Бакалавриат
2020/2021
Дифференциальные уравнения
Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус:
Курс обязательный (Прикладная математика и информатика)
Направление:
01.03.02. Прикладная математика и информатика
Кто читает:
Кафедра фундаментальной математики
Когда читается:
2-й курс, 3, 4 модуль
Формат изучения:
без онлайн-курса
Язык:
английский
Кредиты:
5
Контактные часы:
80
Course Syllabus
Abstract
Курс знакомит с видами дифференциальных уравнений и методами их решений, геометрической интерпретацией уравнения первого порядка, с первыми интегралами, с теорией линейных уравнений и систем, в том числе с постоянными и периодическими коэффициентами, с вопросами существования, единственности и продолжаемости решений, их непрерывности и дифференцируемости по параметру, устойчивости по Ляпунову. Рассматриваются также вопросы существования и единственности решения задачи Коши для уравнения с частными производными первого порядка.
Learning Objectives
- Целью освоения дисциплины «Дифференциальные уравнения» является формирование у студентов теоретических знаний и практических навыков по основам теории обыкновенных дифференциальных уравнений, ознакомление студентов с методами решения дифференциальных уравнений, а также знакомство с прикладными задачами дисциплины.
Expected Learning Outcomes
- Умеет решать основные типы дифференциальных уравнений;
- Знает основные способы решения систем линейных дифференциальных уравнений. Выбирает необходимый способ исходя из специфики задачи;
- Знает основные задачи, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями;
- Умеет применять дифференциальные уравнения к практическим задачам. Проверяет системы дифференциальных уравнений, возникающих при решении прикладных задач, на устойчивость.
- Исследует устойчивость решений дифференциальных уравнений, систем линейных дифференциальных уравнений и нелинейных систем специального вида;
Course Contents
- Дифференциальные уравнения первого порядкаОсновные понятия и определения. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Приближенные методы интегрирования (метод изоклин, метод последовательных приближений). Некоторые виды уравнений, интегрируемых в квадратурах (уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения, линейные дифференциальные уравнения, уравнения в полных дифференциалах). Уравнение Риккати. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной
- Дифференциальные уравнения высших порядковЗадача Коши. Уравнения высших порядков, допускающие понижения порядка. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Линейно зависимые и линейно независимые системы функций. Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Применение теории рядов к решению линейных дифференциальных уравнений.
- Системы дифференциальных уравненийОсновные понятия и определения. Методы интегрирования систем дифференциальных уравнений (метод исключения, метод интегрируемых комбинаций). Системы линейных дифференциальных уравнений. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
- Введение в теорию устойчивостиУстойчивость систем линейных дифференциальных уравнений. Устойчивость однородных систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Исследование устойчивости по первому приближению. Исследование устойчивости с помощью функции Ляпунова. Простейшие типы положений равновесия на фазовой плоскости. Поведение фазовых траекторий в окрестности грубых и негрубых положений равновесия, а также на всей фазовой плоскости.
Interim Assessment
- Interim assessment (4 module)0.5 * письменный экзамен + 0.5 * самостоятельные работы
Bibliography
Recommended Core Bibliography
- Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям, [учебник], 279 с., Лерман, Л. М., 2016
Recommended Additional Bibliography
- Арнольд В.И. - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Московский центр непрерывного математического образования - 2012 - 341с. - ISBN: 978-5-4439-2007-8 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/56392