Алгебра

Специалитет 2020/2021

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс обязательный (Компьютерная безопасность)

Кто читает: Департамент прикладной математики

Где читается: Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Когда читается: 1-й курс, 1-4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Акбаров Сергей Саидмузафарович, Бусяцкая Ирина Константиновна, Волкова Татьяна Викторовна, Захарьев Иван Юрьевич, Преснова Анна Павловна, Сироткин Дмитрий Валерьевич

Специальность: 10.05.01. Компьютерная безопасность

Язык: русский

Кредиты: 6

Контактные часы: 112

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Настоящая дисциплина относится к базовой части математического и естественно-научного цикла дисциплин. В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции: способность учится, приобретать новые знания и умения, в том числе в области, отличной от профессиональной ( СК-Б1); способность совершенствовать и развивать свой интеллектуальный и культурный уровень, строить траекторию профессионального развития и карьеры (СК-М4); способность решать проблемы в профессиональной деятельности на основе анализа и синтеза (СК-Б4); способность работать с информацией: находить, оценивать и использовать информацию из различных источников, необходимую для решения научных и профессиональных задач ( в том числе на основе системного подхода ) (СК-Б6); способность корректно применять при решении профессиональных задач аппарат математических и естественных наук (ИК-С2); способность использовать современные методы поиска и обработки информации из различных источников в профессиональной деятельности (ИК-С3). Дисциплина реализуется в он-лайн формате

Цель освоения дисциплины

Знакомство с понятиями линейной алгебры как основы значительной части математического аппарата дифференциальных уравнений, функционального анализа, теории вероятностей, математической статистики и других дисциплин.
Освоение основных приемов решения практических задач по темам дисциплины;
Развитие способности интерпретации формальных алгебраических структур, развитие четкого логического мышления

Планируемые результаты обучения

Знание базовых понятий дисциплины
Понимание доказательств ключевых теорем курса
Навыки использования математического аппарата дисциплины в дальнейшей учебной и профессиональной деятельности

Содержание учебной дисциплины

Алгебра матриц
Определение и свойства основных операций над матрицами: умножение матрицы на число, сложение матриц, умножение матриц, транспонирование матриц. Элементарные преобразования матриц и элементарные матрицы. Теорема о связи между элементарными преобразованиями матриц и умножением матрицы на элементарную. Приведение матрицы к ступенчатому и главному ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.
Системы линейных алгебраических уравнений. Линейное пространство Rn
Классификация системы линейных алгебраических уравнений (далее СЛУ). Матрицы, связанные с СЛУ. Равносильность СЛУ с эквивалентными матрицами. Метод Гаусса решения СЛУ. Свойства решений однородных СЛУ.
Линейное пространство Rn
Пространство Rn , линейно зависимые и независимые системы векторов в Rn. Сохранение линейных соотношений между столбцами матрицы при элементарных преобразованиях ее строк. Лемма о линейной зависимости. Базис системы векторов, теорема о его существовании. Ранг системы векторов. Ранг матрицы и способ его нахождения. Теорема Кронекера – Капелли. Линейные подпространства Rn , заданные системой линейных однородных уравнений. Нахождение базиса и размерности такого подпространства. Линейные оболочки систем векторов. Нахождение их базиса и размерности. Терема о связи между множеством решений неоднородной СЛУ и подпространством решений соответствующей однородной СЛУ.
Определители
Определители порядка n и их основные свойства. Примеры вычисления определителей с помощью элементарных преобразований матрицы. Алгебраические дополнения и миноры. Теорема о связи между ними. Теорема о разложении определителя по строке. Теорема об определителе произведения матриц. Обратная матрица и способы ее нахождения. Теорема и формулы Крамера.
Вещественные евклидовы пространства
Определение и примеры евклидовых пространств. Неравенство Коши – Буняковского, длина вектора в евклидовом пространстве и ее свойства. Ортогональные системы векторов и процесс ортогонализации. Теорема об изоморфизме конечномерных евклидовых пространств. Теорема о проекции вектора на подпространство. Задача о наилучшем приближении. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Метод наименьших квадратов и примеры его применения.
Поле комплексных чисел и кольцо многочленов
Определение комплексных чисел. Действия над комплексными числами. Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа. Формула Муавра. Извлечение корня n-й степени из комплексного числа. Определение и примеры полей. Кольцо многочленов с коэффициентами в поле. Наибольший делитель двух многочленов. Алгоритм Евклида и его следствия. Корни многочленов. Теорема Безу. Кратность корня. Отделение кратных корней. Теорема Гаусса. Неприводимые многочлены. Описание неприводимых многочленов с комплексными и вещественными коэффициентами. Разложение многочлена на неприводимые многочлены. Полиномиальная интерполяция. Интерполяционные многочлены Лагранжа и Эрмита.
Линейные пространства над полем
Определение и примеры линейных пространств Линейная зависимость и независимость систем векторов. Бесконечномерные и конечномерные линейные пространства. Базис и размерность линейных пространств. Координаты векторов и их изменение при замене базиса. Теорема об изоморфизме линейных пространств.
Линейные отображения и линейные операторы
Определение и примеры линейных отображений. Линейное пространство л. Матрицы линейных отображений и их свойства. Изменение матрицы линейного отображения при замене базисов. Линейные операторы и их матрицы. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов, способ их нахождения. Достаточные условия и критерии диагонализуемости оператора. Жорданова форма матрицы. Функции от матриц. Свойства жордановых клеток и жордановых матриц. Теорема о существовании жордановой формы матрицы и способ нахождения жордановой формы. Функции от матриц и от операторов.
Комплексные евклидовы пространства
Определение и примеры комплексных евклидовых (унитарных) пространств. Неравенство Коши – Буняковского. Ортогональные системы векторов и процесс ортогонализации. Теорема об изоморфизме унитарных пространств одинаковой размерности. Комплексификация вещественных евклидовых пространств.
Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах
Понятие сопряженного оператора. Его существование и единственность. Свойства операции сопряжения, матрица сопряженного оператора. Самосопряженные операторы и симметрические матрицы. Свойства собственных значений, собственных векторов и инвариантных подпространств самосопряженного оператора. Изометрические операторы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы..Канонический вид изометрического оператора. Описание ортогональных операторов на плоскости и в пространстве.
Билинейные и квадратичные формы
Определение и примеры билинейных и квадратичных форм. . Матрицы билинейных и квадратичных форм. Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием. Приведение уравнения поверхности 2-го порядка к каноническому виду.

Элементы контроля

Аудиторная работа
Самостоятельная работа
Контрольная работа
Домашняя работа + защита домашней работы
Зачёт
Экзамен (4 модуль)
Первый этап экзамена проводится в письменной форме по индивидуальным вариантам, которые будут выложены на платформе Google Class в 10-30 . По истечении часа , в течение 10 минут, ответы должны быть загружены в систему. Через час после этого на платформе Zoom пройдет устное обсуждение письменной части экзамена. Очередность подключения , а также идентификатор и пароль конференции будут сообщены после сдачи письменных работ. Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: наличие рабочей камеры и микрофона, поддержка Zoom. При долговременном нарушении связи ( более одной минуты) студент не может продолжить участие в устном экзамене. Переэкзаменовка будет проведена по той же системе.
Экзамен (2 модуль)
Аудиторная работа
Самостоятельная работа
Контрольная работа
Домашняя работа + защита домашней работы
Зачет

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
0.3 * Домашняя работа + защита домашней работы + 0.2 * Контрольная работа + 0.5 * Экзамен (2 модуль)
Промежуточная аттестация (4 модуль)
0.3 * Домашняя работа + защита домашней работы + 0.2 * Контрольная работа + 0.5 * Экзамен (4 модуль)

Программа дисциплины