Методы и средства математического моделирования

Аспирантура 2020/2021

Статус: Курс по выбору

Направление: 27.06.01. Управление в технических системах

Кто читает: Департамент прикладной математики

Где читается: Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Когда читается: 1-й курс, 1 семестр

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Вульфсон Александр Наумович

Язык: русский

Кредиты: 6

Контактные часы: 56

Полная версия программы учебной дисциплины Задать вопрос

Аннотация

Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям аспиранта и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности. Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и аспирантов по ОП «Системы управления и обработки информации в инженерии», изучающих дисциплину «Методы и средства математического моделирования». Курс включает основные сведения, необходимые для реализации полного цикла построения математических моделей, от математической постановки задачи до разработки программного обеспечения.

Цель освоения дисциплины

1. Формирование представлений, получение знаний, умений и навыков по методологии и основным средствам математического моделирования различных физических процессов 2. Изучение основных аналитических принципов, лежащих в основе построения математических моделей, а также обработки и анализа результатов модельных экспериментов. 3. Выработка практических навыков решения классических вычислительных задач. 4. Реализация математических моделей с использованием современных вычислительных методов и алгоритмов.

Планируемые результаты обучения

Иметь представление о математической модели. Иметь понятие об основных целях математического моделирования. Иметь представление об базовых математических конструкциях, используемых при решении операторных уравнений. Уметь реализовать численную модель и проводить моделирование
Знать методы и типовые алгоритмы решения стационарных задач с дифференциальными операторами. Уметь решать стационарные задачи итерационными и прямыми методами
Знать методы и типовые алгоритмы решения нестационарных задач с дифференциальными операторами. Уметь решать нестационарные задачи с помощью явных и неявных разностных схем. Иметь понятие о методах расщепления
Знать возможности реализации типовых алгоритмов и моделей средствами вычислительной техники. Иметь представление об основах планирования экспериментов с математическими моделями
Иметь представление об общих понятиях теории и практики как математического, так и физического моделирования. Иметь представление о достоинствах и недостатках этих подходов
Уметь адекватно оценивать результаты математического моделирования. Иметь представление об анализе и обработке результатов численного эксперимента

Содержание учебной дисциплины

Функциональные пространства и операторы
Евклидовы пространства. Пространства Соболева. Оператор Штурма-Лиувилля и матричный оператор. Симметричность оператора Штурма-Лиувилля и матричного оператора в евклидовом и энергетическом пространствах. Необходимые и достаточные условия положительной определённости оператора Штурма-Лиувилля и матричного оператора. Преобразование Гаусса линейной алгебраической системы. Краевые условия и положительная определённость.
Задача на собственные значения
Задача на собственные значения для оператора Штурма-Лиувилля. Теоремы Стеклова и Гильберта. Задача на собственные значения для симметричного матричного оператора. Спектральные условия положительной определённости линейного вполне непрерывного оператора. Критерий Гершгорина для матричного оператора. Ортогональные разложения по собственным элементам.
Стационарные уравнения с положительно определенными операторами
Операторная форма дифференциальных уравнений. Существование, единственность и корректность задач с положительно определёнными операторами. Уравнение Штурма-Лиувилля Разностная схема Тихонова-Самарского. Сохранение положительной определённости и симметричности. Уравнение Пуассона и его решение проекционным методом Фурье и методом Крылова. Дифференциально-разностные и разностные уравнения Пуассона
Нестационарные уравнения с положительно определенными операторами. Методы расщепления
Матричный экспоненциал и его свойства. Решение однородной системы дифференциальных уравнений первого порядка. Явные и неявные схемы Эйлера. Схема Рунге-Кутты. Разностные схемы по времени как приближения матричного экспоненциала. Решение уравнения теплопроводности. Схема Кранка-Никольсон. Метод дробных шагов Яненко и Самарского Метод расщепления Марчука. Схема Саульева и схема Писмена-Рекфорда
Принцип стационирования и решение стационарных операторных уравнений
Операторный ряд Неймана и достаточные условия его сходимости. Матричный ряд Неймана необходимые и достаточные условия его сходимости. Принцип сжимающих отображений и ряд Неймана. Принцип стационирования для задач с положительно определёнными операторами. Устойчивость по Ляпунову. Итерационные методы решения стационарных задач. Схема Ричардсона. Схема Самарского
Аппроксимация и устойчивость разностных схем
Понятие об аппроксимация и устойчивости. Достаточное условие устойчивости в операторной форме. Спектральное условие Неймана. Критерий Хёрта и счётная вязкость. Теорема Лакса-Рябенького. Разностные схемы для уравнения переноса. Схемы Куранта-Рисса и бегущего счёта
Общие понятия физического и математического моделирования. Теория подобия и автомодельные решения
Понятие математической модели, физическое и математическое моделирование. Механические системы. Дифференциальные уравнения и краевые условия. Размерные и безразмерные параметры Критерии подобия. Реализация теории подобия и размерности в моделировании. Безразмерные формы дифференциальных уравнений модели, включающие параметры моделирования. Упрощение моделей, включающих большие и малые параметры моделирования. Ограничения физического и математического моделирования (сохранение параметров подобия). Автомодельные решения уравнений в частных производных. Метод Грина для решения одномерных уравнений теплопроводности. Примеры

Элементы контроля

аудиторный опрос
самостоятельная работа
Печатная форма самостоятельной работы подается для проверки и используется на защите работы. Электронная форма самостоятельной работы высылается на e-mail, указанный преподавателем. Проверка печатной и электронной форм задания формирует предварительную оценку. При отсутствии электронной формы на e-mail преподавателя в период времени, указанный ниже, самостоятельная работа не засчитывается и оценивается нулём. Электронная форма самостоятельной работы предоставляется не позднее 1-ой зачётной даты, указанной преподавателем . Выполненные в этот срок задания могут быть один раз доработаны с последующей коррекцией предварительной оценки.

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (I семестр)
0.3 * аудиторный опрос + 0.7 * самостоятельная работа

Программа дисциплины