Математико-статистические методы исследования экстремальных событий

Магистратура 2020/2021

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс обязательный (Статистическое моделирование и актуарные расчеты)

Направление: 38.04.01. Экономика

Кто читает: Департамент статистики и анализа данных

Где читается: Факультет экономических наук

Когда читается: 2-й курс, 1, 2 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Питербарг Владимир Ильич

Прогр. обучения: Статистическое моделирование и актуарные расчеты

Язык: русский

Кредиты: 5

Контактные часы: 60

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Задача статистического оценивания распределения экстремальных значений экспериментальных данных и статистических выборок является одной из важнейших задач теории вероятностей и математической статистики. Поведение экстремальных значений статистических данных и их прогнозирование, как правило, является предметом первоочередного внимания исследователя. Эта задача актуальна и в финансово-экономической сфере, например, при оценивании вероятностей ценовых пиков и провалов, больших страховых выплат, продолжительности жизни в задачах страхования, оценивании финансовых рисков, а также в других задачах исследования экономических процессов. В подобных задачах вопрос о поведении данных (цен, курсов валют,…) в диапазоне средних значений не являются предметом исследования. Аналонично, в актуарных расчетах,при определении страховойпремии имеет основное значение не средняя продолжительность жизни, а средняя продолжительность доживания, то есть учитывается возраст страхователя. При этом данные дополнительно цензурируются вероятностями рисков в различныхусловиях. В связи с этим математико-статистические методы исследования довольно сильно отличаются от стандартных методов математической стаистики, и безусловно требуется отдельный курс с изложеним этих методов. В настоящее время этот круг вопросов практически представляет собой отдельную дисциплину – статистический анализ экстремальных значений.

Цель освоения дисциплины

Целью дисциплины является формирование навыков использования математико-статистических методов исследования экстремальных значений данных о различных экономических процессах с целью оценивания и прогнозирования экономических и финансовых рисков и других сопутствующих показателей.

Планируемые результаты обучения

Знает основные понятия и факты теории вероятностей и математической статистики и умеет ими пользоваться.
Понимает значение статистических исследований, связанных с разрушениями, разорениями, катастрофами, другими экстремальными событиями.
Знает и умеет применять основные приемы аппроксимации распределения экстремума выборки. Знает основные результаты вероятностной теории экстремумов. Знать основные результаты теории правильно меняющихся функций.
Понимает, что такое вероятностная бумага и умеет ею пользоваться. на примерах применения гистограммы и графической проверки гипотез о распределении экстремума выборки.
Знать и уметь применять оценки максимального правдоподобия экстремального индекса и других параметров. Знать основные свойства стандартных оценок.
Умение применять статистические методы оценивания нормирующих последовательностей для различных областей притяжения. Понимать значение изученных методов для оценивания финансовых, экономических и актуарных рисков.
Знать основные результаты о математической модели финансово-актуарного процесса риска.

Содержание учебной дисциплины

Тема 1. Напоминания из теории вероятностей и математической статистики.
Вероятностное пространство, случайные величины, законы распределения, математическое ожидание, дисперсия, производящие и характеристические функции, сходимость случайных величин, законы больших чисел, центральная предельная теорема. Независимость случайных величин. Основные дискретные и непрерывные распределения. Основные методы точечного и интервального статистического оценивания, методы проверки статистических гипотез.
Тема 2. Экстремальные события в природе, экономике, финансах, страховании. Примеры.
Значение статистических исследований, связанных с разрушениями, разорениями, катастрофами, другими экстремальными событиями. История возникновения дисциплины. Связь с экстремальными значениями статистических наблюдений. Примеры из экономики, финансов, страхования, климатологии.
Тема 3. Основные результаты и факты вероятностной теории экстремумов.
Пуассоновская аппроксимация распределения экстремума выборки. Примеры. Максимально устойчивые распределения. Теорема Фишера-Типпета-Гнеденко. Области притяжения экстремальных законов. Критерии принадлежности функции распределения к максимальной области притяжения. Понятие о правильно изменяющихся функциях. Теорема Караматы. Представление фон Мизеса. Обобщенная форма экстремального закона распределения.
Тема 4. Графическое статистическое исследование экстремальных значений.
Понятие о вероятностной бумаге. Эмпирическая функция распределения. Гистограмма. Понятие о квантильной бумаге, ее свойства. Графическая проверка гипотезы о принадлежности экстремальному типу. Другие примеры использования. Функция среднего эксцесса.
Тема 5. Статистическое оценивание экстремального индекса выборки.
Оценки максимального правдоподобия. Представление Реньи. Оценивание параметра формы. Оценка Пикандса экстремального индекса. Оценка Хилла экстремального индекса. Связь с оценкой максимального правдоподобия. Свойства состоятельности. Асимптотическая нормальность. Области применения различных оценок. Примеры использования.
Тема 6. Методы статистического оценивания других параметров экстремальных значений.
Статистические методы оценивание нормирующих последовательностей для различных областей притяжения. Методы оценивание хвоста распределения и квантилей высокого уровня на основе статистической теории экстремумов. Значение для оценивания финансовых, экономических и актуарных рисков.
Тема 7. Основы вероятностной теории риска.
Понятие о финансово-актуарном процессе риска. Теорема Крамера-Лундберга.

Элементы контроля

Оценка за работу в течение семестра, вкл. домашние задания
контрольная работа
итоговая контрольная работа
Оценка за работу в течение семестра, вкл. домашние задания
контрольная работа
итоговая контрольная работа

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
0.6 * итоговая контрольная работа + 0.2 * контрольная работа + 0.2 * Оценка за работу в течение семестра, вкл. домашние задания

Программа дисциплины