Математический анализ 2

Бакалавриат 2020/2021

Статус: Курс обязательный (Прикладная математика и информатика)

Направление: 01.03.02. Прикладная математика и информатика

Кто читает: Департамент больших данных и информационного поиска

Где читается: Факультет компьютерных наук

Когда читается: 2-й курс, 1-4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Днестрян Андрей Игоревич, Колесниченко Елена Юрьевна, Маевский Евгений Валерьевич, Томашевский Сергей Владимирович

Язык: русский

Кредиты: 9

Контактные часы: 144

Полная версия программы учебной дисциплины Задать вопрос

Аннотация

Дисциплина представляет из себя стандартный курс математического анализа 2-го года, ориентированный на студентов, специализирующихся в прикладной математике. Курс содержит числовые ряды, функциональные ряды, кратные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Значимую часть курса занимают ряды Фурье и преобразование Фурье. Второй семестр посвящен условным экстремумам, подмногообразиям в вещественном векторном пространстве, а также основам векторного и комплексного анализа.

Цель освоения дисциплины

Ознакомление студентов с теоретическими основами таких разделов математического анализа как теория рядов, кратное интегрирование, криволинейные и поверхностные интегралы, ряды и преобразование Фурье.
Формирование практических навыков работы с числовыми и функциональными рядами (включая ряды Тейлора и Фурье, производящие функции), кратными, криволинейными и поверхностными интегралами, преобразованием Фурье
Формирование умения решать задачи математического анализа численными методами (приближенное вычисление кратных интегралов, оценка скорости сходимости рядов и интегралов, метод градиентного спуска)
Ознакомление студентов с начальными теоретическими основами комплексного анализа и умение применять методы комплексного анализа в задачах интегрирования
Формирование навыков самостоятельной исследовательской работы в процессе решения нестандартных задач повышенной сложности

Планируемые результаты обучения

Уметь исследовать ряд на сходимость, абсолютную/условную сходимость
Уметь суммировать числовые ряды, переходя к функциональным рядам
Уметь находить радиус сходимости степенного ряда
Уметь раскладывать функцию в ряд Фурье на отрезке
Уметь вычислять суммы рядов, используя ряды Фурье и равенство Парсеваля
Уметь вычислять кратные интегралы сведением к повторным
Знать основные системы координат (полярная, цилиндрическая, сферическая) и якобианы соответствующих замен координат
Уметь упрощать кратные интегралы переходом в более удобную систему координат
Знать способы вычисления стандартных несобственных интегралов: интеграл Эйлера-Пуассона (гауссов интеграл), интеграл Дирихле, интегралы Лапласа, формула Фруллани
Уметь вычислять поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода
Знать формулировку общей формулы Стокса и ее маломерных следствий: формулы Грина, формулы Гаусса-Остроградского, формулы Стокса
Уметь исследовать на равномерную сходимость несобственные интегралы, зависящие от параметра
Знать основные свойства бета- и гамма-функции
Знать основные свойства преобразования Фурье и уметь вычислять прямое и обратное преобразования Фурье от заданной функции
Уметь находить локальный экстремум дифференцируемой функции нескольких переменных, используя необходимые и достаточные условия
Знать определение гладкого подмногообразия в R^n и его касательного пространства в точке
Уметь находить условный экстремум функции, используя метод множителей Лагранжа. Уметь использовать достаточное условие второго порядка для касательного пространства
Знать определение грассмановой алгебры и дифференциальной формы k-го порядка на пространстве R^n
Уметь вычислять дифференциал от заданной дифференциальной k-формы, и значение дифференциальной 1-формы на заданном касательном векторе
Уметь вычислять криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода
Уметь вычислять сложные кратные интегралы, пользуясь следствиями из формулы Стокса
Знание условий Коши-Римана и умение проверять функцию комплексного переменного на дифференцируемость
Уметь вычислять интегралы (от функции комплексного переменного) при помощи вычетов

Содержание учебной дисциплины

Числовые ряды и бесконечные произведения
Определение ряда, частичных сумм, сходимости. Необходимое условие сходимости ряда. Критерий Коши сходимости ряда. Абсолютная и условная сходимость рядов. Ряды с неотрицательными членами. Эквивалентность сходимости и ограниченности последовательности частичных сумм. Признаки сравнения. Радикальный признак Коши. Признак Д'Аламбера. Интегральный признак Коши-Маклорена. Использование интегралов для оценки частичных сумм и остатков рядов. Знакопеременные ряды. Признаки Лейбница, Абеля и Дирихле сходимости числовых рядов. Теорема Коши о перестановке абсолютно сходящегося ряда, теорема Римана о перестановке условно сходящегося ряда. Теорема Коши о сходимости абсолютно сходящихся рядов. Бесконечные произведения.
Функциональные последовательности и ряды
Понятие равномерной сходимости последовательностей и рядов. Супремум-критерий, критерий Коши, признаки Вейерштрасса, Дирихле и Абеля равномерной сходимости функциональных рядов. Свойства равномерно сходящихся рядов: переход к пределу, непрерывность суммы, почленное интегрирование, почленное дифференцирование. Степенные ряды. Понятие радиуса сходимости, формула Коши-Адамара. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость степенных рядов. Теорема единственности для степенных рядов.Степенные ряды для элементарных функций. Условия представимости функции своим рядом Тейлора. (*) Метод производящих функций в комбинаторике.
Ряды Фурье
Пространства со скалярным произведением. Ортогональные системы. Коэффициенты Фурье и их свойства: экстремальное свойство, тождество Бесселя, тождество Парсеваля. Замкнутые ортогональные системы. Тригонометрическая система. Ряды Фурье по тригонометрической системе. Явный вид частичных сумм. Признаки Дини, Липшица сходимости ряда Фурье. Достаточное условие равномерной сходимости рядов Фурье. Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических. Теорема Вейерштрасса о замкнутости тригонометрической системы.
Кратные интегралы
Мера Жордана ограниченных множеств в R^n. Критерии измеримости. Понятие кратного интеграла Римана. Связь интегрируемости и ограниченности. Критерий Дарбу интегрируемости. Свойства кратного интеграла. Связь меры и интеграла: интегрирование характеристических функций, мера множества под графиком. Сведение кратного интеграла к повторному: теорема Фубини. Замена переменных в кратном интеграле. Полярные, цилиндрические и сферические координаты. Несобственный кратный интеграл.
Собственные и несобственные интегралы, зависящие от параметра
Собственные интегралы с параметром. Равномерная сходимость по параметру: супремум- критерий, связь с равномерной сходимостью последовательностей, критерий Коши. Теоремы о равномерной сходимости по параметру: перестановка пределов, непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость предельной функции. Несобственные интегралы. Равномерная сходимость, признаки Вейерштрасса, Абеля и Дирихле. Перестановка интегралов (2 собственных, собственный-несобственный, 2 несобственных). Интегралы Эйлера-Пуассона, Дирихле. Эйлеровы интегралы первого рода (бета-функция Эйлера) и второго рода (гаммафункция Эйлера), их свойства. Связь бета- и гамма-функции. Формула дополнения для гаммафункции
Преобразование Фурье
Прямое и обратное преобразование Фурье. Свойства интегрального преобразования Фурье: теорема о представлении функции интегралом Фурье, преобразование Фурье свертки двух функций. Преобразование Фурье производных. Связь порядка дифференцируемости функции и порядка убывания ее Фурье-образа на бесконечности
Подмногообразия. Экстремумы. Метод множителей Лагранжа.
Необходимые и достаточные условия экстремума функции нескольких переменных. Метод градиентного спуска. Формулировка теоремы о неявном отображении. Понятие -мерного гладкого подмногообразия в R^n. Гладкие координаты на подмногообразиях. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Алгоритм поиска локальных условных экстремумов на множестве, заданном равенствами и неравенствами. Формулировка теоремы Куна-Таккера (условия дополняющей нежесткости).
Элементы векторного анализа и анализа дифференциальных форм
Длина кривой. Криволинейные интегралы 1-го. Площадь 2-мерной поверхности, сапог Шварца. Поверхностные интегралы 1-го рода. Ориентация k-мерного гладкого подмногообразия. Криволинейные интегралы 2-го рода по кусочно гладкой кривой и поверхностные интегралы 2-го рода по кусочно гладкой поверхности. Алгебра Грассмана и ее связь с определителем. Понятие дифференциальной k-формы и ее интеграла по k-мерной кусочно гладкой поверхности. Дифференциал от дифференциальной формы. Формулировка общей формулы Стокса. Частные случаи: формула Грина, формула Гаусса-Остроградского, формула Стокса. Понятие потенциального векторного поля на плоскости, необходимые и достаточные условия потенциальности. Определения ротора и дивергенции векторного поля в 3-мерном пространстве
Начала теории функций комплексного переменного
Дифференцируемость по комплексной переменной: условия Коши-Римана. Интеграл ФКП по кусочно гладкому контуру. Интегральная теорема Коши для регулярных функций.

Элементы контроля

Контрольные работы
Коллоквиумы
Устный коллоквиум
Экзамен (Экз_1семестр)
Коллоквиумы
Экзамен (Экз_2сем)

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
Итоговая оценка 2-го семестра: i2=0.125n2+0.5e2, где n2=s3+s4+k3+k4 Если n2≥38, то студент освобождается от экзамена и выставляется автоматом e2=10. Если 38>n2≥32, то студент (по умолчанию) освобождается от экзамена и выставляется автоматом e2=0.25n2 (без округления). Если все же студент желает сдавать экзамен, то сообщить об этом следует не позднее, чем за 3 дня до экзамена. Итоговая оценка за курс: i=0.5(i1 + i2) (округляется непосредственно перед выставлением в итоговую ведомость)
Промежуточная аттестация (4 модуль)
В течение года установлены следующие формы контроля: 2 письменных экзамена (e1, e2 - 10-балльные оценки за экзамены); 4 коллоквиума (k1, k2, k3, k4 - 10-балльные оценки за коллоквиумы); некоторое число самостоятельных работ (s1, s2, s3, s4 - средние оценки за самостоятельные работы по модулям, приведенные к 10-балльной шкале). Все оценки считаются и учитываются без округлений. Округление производится по общепринятому правилу: round(x)=floor(x+0.5) непосредственно перед выставлением оценок в официальные бумаги. Итоговая оценка 1-го семестра: i1=0.125n1+0.5e1, где n1=s1+s2+k1+k2

Программа дисциплины