Методология и методы научных исследований в математике

Аспирантура 2020/2021

Статус: Курс обязательный

Направление: 01.06.01. Математика и механика

Кто читает: Департамент математики

Когда читается: 1-й курс, 1 семестр

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Бородин Андрей Николаевич, Широков Николай Алексеевич

Язык: русский

Кредиты: 10

Контактные часы: 80

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Целями освоения дисциплины «Методология и методы научных исследований в математике» является знакомство с основными концепциями профилей обучения, формирование навыков проведения научных исследований в различных областях математики. В рамках дисциплины изучаются такие разделы, как "Ортогональные полиномы", "Носитель меры на компактах", "Теоремы об оценках", "Диффузионные процессы" и "Распределение функционалов от броуновского движения".

Цель освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины «Методология и методы научных исследований в математике» является знакомство с основными концепциями профилей обучения, формирование навыков проведения научных исследований в различных областях математики.

Планируемые результаты обучения

Демонстрирует знание понятия ортогональных полиномов ао конечной борелевской мере, минимальной емкости относительно носителя меры и относительно функции Грина
Демонстрирует знание принципов академической и профессиональной этики, умеет связывать научное творчество с ответственностью за результат
Демонстрирует знание равновесных распределений минимальных относительно носителя меры на компактах
Способен ставить исследовательские вопросы, интерпретировать и представлять результаты исследований в рамках выбранной теоретической или прикладной области математики, умеет привлекать аппарат смежных математических направлений для решения задач конкретного исследования
Демонстрирует знание теорем об оценках (сверху и снизу для произвольной последовательности полиномов, снизу на компакте и др.)
Демонстрирует способность к использованию готовых и разработке новых математических моделей, основанных на случайных данных, умеет проводить верификацию модели, оценивать ее достоверность адекватными методами
Демонстрирует знание определения марковского процесса и переходной вероятности марковского процесса, определения диффузионного процесса и связи между коэффициентами стохастического дифференциального уравнения и коэффициентами сноса и диффузии
Умеет формулировать теоретические положения, отражающие закономерности случайных явлений и доказывать их, верифицировать свойства вероятностных моделей
Демонстрирует знание общего подхода к вычислению распределений функционалов от броуновского движения, подхода вычислению распределений функционалов от броуновского движения, остановленного в момент выхода на границу интервала

Содержание учебной дисциплины

Носителя меры на компактах
Равновесные распределения минимальные относительно носителя меры на компактах; строение соответствующих функций Грина; минимальный носитель.
Теоремы об оценках
Общая теорема об оценке сверху произвольной последовательности полиномов через минимальную относительно носителя меры функцию Грина. Теорема о реализации верхней оценки для ортогональных по мере полиномов. Оценка снизу для произвольных ортогональных полиномов через классическую функцию Грина. Оценка снизу на компакте частичного произведения ортогонального полинома. Оценка для старших коэффициентов ортогональных по мере полиномов. Построение меры, для которой реализуется нижняя оценка асимптотике ортогональных по этой мере полиномов. Построение примера меры, для ортогональных полиномов, для которой в асимптотике имеются строгие неравенства. Локализация нулей ортогональных полиномов. Пример меры, сосредоточенной на полуокружности. Связь между слабым пределом вероятностных мер, построенных по нулям ортогональных полиномов, и асимптотикой старших коэффициентов этих полиномов.
Диффузионные процессы
Обобщением броуновского движения являются диффузионные процессы. К пониманию необходимости рассматривать диффузионные процессы, по-видимому, раньше пришли физики, чем математики. Ярким примером тому служит уравнение Эйнштейна-Смолуховского, описывающее движение легкой частицы в вязкой жидкости. С одной стороны, хаотичное движение молекул жидкости в результате соударений частицей придает ей неупорядоченные перемещения, а с другой, вязкость ограничивает скорость такого перемещения. Эти два фактора и были учтены при возникновении стохастического дифференциального уравнения Эйнштейна-Смолуховского. строгое математическое определение диффузионных процессов дал А.Н. Колмогоров. После появления стохастического исчисления выяснилось, что при некоторых предположениях определенные А.Н. Колмогоровым диффузионные процессы являются решениями соответствующих стохастических дифференциальных уравнений. Дано определение марковского процесса и определена переходная вероятность марковского процесса. Важное значение имеет выражение конечномерных распределений марковского процесса через начальное распределение и переходную вероятность. Дано определение диффузионного процесса. Сформулированы и доказаны достаточные условия диффузионности. Устанавливается, что решение стохастического дифференциального уравнения является марковским процессом. При определенных условиях диффузионные процессы как раз и являются решением стохастических дифференциальных уравнений. Установлена связь коэффициентов стохастического дифференциального уравнения с коэффициентами сноса и диффузии. Рассмотрены однородные диффузионные процессы и отвечающие им стохастические дифференциальные уравнения. Приведено вероятностное решение задачи Коши (решение уравнения теплопроводности) и задачи Дирихле.
Ортогональные полиномы
Ортогональные полиномы по конечной борелевской мере; минимальная емкость относительно носителя меры; борелевской мере; минимальная емкость относительно носителя меры функции Грина; связь с обычной емкостью и функцией Грина области.
Распределение функционалов от броуновского движения
Детально изложен общий подход к вычислению распределений функционалов от броуновского движения. Доказываются результаты, позволяющие вычислять распределение интегральных функционалов от броуновского процесса (формула Фейнмана-Каца) и функционалов инфимума и супремума броуновского процесса. Приводятся примеры использования этих результатов для эффективного вычисления явных формул для распределений некоторых функционалов от броуновского движения. Рассмотрен метод вычисления условных распределений функционалов при условии, что конец траектории фиксирован (вычисления распределений функционалов от броуновского моста). Наряду с распределениями функционалов в фиксированный момент времени, изложен подход к вычислению распределений функционалов от броуновского движения, остановленного в момент выхода на границу интервала. Такие результаты находят применение в теории страхования (вычисление вероятностей разорения) и в финансовой математике. Доказана теорема о замене меры (преобразование Гирсанова), которая имеет многочисленные приложения. В качестве одного из таких приложений выводятся результаты о распределении функционалов от броуновского движения с линейным сносом.

Элементы контроля

Домашнее задание
Аудиторная работа
Аудиторная работа – участие в обсуждениях по теме семинарского занятия, ответы на вопросы преподавателя. В ходе аудиторной работы аспирант должен продемонстрировать умение ведения обсуждения по теме семинарского занятия и оперативного вовлечения в сформированную дискуссию по поставленным вопросам, к научно-исследовательской деятельности в области фундаментальной и/или прикладной математики.
Экзамен
Устный экзамен. Аспирант получает два вопроса. Оценкой за экзамен является среднее арифметическое оценок за два вопроса. Округление оценки проводится по арифметическим правилам (4,5 округляется до 5, 6,4 – до 6). Ответ и время на подготовку – 80 мин.

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (I семестр)
Накопленная оценка по дисциплине рассчитывается с помощью взвешенной суммы оценок за отдельные формы текущего контроля знаний следующим образом: Онакопленная=0,5*ОДЗ + 0,5* ОАР, где ОДЗ – оценка за домашнее задание, ОАР – оценка за аудиторную работу. Способ округления накопленной оценки текущего контроля арифметический. Результирующая (итоговая) оценка по дисциплине Орезульт выставляется как оценка за экзамен и рассчитывается следующим образом: Орезульт = 0,2·Онакопленная + 0,8·Оэкз, где Онакопленная – накопленная оценка по дисциплине; Оэкз – оценка за задания экзамена.

Программа дисциплины