное исследование распространения волн в пространствах 3-х и 2-х измерений, принцип Гюйгенса. Метод Лакса (асимптотика по гладкости) решения задачи Коши для волнового уравнения с разрывным начальным условием.
• Уравнения эллиптического типа
  Стационарные физические процессы и уравнения эллиптического типа (стационарные процессы теплопроводности и колебаний, установившиеся монохроматические колебания, уравнения электростатики, стационарное уравнение Шредингера). Основные свойства гармонических функций. Фундаментальное решение оператора Лапласа в трехмерном пространстве и на плоскости. Функция Грина для оператора Лапласа в полупространстве, на полуплоскости и в круге. Метод электростатических изображений решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона (Лапласа). Фундаментальные решения оператора Гельмгольца. Уравнение Гельмгольца и условия излучения Зоммерфельда. Метод разделения переменных решения внутренних краевых задач Дирихле для уравнения Пуассона (Лапласа). Внешняя задача Дирихле для уравнения Лапласа.

Элементы контроля

• Домашняя работа
  Оценка за выполнение домашних заданий к семинарам
• Контрольная работа 1
  Оценка за контрольную работу по разделу 1
• Контрольная работа 2
  Оценка за домашнюю контрольную работу по разделу 3
• Контрольная работа 3
  Оценка за контрольную работу по разделу 4
• Итоговая аттестация
  Экзамен проводится в устной форме. Экзамен проводится на платформе Zoom (https://zoom.us). К экзамену необходимо подключиться за 10 минут до начала экзамена, чтобы протестировать связь, видео, звук и возможность демонстрировать экран. Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: наличие рабочей камеры и микрофона, поддержка Zoom. Для участия в экзамене студент обязан: поставить на аватар свою фотографию, явиться на экзамен за 10 минут до начала, при ответе включить камеру и микрофон. Во время экзамена студентам запрещено: выключать камеру, пользоваться конспектами и подсказками. Кратковременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение связи менее минуты. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение минута и более. При долговременном нарушении связи студент не может продолжить участие в экзамене. Процедура пересдачи подразумевает использование усложненных заданий.
• контрольно-измерительные материалы
  контрольно-измерительные материалы
• Домашняя работа
  Оценка за выполнение домашних заданий к семинарам
• Контрольная работа 1
  Оценка за контрольную работу по разделу 1
• Контрольная работа 2
  Оценка за домашнюю контрольную работу по разделу 3
• Контрольная работа 3
  Оценка за контрольную работу по разделу 4
• Итоговая аттестация
  Экзамен проводится в устной форме. В случае удаленного проведения экзамен проводится на платформе Zoom (https://zoom.us). К экзамену необходимо подключиться за 10 минут до начала экзамена, чтобы протестировать связь, видео, звук и возможность демонстрировать экран. Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: наличие рабочей камеры и микрофона, поддержка Zoom. Для участия в экзамене студент обязан: поставить на аватар свою фотографию, явиться на экзамен за 10 минут до начала, при ответе включить камеру и микрофон. Во время экзамена студентам запрещено: выключать камеру, пользоваться конспектами и подсказками. Кратковременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение связи менее минуты. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение минута и более. При долговременном нарушении связи студент не может продолжить участие в экзамене. Процедура пересдачи подразумевает использование усложненных заданий.
• контрольно-измерительные материалы
  контрольно-измерительные материалы

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (4 модуль)
  0.2 * Домашняя работа + 0.5 * Итоговая аттестация + 0.1 * Контрольная работа 1 + 0.1 * Контрольная работа 2 + 0.1 * Контрольная работа 3

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Уравнения математической физики : учебник, Тихонов, А. Н., 2004

Рекомендуемая дополнительная литература

• Лекции по математической физике : учеб. пособие для вузов, Свешников, А. Г., 2004
• Уравнения математической физики : учебник для вузов, Владимиров, В. С., 2003