Математический анализ

Бакалавриат 2020/2021

Статус: Курс обязательный (Информационная безопасность)

Направление: 10.03.01. Информационная безопасность

Кто читает: Департамент прикладной математики

Где читается: Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Когда читается: 1-й курс, 1-4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Акбаров Сергей Саидмузафарович, Артамонов Сергей Юрьевич, Бодрова Анна Сергеевна, Булеков Александр Александрович, Воронцова Татьяна Дмитриевна, Выборный Евгений Викторович, Коник Полина Вадимовна, Рахель Марк Анатольевич, Элияшев Юрий Валерьевич

Язык: русский

Кредиты: 12

Контактные часы: 188

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Настоящая дисциплина относится к циклу математических и естественнонаучных дисциплин и блоку дисциплин, обеспечивающих базовую подготовку. Изучение данной дисциплины базируется на знаниях и умениях приобретённых в рамках школьной программы по математике. Для освоения учебной дисциплины от студентов не требуется знаний и умений, выходящих за рамки школьной программы. Приобретенные при изучении дисциплины знания должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих курсов: • «Дифференциальные уравнения»; «Теория функций комплексного переменного»; «Теория вероятностей, математическая статистика и теория случайных процессов»; «Уравнения математической физики»; «Методы оптимизации»; «Исследование операций»; «Физика»; «Математическое моделирование»; «Численные методы»; «Теория управления»; «Случайные процессы и теория массового обслуживания». Формат изучения дисциплины: без использования онлайн курса.

Цель освоения дисциплины

Ознакомление студентов с основными понятиями и методами теории пределов, дифференциального и интегрального исчисления функций одного и нескольких действительных переменных
Формирование естественнонаучного мировоззрения и развитие системного мышления.

Планируемые результаты обучения

Студент должен знать: основные понятия и результаты теории пределов и непрерывных функций, теории числовых и функциональных рядов, теории интегралов, зависящих от параметра, теории неявных функций и её приложений к задачам на условный экстремум, теории поля; основные теоремы и методы дифференциального и интегрального исчисления функций одного и нескольких переменных.
Студент должен уметь: определять возможности применения теоретических положений и методов математического анализа для постановки и решения конкретных прикладных задач; решать основные задачи на вычисление пределов функций, их дифференцирование и интегрирование, на вычисление интегралов, на разложение функций в ряды.
Студент должен иметь навыки использования стандартных методов и моделей математического анализа и их применения к решению прикладных задач.

Содержание учебной дисциплины

Предел последовательности.
Числовые последовательности. Конечный предел последовательности. Бесконечный предел последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Арифметические операции с пределами. Вычисление пределов. Теоремы о последовательностях: предельный переход в неравенствах, монотонные последовательности и теорема Вейерштрасса, теорема о вложенных отрезках, теорема Больцано-Вейерштрасса, критерий Коши сходимости последовательности. Десятичная запись вещественных чисел. Число Эйлера e.
Непрерывность функции и ее предел
Непрерывные функции. Арифметические операции с непрерывными функциями. Непрерывность композиции. Теоремы о непрерывных функциях: теорема о сохранении знака, теорема Коши о промежуточном значении, теорема Вейерштрасса об ограниченности, теорема Вейерштрасса об экстремумах, теорема Кантора о равномерной непрерывности. Монотонные функции. Предел функции. Существование предела. Замена переменной под знаком предела. Связь между понятием предела и непрерывностью. Теорема о замене переменной под знаком предела. Арифметические операции над пределами. Критерий Коши существования предела функции. Язык ε-δ Коши. Определение предела функции по Коши. Равномерная непрерывность функции по Коши. Степенная функция. Показательная функция. Логарифм. Аксиома тригонометрии. Синус и косинус. Тангенс и котангенс. Обратные тригонометрические функции. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Вычисление пределов, принцип подстановки.
Производная функции одной переменной
Производная и дифференцируемость. Геометрический смысл производной. Наглядный смысл дифференцируемости. Производные элементарных функций. Арифметические действия с производными. Производная композиции. Классические теоремы о дифференцируемых функциях: теорема Ферма, теорема Ролля, теорема Лагранжа, теорема Коши об отношении приращений. Правило Лопиталя. Построение графика: монотонность и экстремум, выпуклость и перегиб, асимптоты. Формулы Тейлора. Теорема об остатке. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Коши. Дифференциал функции и запись формулы Тейлора с его помощью.
Интеграл
Первообразная. Неопределенный интеграл. Вычисление неопределенных интегралов. Разбиения отрезка. Определение определенного интеграла. Суммы Дарбу. Критерий интегрируемости. Ограниченность интегрируемой функции. Интегрируемость монотонной функции. Интегрируемость непрерывной функции. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Интеграл по ориентированному отрезку. Интегрирование по частям. Приложения определенного интеграла: площадь правильной области на плоскости, площадь области, ограниченной параметризованной кривой, площадь области в полярных координатах, длина кривой, объем тела вращения, площадь поверхности вращения. Формула Стирлинга.
Несобственные интегралы
Несобственный интеграл по конечному промежутку. Несобственный интеграл по бесконечному промежутку. Несобственные интегралы от степенной и показательной функций. Замена переменной в несобственном интеграле. Признаки сходимости несобственных интегралов: критерий сходимости знакоположительного интеграла, признак сравнения интегралов, критерий Коши сходимости несобственного интеграла, признак абсолютной сходимости, формула Бонне и признаки Дирихле и Абеля для интегралов. Асимптотическое сравнение интегралов. Интегрирование асимптотических формул. Нахождение асимптотики интегрированием по частям.
Асимптотические методы
Асимптотическая эквивалентность функций (символ ∼) . Асимптотическое сравнение функций (символы ≪ и o). Принцип выделения главного слагаемого. Эквивалентность модулей, степеней и логарифмов. Асимптотические формулы. Связь между символами ∼ и o. Свойства символа o и упрощение асимптотических формул. Вычисление пределов с помощью асимптотических формул. Формула Тейлора-Пеано. Формулы Маклорена-Пеано. Вычисление пределов в помощью формул Маклорена-Пеано. Асимптотика. Степенная последовательность в нуле. Степенная последовательность на бесконечности. Другие асимптотические последовательности.
Числовые ряды
Числовые ряды. Арифметические свойства числовых рядов. Критерий сходимости знакоположительного ряда. Интегральный признак Коши и постоянная Эйлера. Признак сравнения рядов. Признак Даламбера. Радикальный признак Коши. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Признак абсолютной сходимости. Признак Лейбница. Преобразование Абеля и признаки Дирихле и Абеля для рядов. Асимптотическая эквивалентность рядов. Асимптотическое сравнение рядов. Связь с несобственными интегралами и формула суммирования Эйлера. Точное вычисление сумм.
Функциональные последовательности, ряды и аппроксимация
Функциональные последовательности и функциональные ряды. Поточечная сходимость. Область сходимости функциональной последовательности и функционального ряда. Равномерная сходимость функциональной последовательности. Критерий Коши равномерной сходимости последовательности. Равномерная сходимость функционального ряда. Критерий Коши равномерной сходимости ряда. Необходимое условие равномерной сходимости ряда. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости. Признак Лейбница равномерной сходимости. Признаки Дирихле и Абеля равномерной сходимости. Интегральная сходимость. Аппроксимация. Приближение интегрируемых функций. Приближение интегрируемой функции кусочно постоянными. Приближение интегрируемой функции непрерывными. Свертка. Аппроксимативная единица. Аппроксимация гладкими функциями. Аппроксимация алгебраическими многочленами. Аппроксимация тригонометрическими многочленами.
Степенные ряды
Степенные ряды. Лемма Абеля. Область сходимости степенного ряда. Равномерная сходимость степенного ряда. Непрерывность суммы степенного ряда. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов. Вычисление суммы степенного ряда. Ряд Тейлора. Сходящийся степенной ряд как ряд Тейлора своей суммы. Достаточное условие сходимости ряда Тейлора. Стандартные разложения Маклорена.
Тригонометрические ряды
Тригонометрические ряды и ряд Фурье. Формулировка теорема о сходимости ряда Фурье в среднем квадратичном. Скалярное произведение функций. Ортогональность тригонометрической системы и связь скалярного произведения с коэффициентами Фурье. Минимальное свойство многочленов Фурье. Полнота тригонометрической системы. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля. Доказательство теорема о сходимости ряда Фурье в среднем квадратичном.
Множества и их отображения. Действительные числа. Числовые функции.
Понятие множества. Понятие отображения. Знаки включения, объединения и пересечения. Логические символы. Аксиомы теории вещественных чисел. Числовые множества. Минимум и максимум числового множества. Нижняя и верхняя грани числового множества. Модуль и его свойства. Решение неравенств с модулем. Принцип математической индукции. Числовые функции. Ограниченные функции и точная грань функции на множестве. Монотонные функции.

Элементы контроля

Аудиторная контрольная работа. Предел
Аудиторная контрольная работа. Производная
Аудиторная контрольная работа. Интеграл
Аудиторная контрольная работа. Числовые ряды
Аудиторная контрольная работа. Функциональные ряды
Коллоквиум. Непрерывность, предел и производная
Коллоквиум. Интегралы
Экзамен после 2 модуля
Экзамен после 4 модуля

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
0.166 * Аудиторная контрольная работа. Предел + 0.166 * Аудиторная контрольная работа. Производная + 0.166 * Коллоквиум. Непрерывность, предел и производная + 0.502 * Экзамен после 2 модуля
Промежуточная аттестация (4 модуль)
0.125 * Аудиторная контрольная работа. Интеграл + 0.125 * Аудиторная контрольная работа. Функциональные ряды + 0.125 * Аудиторная контрольная работа. Числовые ряды + 0.125 * Коллоквиум. Интегралы + 0.5 * Экзамен после 4 модуля

Программа дисциплины