Научно-исследовательский семинар "Вещественный анализ"

Бакалавриат 2020/2021

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс обязательный (Математика)

Направление: 01.03.01. Математика

Кто читает: Кафедра фундаментальной математики

Где читается: Факультет информатики, математики и компьютерных наук (Нижний Новгород)

Когда читается: 2-й курс, 3, 4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Галкин Олег Евгеньевич

Язык: русский

Кредиты: 6

Контактные часы: 42

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Настоящая дисциплина относится к циклу дисциплин профессионального цикла (вариативная часть). Изучается на 2-м курсе в 3-4 модулях. Изучение данной дисциплины базируется на знаниях и умениях, приобретённых в рамках курсов «Математический анализ» и «Линейная алгебра и геометрия». Для освоения дисциплины студенты должны владеть следующими знаниями: знание курса «Математический анализ» в полном объеме; знание курса «Линейная алгебра и геометрия» в части, касающейся теории матриц и теории линейных пространств. Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении дисциплин «Теория вероятностей», «Математическая статистика», «Математическая физика», «Функциональный анализ».

Цель освоения дисциплины

освоение основных понятий и методов вещественного анализа; создание теоретической базы для последующего обучения смежным математическим дисциплинам; обучение практическим навыкам при вычислении мощностей и мер множеств, а также интегралов функций.

Планируемые результаты обучения

В результате освоения дисциплины студент должен: знать основные положения современной теории меры; уметь: применять методы вещественного анализа при решении прикладных задач; иметь навыки вычисления мощностей и мер множеств.
В результате освоения дисциплины студент должен: знать основные положения современной теории меры, теории измеримых функций и интегрирования, теории функций ограниченной вариации; уметь: применять методы вещественного анализа при решении прикладных задач; иметь навыки вычисления интегралов и вариаций функций, а также пределов последовательностей функций.

Содержание учебной дисциплины

Действительные числа, элементы теории множеств, обычная топология в R^n, системы множеств, теория меры
Аксиомы действительных чисел. Операции над множествами. Мощность множества. Системы множеств: кольца, алгебры, сигма-алгебры. Определения меры, счетно-аддитивной меры, знакопеременной меры и счетно-аддитивной знакопеременной меры (заряда). Продолжения меры по Лебегу. Мера Стильтьеса. Мера Лебега в Rn. Разложение меры в сумму абсолютно непрерывной и сингулярной составляющих.
Измеримые функции, интеграл Лебега, функции ограниченной вариации
Измеримые функции и их свойства. Различные виды сходимости последовательности функций: равномерная, поточечная, почти всюду, по мере. Связь различных видов сходимости: теорема Егорова, теорема Лебега, теорема Рисса. Теорема Лузина о С-свойстве. Определение и свойства интеграла Лебега. Счётная аддитивность интеграла Лебега. Неравенство Чебышёва. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега. Теорема Радона-Никодима. Три теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега: теорема Лебега, теорема Беппо Леви, теорема Фату. Определение интеграла Лебега по сигма-конечной мере. Связь интегралов Римана и Лебега. Полное произведение мер. Теорема Фубини. Функции ограниченной вариации. Их свойства. Интеграл Стилтьеса. Теорема о дифференцируемости интеграла Лебега по верхнему пределу.

Элементы контроля

Итоговый устный опрос
Домашние задания

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (4 модуль)
0.5 * Домашние задания + 0.5 * Итоговый устный опрос

Программа дисциплины