Бакалавриат 2020/2021

Научно-исследовательский семинар "Функциональный анализ"

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс обязательный (Математика)

Направление: 01.03.01. Математика

Кто читает: Кафедра фундаментальной математики

Где читается: Факультет информатики, математики и компьютерных наук (Нижний Новгород)

Когда читается: 3-й курс, 1-4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Галкин Олег Евгеньевич

Язык: русский

Кредиты: 4

Контактные часы: 72

Программа дисциплины

Аннотация

Место дисциплины в учебном плане. Настоящая дисциплина изучается на 3-м курсе. Изучение данной дисциплины базируется на знаниях и умениях, приобретённых в рамках курсов «Математический анализ» и «Линейная алгебра и геометрия». Для освоения дисциплины студенты должны владеть следующими знаниями: знание курса «Математический анализ» в полном объеме; знание курса «Линейная алгебра и геометрия» в части, касающейся теории матриц и теории линейных пространств. Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении дисциплин: «Теория вероятностей»; «Математическая статистика»; «Функциональный анализ»; «Математическая физика».

Цель освоения дисциплины

• освоение основных понятий и методов функционального анализа; создание теоретической базы для последующего обучения смежным математическим дисциплинам.

Планируемые результаты обучения

• В результате освоения темы студент должен: знать основные положения теории линейных, метрических (в том числе нормированных и гильбертовых) и топологических векторных пространств; уметь применять методы функционального анализа при решении прикладных задач; иметь навыки использования методов функционального анализа при решении теоретических и прикладных задач.
• В результате освоения темы студент должен: знать основные положения теории линейных непрерывных функционалов и операторов в нормированных и топологических векторных пространствах; уметь применять методы функционального анализа при решении прикладных задач; иметь навыки использования методов функционального анализа при решении теоретических и прикладных задач.
• В результате освоения темы студент должен: знать основные положения теории неограниченных линейных операторов, дифференциального и интегрального исчисления в нормированных пространствах, теории линейных интегральных уравнений; уметь применять методы функционального анализа при решении прикладных задач; иметь навыки использования методов функционального анализа при решении теоретических и прикладных задач.

Содержание учебной дисциплины

• Непрерывные линейные функционалы и операторы, обобщённые функции, преобразование Фурье
  Непрерывные линейные функционалы. Сопряжённые пространства. Обобщенные функции. Ограниченные линейные операторы в нормированных и евклидовых пространствах: норма оператора, обратный оператор, резольвента и спектр оператора. Сопряжённый к ограниченному линейному оператору. Преобразование Фурье.
• Метрические, линейные, нормированные, евклидовы, топологические векторные пространства
  Метрические пространства. Линейные пространства. Нормированные пространства. Евклидовы и эрмитовы пространства. Ортогональные системы. Пространства L2 и Lp. Топологические векторные пространства.
• Линейные интегральные уравнения, дифференциальное и интегральное исчисление в нормированных пространствах, неограниченные линейные операторы
  Линейные интегральные уравнения. Дифференциальное исчисление в нормированных пространствах – производные Гато и Фреше. Интегральное исчисление в нормированных пространствах – интеграл Бохнера. Неограниченные линейные операторы. Элементы теории неограниченных линейных операторов в нормированных и евклидовых пространствах: операторы с плотной областью определения, замкнутые и замыкаемые операторы, сопряжённый оператор, симметричные и самосопряжённые операторы.

Элементы контроля

• Итоговый устный опрос
• Домашние задания

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (2 модуль)
  0.5 * Домашние задания + 0.5 * Итоговый устный опрос
• Промежуточная аттестация (4 модуль)
  0.5 * Домашние задания + 0.5 * Итоговый устный опрос

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Функциональный анализ, учебное пособие, 3-е изд., 206 с., Князев, П. Н., 2009
• Функциональный анализ. Лекции и упражнения, учебное пособие, 461 с., Дерр, В. Я., 2016

Рекомендуемая дополнительная литература

• Функциональный анализ и вычислительная математика, учебное пособие, 4-е изд., испр. и доп., 295 с., Лебедев, В. И., 2005