Стохастические методы в инженерных приложениях

Магистратура 2020/2021

Статус: Курс обязательный (Суперкомпьютерное моделирование в науке и инженерии)

Направление: 01.04.04. Прикладная математика

Кто читает: Департамент прикладной математики

Где читается: Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Когда читается: 1-й курс, 3, 4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Манита Анатолий Дмитриевич, Манита Лариса Анатольевна

Прогр. обучения: Суперкомпьютерное моделирование в науке и инженерии

Язык: русский

Кредиты: 4

Контактные часы: 62

Полная версия программы учебной дисциплины Задать вопрос

Аннотация

В данном курсе магистранты будут ознакомлены с примерами стохастических моделей для современных приложений, с классическими и современными подходами к построению и анализу математических моделей, прототипы которых подвержены воздействию случайных факторов.

Цель освоения дисциплины

Ознакомление магистрантов с классическими и современными подходами к построению и анализу математических моделей, прототипы которых подвержены воздействию случайных факторов.

Планируемые результаты обучения

Знание основных понятий теории случайных процессов
Умение подбирать адекватную стохастическую модель для конкретной прикладной задачи
Умение анализировать стохастические модели
Приобретение навыков построения стохастических моделей

Содержание учебной дисциплины

Примеры стохастических моделей для современных приложений. Общее понятие случайного процесса.
Примеры построения простейших стохастических моделей в информатике, физике, экономике, а также для решения различных задач теории надежности, распознавания сигналов, анализа социальных явлений, демографии. Аксиоматика Колмогорова теории вероятностей. Случайные величины. Совокупности случайных величин. Случайные процессы с дискретным и непрерывным временем. Траектории. Функция среднего и корреляционная функция. Конечномерные распределения случайного процесса. Условия согласованности. Понятие о случайных полях.
Основные примеры случайных процессов и особенности их использования в стохастическом моделировании.
Случайные блуждания. Ветвящийся процесс Гальтона Ватсона, задача о вырождении популяции. Пуассоновский, винеровский процессы. Процесс Орнштейна-Уленбека. Телеграфный процесс. Процессы с независимыми приращениями.
Методы гармонического анализа в стохастических моделях.
Характеристические функции случайных величин и случайных векторов как преобразования Фурье вероятностных распределений. Их общие свойства. Вид характеристических функций основных распределений. Формулы обращения. Условия согласованности семейства конечномерных распределений в терминах характеристических функций. Характеристические функции и наборы независимых случайных величин. Сходимость по распределению. Теорема Леви о сходимости. Применение для доказательства предельных теорем. Центральная предельная теорема и законы больших чисел. Сходимость по вероятности и сходимость почти наверное. Понятие о процессах Леви.
Гауссовские системы и гауссовские процессы
Многомерное нормальное распределение, его характеристическая функция. Условие невырожденности, вид плотности. Замкнутость класса гауссовских векторов при линейных отображениях и предельных переходах случайных величин и случайных векторов. Условное математическое ожидание и условные распределения. Их вычисление для гауссовских систем. Гауссовские процессы, примеры. Процесс броуновского моста.
Стационарность и её роль в задачах стохастического моделирования
Случайные процессы стационарные в узком и широком смыслах. Соотношение между этими классами. Случай гауссовских процессов. Дискретный белый шум. Сходимость и непрерывность в среднем квадратичном. Интеграл Римана от стационарного процесса. Стационарные в широком смысле процессы как спирали в гильбертовом пространстве квадратично интегрируемых случайных величин. Интеграл Стилтьеса. Спектральные представления для корреляционных функций. Спектральная мера стационарного процесса и спектральная плотность. Линейные преобразования стационарных процессов. Спектральное представление стационарного в широком смысле процесса в виде интеграла Фурье по ортогональной случайной мере. Примеры дифференциальных уравнений со случайностями.
Методы теории восстановления
Понятие о процессах восстановления. Альтернирующие процессы восстановления. Функция восстановления. Производящая функция. Применение преобразования Лапласа. Узловая теорема восстановления. Примеры.
Методы теории марковских процессов
Марковские цепи с дискретным и непрерывным временем. Классификация. Стационарные распределения. Поглощающие состояния. Связь с теорией Перрона-Фробениуса. Процессы рождения-гибели и их приложения к теории массового обслуживания. Понятие о сетях с очередями. Броуновское движение как марковский процесс. Марковские полугруппы. Понятие о генераторе марковской полугруппы. Уравнения Колмогорова.
Стохастические методы для финансовой инженерии
Понятие о стохастическом интеграле Ито. Примеры вычисления. Стохастические дифференциальные уравнения. Простейшие модели финансовой математики.

Элементы контроля

Самостоятельная работа
Аудиторная работа

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (4 модуль)
0.6 * Аудиторная работа + 0.4 * Самостоятельная работа

Программа дисциплины