Управляемые случайные процессы

Бакалавриат 2020/2021

Статус: Курс по выбору (Прикладная математика)

Направление: 01.03.04. Прикладная математика

Кто читает: Департамент прикладной математики

Где читается: Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Когда читается: 4-й курс, 2 модуль

Формат изучения: с онлайн-курсом

Преподаватели: Каштанов Виктор Алексеевич

Язык: русский

Кредиты: 2

Контактные часы: 28

Полная версия программы учебной дисциплины Задать вопрос

Аннотация

В результате освоения дисциплины студент обретёт навык проведения системного анализа сложных производственно-хозяйственных, технических и др. процессов, в том числе в условиях неопределенности и риска, а также научится формулировать инженерную задачу, формализовав ее на основе знаний математического аппарата и проведенного системного анализа и анализировать разрабатываемые технические решения на основе их интерпретации и оценки возможных вариантов.

Цель освоения дисциплины

получение знаний о важных и актуальных прикладных задачах, при решении которых используются современные математические результаты, относящиеся к управляемым полумарковским процессам
получение представления о математических методах, используемых при анализе управляемых математических моделей надежности, массового обслуживания и безопасности;
формирование навыков построения прикладных стохастических моделей, их математического анализа и четкого формулирования результатов.

Планируемые результаты обучения

Знание принципов построения задач управления, классификации задач, терминологии (объект управления, решение, стратегия управления, свойства стратегий, цели управления, эффективность функционирования)
Знание способов и средств определения оптимальных стратегий управления
Умение строить стохастические модели и формулировать задачу управления
Знание элементов теории вероятностей и теории управляемых случайных процессов, используемых при построении и анализе прикладных стохастических моделей
Умение определять оптимальные стратегии управления и вычислять наилучшее (оптимальное) значение показателя качества управления
Умение применять аналитические методы теории вероятностей и теории случайных процессов для исследования управляемых математических моделей надежности, массового обслуживания и безопасности
Владение аналитическими методами расчета оптимальных стратегий и показателей качества функционирования различных систем, работа которых описывается случайными процессами
Владение навыками разработки стохастических математических моделей технических и экономических систем, функционирование которых описывается случайными процессами

Содержание учебной дисциплины

Введение. Предмет и задачи теории управляемых случайных процессов (УСП). Описание областей, в которых они используются
Реальные процесса развиваются во времени в условиях стохастической неопределенности, управление и оптимизация при этом являются определяющими факторами. Приводятся примеры моделей надежности, массового обслуживания и безопасности, при исследовании которых используются УСП.
Управляемый полумарковский процесс (УПМП). Свойства его характеристик. Стратегии управления и их свойства. Построение функционалов качества
Дается определение УПМП. Марковские процессы восстановления, полумарковское ядро и его свойства, определение ядра управляемого полумарковского процесса, вводится понятие марковской однородной рандомизированной стратегии, понятие вырожденной стратегии, вводятся характеристики, определяющие функционалы качества. Для конкретных моделей надежности и массового обслуживания, строятся полумарковские ядра и полумарковские процессы, описывающие эволюцию этих систем.
Теорема о предельном поведении функционала накопления
Вводится понятие функционала накопления. Вывод интегральных уравнений для этого функционала. Исследуется асимптотика решения (исследование характеристик вложенных процессов восстановления, определения решений системы интегральных уравнений через характеристики вложенных процессов восстановления, определение предельных характеристик через исходные характеристики).
Теорема о структуре функционалов накопления и достижения
Для функционала достижения вывод системы алгебраических уравнений, доказательство утверждения: решение этой системы есть дробнолинейный функционал относительно распределений, определяющих стратегию управления. Для предельного значения функционала накопления доказывается, что он также есть дробно-линейный функционал относительно распределений, определяющих стратегию управления.
Теорема о структуре экстремальных распределений
Доказательство теоремы о достижении экстремума дробно-линейного функционала на дискретном распределении при конечном или счетном числе линейных ограничений. Следствие этой теоремы при двух линейных ограничениях. Доказательство теоремы о структуре экстремального распределения при несчетном числе линейных ограничений. На основе доказанных выше утверждений формулируется алгоритм построения оптимальной стратегии управления полумарковским процессом.
Управляемые модели надежности и безопасности
Постановка задачи оптимизации процесса технического обслуживания. Построение полумарковского процесса, описывающего эволюцию технической системы с учетом надежности, особенностей восстановления и индикации отказов. Оптимизация процесса управления по техническим и экономическим критериям. Построение и исследование модели безопасности с учетом действий злоумышленников и надежности системы защиты.
Управляемые модели массового обслуживания
Постановка задачи оптимизации для систем массового обслуживания (МО). Исследования моделей МО при управлении структурой системы, входным потоком и длительностью обслуживания.
Подходы к решению задач управления при неполной информации
Изложение минимаксного подхода при исследовании стохастических моделей управления при ограниченной информации о исходных данных