Магистратура 2020/2021

Приложения теории операторов и функционального анализа

Статус: Курс обязательный (Системы управления и обработки информации в инженерии)

Направление: 01.04.04. Прикладная математика

Кто читает: Департамент прикладной математики

Где читается: Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Когда читается: 1-й курс, 3, 4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Бусяцкая Ирина Константиновна, Лебедев Владимир Владимирович, Парусникова Анастасия Владимировна

Прогр. обучения: Системы управления и обработки информации в инженерии

Язык: русский

Кредиты: 4

Контактные часы: 62

Программа дисциплины

Аннотация

Настоящая дисциплина относится к циклу математических дисциплин (вариативная часть). Изучение данной дисциплины базируется на знаниях и умениях, приобретённых в рамках следующих курсов: «Математический анализ», «Линейная алгебра и аналитическая геометрия», «Теория функций комплексной переменной», «Функциональный анализ». Для освоения дисциплины студенты должны владеть следующими знаниями: знание курса «Математический анализ» в полном объеме; знание курса «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» в части, касающейся теории линейных пространств и теории матриц; знание курса «Теория функций комплексной переменной» в части, касающейся рядов Тейлора и Лорана; знание курса функционального анализа в объёме бакалаврского курса, читающегося в МИЭМ – это требование является желательным, но не обязательным, поскольку магистерский курс предусматривает обзор основных концепций функционального анализа, необходимых для его дальнейшего углублённого изучения. Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих курсов: «Принципы построения математических моделей»; «Стохастические методы»; «Математическое моделирование систем».

Цель освоения дисциплины

• Углублённое изучение основ теории функций и функционального анализа с применением в анализе Фурье и его приложениях.

Планируемые результаты обучения

• Студент должен знать основные положения теорий меры и интегрирования; теорию метрических, нормированных и евклидовых пространств; теорию линейных функционалов и линейных операторов, а также основы анализа Фурье, включая теорию функциональных пространств и операторов, связанных с преобразованием Фурье.
• Студент должен уметь применять методы функционального анализа к решению теоретических и прикладных задач, в том числе, к решению теоретико-вероятностных задач и задач математического моделирования.
• Студент должен иметь навыки (приобрести опыт) использования стандартных методов функционального анализа и анализа Фурье и их применения к решению теоретических и прикладных задач.

Содержание учебной дисциплины

• Элементы теории множеств
  Эквивалентность множеств по Кантору. Понятие мощности. Теорема Кантора – Бернштейна.
• Элементы теории функций
  Мера Лебега в Rn . Интеграл Лебега. Теоремы о предельном переходе в интегралах (теоремы Лебега, Леви и Фату). Теорема Фубини. Теорема о точках плотности множества. Точки Лебега. Теорема о дифференцируемости интеграла. Абстрактное пространство с мерой, процедура продолжения меры, интеграл. Мера Стилтьеса, интеграл Стилтьеса. Дифференцирование монотонных функций. Функции ограниченной вариации и абсолютно непрерывные функции. Первообразные.
• Метрические, нормированные и евклидовы пространства
  Определение метрического пространства. Примеры метрических пространств Шар, окрестность. Предел последовательности точек. Открытые и замкнутые множества. Замыкание. Операции над открытыми и замкнутыми множествами. Всюду плотные множества. Нигде не плотные множества. Сепарабельные метрические пространства. Полные метрические пространства. Теорема о вложенных шарах. Теорема Бэра о категориях. Непрерывные отображения метрических пространств, изометрия. Пополнение. Сжимающие отображения. Теорема о неподвижной точке, ее приложения. Вполне ограниченные множества в метрических пространствах. Связь вполне ограниченности и ограниченности. Определение -сети. Определение компактного множества. Непрерывные функции на компактных множествах. Критерии компактности в некоторых пространствах ( ). Энтропийные числа. Определение линейного нормированного пространства. Естественное расстояние, порождаемое нормой. Банаховы пространства. Непрерывность нормы. Эквивалентные нормы. Изоморфизм и изометрия нормированных пространств. Пополнение. Теорема о почти перпендикуляре и ее следствие о некомпактности шара в бесконечномерном нормированном пространстве. Ряды в нормированных пространствах. Базис. Определение евклидова пространства. Естественная норма, порожденная скалярным произведением. Гильбертово пространство. Непрерывность скалярного произведения. Равенство параллелограмма. Неевклидовость и других пространств. Ортогональность. Критерий сходимости ортогонального ряда. Ортогональное дополнение. Задача о наилучшем приближении. Ортогональная проекция на подпространство. Полная система векторов. Ортонормированный базис в сепарабельном гильбертовом пространстве. Ряд Фурье. Равенство Парсеваля. Критерий полноты ортогональной системы. Процедура ортогонализации. Существование ортонормированного базиса в сепарабельном гильбертовом пространстве. Примеры базисов. Теорема об изоморфизме сепарабельных гильбертовых пространств.
• Линейные непрерывные функционалы и операторы
  Определение линейного непрерывного функционала. Связь непрерывности и ограниченности. Норма функционала. Сопряженное пространство. Полнота сопряженного пространства. Примеры. Теоремы об общем виде функционала в и в гильбертовом пространстве. Поточечная сходимость и сходимость по норме последовательности функционалов. Принцип равномерной ограниченности (теорема Банаха–Штейнгауза). Критерий слабой сходимости. Определение линейного непрерывного оператора. Связь линейности и ограниченности. Норма оператора. Полнота пространства операторов. Умножение операторов. Сильная и слабая сходимость последовательности операторов. Теорема Банаха–Штейнгауза для операторов. Критерий слабой сходимости. Приложения. Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе. Теорема Неймана об обратимости оператора, близкого к обратимому. Собственные числа оператора. Спектр и резольвента. Разложение резольвенты в ряд Лорана. Сопряженные операторы. Спектральный радиус. Самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве. Спектральный радиус самосопряженного оператора.
• Преобразование Фурье
  Преобразование Фурье в , его свойства и приложения. Ряды Фурье функций на . Пространство Шварца. Меры и распределения (обобщенные функции) – их преобразования Фурье. Свертка.
• Операторы в функциональных пространствах
  Сильный и слабый тип операторов. Операторы слабого типа . Интерполяционная теорема Марцинкевича. Неравенство Хаусдорфа--Юнга. Преобразование Гильберта (на и ). Его ограниченность в (теорема Рисса). Оператор взятия частичной суммы. Сходимость рядов Фурье функций из Мультипликаторы Фурье. Задача Какейя, множества Какейя–Безиковича и теорема Феффермана о шаровом мультипликаторе. Дополняемые подпространства нормированного пространства, проектор. Теорема Дворецкого–Линденштраусса–Цафрири. Пример недополняемого подпространства в (следствие теоремы Феффермана). Пример недополняемого подпространства в .
• Функциональные пространства
  Модуль непрерывности функции в функциональном пространстве на и . Пространства , пространства , пространства гладких функций, пространства Соболева. Скорость приближения тригонометрическими многочленами и гладкость. Теорема Уитни о продолжении с сохранением модуля непрерывности. Ряды Фурье по тригонометрической системе. Существование непрерывной функции с поточечно расходящимся рядом Фурье. Теорема Фейера в и . Пространство . Банаховы алгебры. Алгебра Винера . Теорема об . Полиномы Рудина–Шапиро. Условия гладкости, гарантирующие принадлежность классу . Теорема о тривиальности эндоморфизмов алгебры Винера. Функции Радемахера, оценка функции распределения полиномов по системе Радемахера. Неравенство Хинчина. Сходимость случайных рядов.

Элементы контроля

• домашнее задание и коллоквиум
• домашнее задание
• Экзамен
  О(экз) --- оценка за эжкзамен
• Коллоквиум
• Домашнее задание

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (4 модуль)
  0.5 * домашнее задание + 0.5 * Коллоквиум

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Элементы теории функций и функционального анализа, Колмогоров, А. Н., 2006

Рекомендуемая дополнительная литература

• Задачи по функциональному анализу, Бородин, П. А., 2017
• Ортогональные ряды, Кашин, Б. С., 1984
• Теоремы и задачи функционального анализа : учеб. пособие для вузов, Кириллов, А. А., 1979
• Элементы функционального анализа, Люстерник, Л. А., 1965