Бакалавриат 2020/2021

Алгебра

Статус: Курс обязательный (Совместный бакалавриат НИУ ВШЭ и ЦПМ)

Направление: 01.03.01. Математика

Кто читает: Факультет математики

Где читается: Факультет математики

Когда читается: 2-й курс, 1-4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Бурман Юрий Михайлович, Куюмжиян Каринэ Георгиевна, Логинов Константин Валерьевич, Матушко Мария Георгиевна

Язык: русский

Кредиты: 10

Контактные часы: 144

Программа дисциплины

Аннотация

Алгебра является языком современной математики. Алгебраические структуры используются в геометрии, анализе, математической физике и других основных направлениях современной математики.В курсе Алгебры мы изучим основные понятия и концепции (кольца, поля, группы), необходимые для любого активно работающего математика.

Цель освоения дисциплины

• Цель изучения дисциплины Алгебра 1 состоит в освоении базовых конструкций теории коммутативных колец, теории полей, линейной алгебры и теории групп. Предполагается, что студент, освоивший дисциплину, сможет уверенно пользоваться теоретическими основами теории и применять их для решения математических задач различного происхождения, использующих алгебраические структуры.

Планируемые результаты обучения

• Освоение алгоритма Евклида, умение находить наибольший общий делитель элементов кольца.
• Умение работать с кольцами вычетов, умение пользоваться фактор конструкциями.
• Знание основных определений и примеров, умение строить конечные поля.
• Освоение базовых определений и конструкций теории групп: подгруппы, нормальные делители, классы смежности, факторгруппы. Умение строить и описывать действия групп на множествах.
• Знание основных понятий и конструкций линейной алгебры: векторные пространства, линейные отображения, двойственные пространства, определители.
• Знакомство с классификация конечнопорожденных абелевых групп. Понимание структуры модулей над евклидовыми кольцами.
• Знание основ теории колец многочленов от нескольких переменных.
• Знание формулировок и доказательств теорем Гильберта о базисе и об инвариантах. Знакомство с основными приложениями.
• Знание основных опеределений и конструкций теории симметрических многочленов. Знакомство с основными приложениями.

Содержание учебной дисциплины

• Алгоритм Евклида
  Алгоритм Евклида для кольца целых чисел и кольца многочленов
• Кольца вычетов
  Изучение колец вычетов для целых чисел и для многочленов
• Поля
  Изучение основ алгебраической теории конечных и бесконечных полей
• Группы
  Основы теории групп, включая действия групп на множествах
• Линейная алгебра
  Изучение основ линейной алгебры
• Модули над евклидовыми кольцами.
  Классификация конечнопорожденных абелевых групп.
• Многочлены многих переменных.
  Лемма Гаусса и факториальность.
• Теоремы Гильберта о базисе и об инвариантах.
  Формулировка и доказательство основополагающих теорем Гильберта.
• Симметрические многочлены и их приложения.
  Основы теории симметрических многочленов от многих переменных.

Элементы контроля

• домашние задания
• контрольные работы
• Экзамен
• домашние задания
• контрольные работы
• коллоквиум
• Экзамен
• Работа на семинаре

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (2 модуль)
  0.2 * домашние задания + 0.2 * коллоквиум + 0.2 * контрольные работы + 0.4 * Экзамен
• Промежуточная аттестация (4 модуль)
  0.4 экзамен, 0.2 контрольная, 0.4 ДЗ, 0.1 работа на семинаре

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Курс алгебры, Винберг, Э. Б., 2002
• Курс алгебры, Винберг, Э. Б., 2013

Рекомендуемая дополнительная литература

• Введение в алгебру. Ч.1: Основы алгебры, Кострикин, А. И., 2009
• Введение в алгебру. Ч.2: Линейная алгебра, Кострикин, А. И., 2009