Дифференциальная геометрия

Бакалавриат 2020/2021

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс по выбору (Математика)

Направление: 01.03.01. Математика

Кто читает: Кафедра фундаментальной математики

Где читается: Факультет информатики, математики и компьютерных наук (Нижний Новгород)

Когда читается: 3-й курс, 1-4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Яковлев Евгений Иванович

Язык: русский

Кредиты: 8

Контактные часы: 144

Полная версия программы учебной дисциплины Задать вопрос

Аннотация

В первой части семинара "Дифференциальная геометрия" изучается классическая геометрия кривых и поверхностей. Особое внимание уделяется геодезическим линиям и их свойствам. В частности, доказываются теоремы Клеро и описывается качественное поведение геодезических на поверхностях вращения. Вторая часть семинара посвящена введению в теорию гладких многообразий и риманову геометрию. Изучается теория гладких тензорных полей на многообразиях и, в частности, внешних форм. Определяется интегрирование внешних форм и доказывается формула Стокса. Активное изучение теоретических вопросов достигается благодаря решению многочисленных задач и упражнений.

Цель освоения дисциплины

Ознакомление с основными понятиями современной дифференциальной геометрии и ее приложениями. Изучение основ геометрии, необходимых для освоения других математических дисциплин, и развитию практических навыков решения геометрических задач. Формирование у студентов представлений о дифференциальной геометрии, как одной из важнейших математических дисциплин, имеющей свой предмет, задачи и методы.

Планируемые результаты обучения

Знание теории вектор-функций, умение дифференцировать вектор-функции одного и двух переменных
Знание теории гладких кривых. Умение вычислять кривизну и кручение пространственных кривых, вычислять базис Френе, составлять уравнения элементов трехгранника Френе и натуральных уравнений для плоских кривых.
Знание основных понятий и теорем теории гладких поверхностей. Умение вычислять первую и вторую квадратичные формы поверхности и применять их при решении задач дифференциальной геометрии.
Знание основных понятий тензорного исчисления на поверхностях. Навыки работы с гладкими тензорными полями на поверхностях.
Знание теории параллельного переноса и геодезических линий. Умение составлять дифференциальные уравнения геодезических линий и решать их в частных случаях. Навыки описания качественного поведения геодезических на поверхностях вращения.
Знание основных понятий теории гладких многообразий. Умение строить дифференциальные структуры, проверять гладкость и регулярность отображений, находить касательные пространства и их голономные базисы, задавать ориентации.
Знание теории тензорных полей и, в частности, теории внешних форм на гладких многообразиях. Умение проверять гладкость тензорных полей, вычислять скобки Ли векторных полей, внешние произведения и внешние дифференциалы форм, кодифференциалы гладких отображений
Знание теории интегрирования внешних форм на многообразиях. Умение вычислять интегралы от форм с помощью формулы Стокса, проверять точность внешних форм с применением теоремы де Рама.

Содержание учебной дисциплины

Анализ вектор-функций
Вектор-функции одного переменного. Годограф вектор-функции. Предел вектор-функции. Координатные функции. Свойства пределов вектор-функции. Непрерывность и дифференцируемость вектор-функции. Правила дифференцирования вектор-функции. Формула Тейлора для вектор-функции. Интегрирование вектор-функции. Вектор-функция двух переменных. Предел, непрерывность, дифференцируемость вектор-функции двух переменных.
Гладкие кривые
Элементарные гладкие кривые. Понятие гладкой кривой. Регулярная кривая. Непараметризованная кривая. Касательная к гладкой кривой. Формулы Френе. Элементы трехгранника Френе. Формулы для вычисления кривизны и кручения. Геометрический смысл кривизны и кручения. Натуральное уравнение гладкой кривой. Неявно заданные кривые. Уравнение касательной к неявно заданной кривой. Обобщенные гладкие кривые.
Гладкие поверхности
Элементарные гладкие поверхности. Параметрически заданные гладкие поверхности. Неявно заданные поверхности. Касательная плоскость к поверхности. Уравнение касательной плоскости к параметрически и неявно заданным поверхностям. Первая квадратичная форма поверхности и ее коэффициенты. Применение первой квадратичной формы поверхности к вычислению длин дуг, углов между гладкими кривыми и вычислению площадей кусков поверхности. Вторая квадратичная форма поверхности. Коэффициенты второй квадратичной формы. Расположение поверхности относительно касательной плоскости. Направления на поверхности. Плоские сечения. Кривизна нормального сечения. Теорема Менье. Криволинейные координаты и координатные линии на поверхности. Асимптотические линии на поверхности. Главные кривизны и главные направления. Линии кривизны. Нахождение главных кривизн, главных направлений и линий кривизны. Гауссовы и средние кривизны поверхности. Минимальные поверхности. Понятие о внутренней геометрии поверхностей. Блистательная теорема Гаусса.
Тензорные поля на поверхностях
Тензорные обозначения. Преобразования базисов. Гладкие тензорные поля на поверхностях. Операции над тензорными полями. Метрический тензор на поверхности. Вывод деривационных формул Гаусса.
Геодезические линии на поверхностях
Параллельный перенос векторного поля вдоль кривой и его свойства. Геодезическая кривизна кривой на поверхности. Определение и примеры геодезических линий. Вывод дифференциальных уравнений геодезических. Геодезические как наименее искривленные линии на поверхности. Геодезические на плоскости и на сфере. Механическая интерпретация геодезических линий. Геодезические на поверхностях вращения. Теорема Клеро. Качественное поведение геодезических на однополостном гиперболоиде вращения. Геодезические как локально кратчайшие линии на поверхности. Теорема Гаусса-Бонне и ее применения.
Гладкие многообразия
Гладкие структуры и гладкие отображения. Касательные векторы и касательные пространства. Голономный базис. Дифференциал гладкого отображения. Регулярные и критические точки. Регулярные отображения. Подмногообразия гладкого многообразия. Гладкие расслоения. Ориентации и ориентируемость. Гладкие многообразия с краем. Корректность определения внутренности и края. Край как гладкое подмногообразие. Индуцированная ориентация края. Прямые произведения гладких многообразий. Группы Ли.
Тензорные поля и внешние формы на многообразиях
Кокасательное пространство и его базис. Касательное и кокасательное расслоения. Векторные поля на многообразиях и их гладкость. Алгебра Ли векторных полей. Тензоры в касательном пространстве. Построение тензорных расслоений. Тензорные поля и их гладкость. Базис пространства k-линейных форм. Внешние формы. Внешнее умножение форм. Свойства альтернирования и внешнего умножения. Пространство внешних форм фиксированной степени и его базис. Формы объема. Внешние формы на многообразии (поля форм). Внешнее дифференцирование форм и его свойства. Связь с классическими дифференциальными операторами. Замкнутые и точные формы. Когомологии де Рама. Кодифференциал гладкого отображения и его свойства.
Интегрирование на многообразиях
Разбиение единицы на гладком многообразии. Интегрирование финитных внешних форм по многообразию. Формула Стокса. Следствия из формулы Стокса. Вывод классических теорем математического анализа (формул Грина, Гаусса-Остроградского, Стокса) из общей формулы Стокса. Критерий де Рама точности внешней формы.

Элементы контроля

Контрольная работа
Задание контрольной работы включает 3 задачи.
Контрольная работа
Задание контрольной работы включает 2 задачи
Итоговая контрольная работа
Задание содержит 2 задачи и 1 теоретический вопрос
Итоговая контрольная работа
Задание содержит 2 задачи и 1 теоретический вопрос

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
0.6 * Итоговая контрольная работа + 0.4 * Контрольная работа
Промежуточная аттестация (4 модуль)
0.6 * Итоговая контрольная работа + 0.4 * Контрольная работа

Программа дисциплины