Бакалавриат 2020/2021

Математический анализ-2

Статус: Курс обязательный (Совместная программа по экономике НИУ ВШЭ и РЭШ)

Направление: 38.03.01. Экономика

Кто читает: Отдел сопровождения учебного процесса в Совместном бакалавриате ВШЭ-РЭШ

Где читается: Факультет экономических наук

Когда читается: 2-й курс, 1, 2 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Гончаренко Василий Михайлович, Трофимова Анастасия Алексеевна, Эрлих Иван Генрихович

Язык: русский

Кредиты: 6

Контактные часы: 96

Программа дисциплины

Аннотация

Дисциплина «Математический анализ–2» является непосредственным продолжением курса «Математический анализ–1» и читается студентам второго курса совместной программы НИУ ВШЭ и РЭШ в осеннем семестре. Ее содержание связано с традиционными разделами математического анализа, дополненными различными приложениями, главным образом экономическими. Курс состоит из следующих основных разделов: вектор-функции и кривые на плоскости и в пространстве; функции нескольких переменных, их частные производные и дифференциал; оптимизация функций нескольких переменных; вектор-функции нескольких переменных, отображения и якобиан; кратный интеграл и его применения; ряды Тейлора функций многих переменных.

Цель освоения дисциплины

• Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:  Дифференциальные уравнения;  Динамическая оптимизация;  Макроэкономика;  Теория вероятностей и математическая статистика

Планируемые результаты обучения

• По результатам освоения курса студенты должны · Владеть понятием отображения пространств, уметь вычислять его якобиан, а также применять якобианы отображений для нахождения производных неявных функций · Знать основные методы решения задач оптимизации функций нескольких переменных и уметь применять их для решения экономических задач. · Уметь вычислять двойные и кратные интегралы, находить площади и объемы тел, заданных системой ограничений на плоскости и в пространстве .

Содержание учебной дисциплины

• Прямые и плоскости в пространстве.
  Параметрическое и каноническое уравнения прямой. Общее уравнение плоскости. k-мерная плоскость в n-мерном пространстве. Кривые второго порядка
• Отображения.
  Отображения. Вектор-функции многих переменных. Замены координат. Примеры (полярные координаты).
• Вектор-функции
  Вектор-функции и их геометрический смысл. Непрерывность, производная и интеграл вектор функции. Геометрический смысл производной вектор функции: касательный вектор. Длина дуги кривой.
• Основы теории функций нескольких переменных
  Функции нескольких переменных (ФНП). График ФНП. Предел и непрерывность ФНП. Частные производные. Производная по направлению. Градиент. Геометрический смысл градиента.
• Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
  Дифференцируемость ФНП. Дифференциал функции двух переменных. Определение дифференциала как наилучшего линейного приближения и через уравнение плоскости, касательной к графику. Связь с производными по направлению. Цепное правило дифференцирования сложной функции.
• Производные высших порядков и формула Тейлора.
  Производные высших порядков ФНП. Смешанные производные. Теорема о равенстве смешанных производных. Теорема о среднем значении. Теорема Тейлора.
• Локальный экстремум функций нескольких переменных.
  Экстремумы ФНП. Необходимое условие локального экстремума. Достаточное условие. Выпуклые и вогнутые функции. Глобальный максимум и минимум.
• Теорема о неявной функции.
  Теорема о неявной функции (двумерный случай). Якобиан. Теорема об обратной функции (многомерный случай). Матрица Якоби. Теорема о неявной функции (многомерный случай). Матрица Якоби обратной функции.
• Условный экстремум функций нескольких переменных.
  Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Экономический смысл множителей Лагранжа. Примеры экономических задач.
• Теорема Куна-Таккера.
  Ограничения типа неравенств в задачах оптимизации. Теорема Куна-Таккера. Примеры экономических задач.
• Интегрирование функций нескольких переменных.
  Кратный интеграл. Кратный интеграл по двумерной и трехмерной области. Переход к повторному интегралу. Теорема Фубини. Изменение порядка интегрирования. Применения кратного интеграла.
• Преобразование Лапласа. Гамма- и бета-функции.
  Преобразование Лапласа. Основные свойства и применение. Гамма- и Бета-функции. Основные свойства. Применение при вычислении определенных интегралов.

Элементы контроля

• Итоговая контрольная работа
• Промежуточная контрольная работа
• Коллоквиум
• Домашние задания
• Работа на семинарах

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (2 модуль)
  0.2 * Домашние задания + 0.3 * Итоговая контрольная работа + 0.2 * Коллоквиум + 0.2 * Промежуточная контрольная работа + 0.1 * Работа на семинарах

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Calculus early transcendentals, Stewart, J., 2012

Рекомендуемая дополнительная литература

• Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1: ., Фихтенгольц, Г. М., 2003
• Сборник задач и упражнений по математическому анализу : учеб. пособие для вузов, Демидович, Б. П., 2009