Методы анализа стохастических взаимосвязей

Бакалавриат 2020/2021

Статус: Курс по выбору (Прикладная математика)

Направление: 01.03.04. Прикладная математика

Кто читает: Департамент прикладной математики

Где читается: Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Когда читается: 4-й курс, 1, 2 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Поляков Константин Львович

Язык: русский

Кредиты: 5

Контактные часы: 60

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Настоящая дисциплина является дисциплиной специализации «Прикладные методы стохастического анализа». Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:  математический анализ  теория вероятностей и математическая статистика  алгоритмические языки и программирование

Цель освоения дисциплины

Целью освоения дисциплины является приобретение навыков необходимых для количесвтенного анализа и математического моделирования реальных процессов и явлений с использованием аппарата теории вероятностей.

Планируемые результаты обучения

Умеет анализировать качество данных, умеет обнаруживать статистические свойства данных.
Умеет специфицировать модель линейной регрессии (МЛР). Знает понятие «нелинейная внутренне линейная модель».
Умеет оценивать параметры МЛР. Знает свойства полученных оценок.
Умеет оценить значимость полученных оценок параметров МЛР. Умеет построить прогноз на основе оцененной модели.
Умеет определять наличие нарушений основных предположений МЛР.
Умеет проверять гипотезы из прикладной области с помощью построенной МЛР на основе проверки статистических гипотез.
Знает определение стационарности в широком смысле.
Умеет определять наличие/отсутствие стационарности.
Знает определение модели ARMA.
Умеет построить модель ARMA.
Знает определение модели ARIMAX.
Умеет построить модель ARMAX.
Знает определение понятия "выброса" для временных рядов
Знает алгоритм Чена и Лю обнаружения выбросов
Умеет восстанавливать пропущенные значения временного ряда
Умеет выделять полиномиальные и гармонические тренды
Знает методы обнаружения «единичных корней».
Умеет приводить ряд к стационарному виду.

Содержание учебной дисциплины

Модели нестационарных процессов.
Теория единичных корней. Критерии обнаружения единичных корней. Модель ARIMA.
Предварительный анализ данных.
Типология шкал.Номинальная, порядковая, интервальная и относительная шкалы. Допустимые преобразования и операции. Использование в МЛР. Простейшие методы идентификации МЛР. Анализ диаграмм рассеивания. Анализ диаграмм Бокса – Вискера для номинальных и порядковых переменных. Анализ корреляционной матрицы для интервальных и относительных переменных.
Модель линейной регрессии (МЛР).
Определение МЛР. Нелинейная, внутренне линейная модель. Логолинейная модель
Метод наименьших квадратов и линейная регрессия. Статистические свойства МНК оценки параметров МЛР.
Оценка параметров МЛР методом наименьших квадратов (МНК). Оценка качества аппроксимации данных.Метод наименьших квадратов. Аналитическое представление МНК оценки параметров МЛР. Коэффициент детерминации, коэффициент множественной корреляции. Методы выбора структуры модели.Модифицированный коэффициент детерминации. Информационные критерии выбора структуры. Математическое ожидание и дисперсия МНК оценок параметров МЛР. Несмещенность МНК оценки параметров МЛР. Ковариационная матрица оценок. Эффективность МНК оценок параметров МЛР.Теорема Гаусса-Маркова. Оценка дисперсии случайной составляющей МЛР. Некоррелированность этой оценки и МНК оценок параметров МЛР.
Анализ значимости регрессоров. Прогнозирование.
Проверка гипотез о значимости регрессоров.Значимость регрессоров. Критерий Стьюдента проверки значимости. Связь t-статистики и модифицированного коэффициента детерминации. Доверительный интервал для истинного значения коэффициента МЛР. Проверка значимости всего множества регрессоров. Прогнозирование новых значений зависимой переменной.Доверительный интервал для линейной регрессии. Доверительный интервал для нового значения зависимой переменной.
Нарушение основных гипотез МЛР.
Нарушение предположения о полноте ранга.Коллинеарность и мультиколлинеарность. Гребневая регрессия.Гетероскедастичность и наличие автокорреляции. Критерии обнаружения. Критерий Уайта. Стандартные ошибки в форме Уайта и Ньюи-Веста. Статистика Дарбина – Ватсона.Анализ закона распределения случайной составляющей. Критерий Жаку-Бера. Нормальная кривая.
Проверка гипотез о свойствах объектов и явлений с помощью МЛР.
Гипотезы и структура МЛР. Принципы организации проверки экономических и управленческих гипотез.Общее понятие модели. Теория, обладающая проверяемыми следствиями. Вложенные и не вложенные модели. МЛР с переменной структурой (фиктивные переменные).Общая линейная гипотеза. Критерий Вальда. Критерий Чоу.
Определение и классификация временных рядов.
Понятие "временной ряд" и его основные характеристики.Понятие "автокорреляция". Стационарность в широком и узком смысле.Тема 3.1 Теоретические основы динамических моделей.Понятие "линейный фильтр" (ЛФ). Физически реализуемый ЛФ. Наилучший линейный прогноз. Частная автокорреляция. Разложение Вольда. Операторное представление разностных уравнений. Передаточная функция.Модель авторегрессии.Операторное представление. Необходимое и достаточное условие стационарности. Вид функции автокорреляции. Модель скользящего среднего. Смешанные модели.Операторное представление, условие обратимости. Вид автокорреляционной функции.
Моделирование влияния внешних переменных на основные показатели процессов
Обобщенная модель линейной регрессии (ОМЛР).Свойства оценок параметров ОМЛР метод наименьших квадратов (МНК). Обобщенный метод наименьших квадратов. Теорема Айткена. Методы обнаружения автокорреляции случайной составляющей. Статистика Дарбина-Ватсона. Точность оценки коэффициента автокорреляции. Критерий Бокса-Льюнга. Критерий Бреуша-Годфрея. Модель авторегрессии с внешними факторами (ARMAX).
Моделирование влияния скрытых факторов на основные показатели процессов.
Понятие выброса и его отличие от интервенции. Обнаружение единичных и множественных выбросов. Алгоритм Чена и Лю.
Восстановление отсутствующих данных.
Методы интерполяции пропущенных значений. Выбор адекватной задаче стратегии. Проблемы, возникающие при интерполяции.
Моделирование долговременных и сезонных явлений.
Полиномиальные тренды.Понятие "тренд". Связь с моделью линейной регрессии. Стратегия оценки степени тренда. Циклические тренды.Характеристики циклических трендов. Сезонность и циклы. Гармоническое представление ряда, спектрограмма. Сезонные динамические модели.

Элементы контроля

работа на семинарах1
Текущая оценка TO=10 Score/Score_max , где Score — сумма баллов, полученная за работу на семинарах. Score_max — максимальная сумма баллов в группе
самостоятельная работа1
работа на семинарах2
Текущая оценка TO=10 Score/Score_max , где Score — сумма баллов, полученная за работу на семинарах. Score_max — максимальная сумма баллов в группе
самостоятельная работа2
экзамен2

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
Орез2=0.10Ораб.на сем.1+0.25Осам.работа1+0.10Ораб.на сем.2+0.25Осам.работа2+0.30Оэкзамен2

Программа дисциплины