Теория вероятностей и математическая статистика

Бакалавриат 2020/2021

Лучший по критерию «Полезность курса для Вашей будущей карьеры»

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс обязательный (Политология)

Направление: 41.03.04. Политология

Кто читает: Кафедра высшей математики

Где читается: Факультет социальных наук

Когда читается: 2-й курс, 1-3 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Макаров Алексей Алексеевич, Сальникова Дарья Вячеславовна

Язык: русский

Кредиты: 5

Контактные часы: 106

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Обязательный курс «Теория вероятностей и математическая статистика» для профиля «Политический анализ» бакалаврской программы «Политология» продолжает курс «Математика и статистика» для профиля «Политический анализ» на втором курсе. Курс длится 3 модуля и включает в себя изучение продвинутых понятий и методов теории вероятностей, математической и прикладной статистики. В задачи курса входит в том числе освоение студентами статистического моделирования и анализа политологических данных в пакете R. Материалы этого курса используются в последующих обязательных для профиля «Политический анализ» курсах статистического анализа многомерных и других типов статистических данных, а так же необходимы для написания курсовых работ и ВКР по количественному анализа данных в политологии. Для успешного освоения курса необходимы хорошие знания курса «Математика и статистика» и базовые навыки работы с компьютером.

Цель освоения дисциплины

Овладеть знаниями в области теории вероятностей и математической статистики, необходимыми для освоения базовых методов анализа данных в социальных науках.

Планируемые результаты обучения

Умеет рассчитать условное математическое ожидание, знает сферы применения экспоненциального распределения и распределения Пуассона
Умеет получать оценки параметров методом моментов
Умеет получать оценки параметров методом максимального правдоподобия
Понимает различия между точечными и интервальными оценками, корректно интерпретирует доверительные интервалы, знает свойства точечных оценок
Умеет строить доверительный интервал для дисперсии
Умеет строить доверительный интервал для разности средних двух независимых нормальных выборок
Умеет при помощи Rstudio готовить данные к последующему анализу
Умеет рассчитывать и корректно интерпретировать величины ошибки I, II рода и мощности в рамках проверки гипотез
Умеет проверять статистические гипотезы при помощи p-value
Умеет проверять гипотезу о равенстве средних двух независимых выборок из нормального распределения
Умеет решать задачу о 2-х и более независимых выборок при помощи непараметрических критериев
Знает сферу применения дисперсионного анализа
Умеет выводить оценки коэффициентов в модели парной регрессии, корректно интерпретирует полученные оценки
Знает допущения классической линейной регрессии
Корректно интерпретирует оценки коэффициентов множественной регрессии, понимает потенциальные источники мультиколлинеарности
Умеет диагностировать гетероскедастичность и знает, какие поправки вносить в модель в условиях гетероскедастичности
Умеет выявлять влиятельные и нетипичные наблюдения
Знает критерии качества регрессионных моделей, умеет выбирать релевантную модель на основе информационных критериев

Содержание учебной дисциплины

Распределение вероятностей дискретных и непрерывных случайных величин. Условное распределение и условное математическое ожидание
Испытание Бернулли и биномиальное распределение. Обобщение испытания Бернулли на случай k исходов (k > 2). Распределение Пуассона: формула расчета вероятности, функция распределения, область применения, содержательная интерпретация параметра λ, свойства; связь с биномиальным распределением. Понятие функции распределения и функции плотности распределения. Экспоненциальное распределение. Нормальное и стандартное нормальное распределение. Совместное распределение. Условное распределение. Условное математическое ожидание.
Понятие интервальной оценки. Распределение хи-квадрат. Распределение выборочной оценки дисперсии с нормальной выборкой
Философия интервального оценивания. Схема бесконечного сэмплинга. Построение интервальной оценки. Распределение хи-квадрат: определение через стандартные нормальные величины и через плотность распределения. Числовые характеристики. Асимптотика. Интервальная оценка для дисперсии нормальной выборки. Доказательство. Доверительный интервал для дисперсии нормальной выборки. Критерий Фишера: нулевая гипотеза о равенстве дисперсий двух нормальных выборок, дисперсионное отношение Фишера (статистика Фишера), критерий проверки нулевой гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных выборок.
Распределение Стьюдента. Распределение стьюдентовской дроби (с доказательством). Доверительный интервал для разности средних двух независимых нормальных выборок
Распределение Стьюдента: определение через стандартные нормальные величины и через плотность распределения. Числовые характеристики распределения Стьюдента. Доказательство того, что дробь Стьюдента имеет распределение Стьюдента.
Подготовка данных к анализу
Практикум в R. Источники данных. Работа с разными форматами данных. Структура данных. Агрегирование данных. «Очистка» данных. Отбор необходимых для работы данных. Преобразование переменных. Создание новых переменных. Инструменты визуализации.
Точечные оценки
Повторение: понятие оценки. Точечная и интервальная оценки. Идея метода моментов и его применение. Понятие правдоподобия. Идея метода максимального правдоподобия. Нахождение ММП-оценок параметров распределения Бернулли и Пуассона, биномиального, показательного, нормального и равномерного распределений. Точечная и интервальная оценки. Свойства точечных оценок: несмещенность, асимптотическая несмещенность, состоятельность, эффективность. Понятие среднего квадрата ошибки.
Проверка гипотез.
Логика проверки статистических гипотез. Определение ошибки первого рода, ошибки второго рода. Графическое изображение. Взаимозависимость вероятности ошибки первого рода и вероятности ошибки второго рода. Возможность одновременного снижения вероятности ошибки первого рода и вероятности ошибки второго рода. Определение мощности критерия. Построение критических областей в дискретном и непрерывном случаях. Логика проверки статистических гипотез. Понятие минимального уровня значимости (p-value). Пример критерия знаков. Современный подход к проверке гипотез. P-value как условная вероятность. Почему p-value не вероятность ошибки I рода? Почему гипотезы можно отвергать, но нельзя принимать.
Параметрическая задача о 2 независимых выборках: критерий Стьюдента. Двойственность с доверительным интервалом для разности средних. Проблема Беренса-Фишера. Модель дисперсионного анализа. МНК-оценка параметров модели. Проверка гипотез о параметрах.
Непараметрический подход к задаче о 2 и k независимых выборках: критерий Уилкоксона и Краскела-Уоллиса
Парная регрессия: постановка задачи, МНК-оценки, проверка гипотезы про коэффициенты. Теорема Гаусса-Маркова и теорема Рао о свойствах МНК-оценок. Статистический вывод в регрессии: статистическая значимость коэффициентов. Критерии качества моделей, сравнение моделей. Разложение вариации.
Корреляция Пирсона: смещенность. Сравнение двух коэффициентов Пирсона, преобразование Фишера, проверка гипотезы о равенстве двух коэффициентов. Регрессионный анализ. Модель парной линейной регрессии. Парная линейная регрессия как линейная аппроксимация условного матеметического ожидания. Оценивание коэффициентов парной линейной регрессии: метод наименьших квадратов. Интерпретация коэффициентов регрессии при непрерывных переменных
Модель множественной линейной регрессии
МНК-оценки в матричном виде. Мультиколлинеарность. Источники мультиколлинеарности. Последствия мультиколлинеарности для статистического вывода. Способы диагностики. Меры борьбы с мультиколлинеарностью.
Гетероскедастичность
Источники гетероскедастичности. Последствия гетероскедастичности для статистического вывода. Способы диагностики. Меры борьбы с гетероскедастичностью.
Нетипичные и влиятельные наблюдения
Последствия и способы диагностики (межквартильный размах, коробчатая диаграмма Тьюки и статистические выбросы, мера потенциального влияния, мера Кука, графики остатков).
Критерии качества регрессионных моделей. Выбор модели

Элементы контроля

Домашние задания
Самостоятельные работы
Контрольная работа 1
Экзаменационная работа
Контрольная работа 2
Работа на семинарах

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (3 модуль)
0.15 * Домашние задания + 0.15 * Контрольная работа 1 + 0.15 * Контрольная работа 2 + 0.1 * Работа на семинарах + 0.15 * Самостоятельные работы + 0.3 * Экзаменационная работа

Программа дисциплины