Алгебра и геометрия

Бакалавриат 2020/2021

Статус: Курс обязательный (Информатика и вычислительная техника)

Направление: 09.03.01. Информатика и вычислительная техника

Кто читает: Департамент прикладной математики

Где читается: Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Когда читается: 1-й курс, 3, 4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Будков Юрий Алексеевич, Волкова Татьяна Викторовна, Гаращук Иван Русланович, Гришунина Светлана Алексеевна, Жукова Лилия Фаилевна, Захарьев Иван Юрьевич, Перескоков Александр Вадимович, Петропавловский Сергей Владимирович, Сироткин Дмитрий Валерьевич, Эминов Павел Алексеевич

Язык: русский

Кредиты: 5

Контактные часы: 84

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Настоящая дисциплина относится к базовой части математического и естественно-научного цикла дисциплин. Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем приизучении следующих дисциплин: «Дискретная математика», «Математическая логика»,«Теория вероятностей и математическая статистика», «Электротехника и электроника»,«Теория электрических цепей», «Общая теория связи», «Цифровая обработка сигналов»,«Методы машинного обучения»

Цель освоения дисциплины

Знакомство с основными понятиями и методами линейной алгебры и аналитической геометрии как основы значительнойчасти математического аппарата дифференциальных уравнений, функционального анализа,теории вероятностей, математической статистики и других дисциплин.

Планируемые результаты обучения

Умение вычислять скалярное и векторное произведения в декартовой системе координат. Умение вычислять площади треугольников и объемы пирами с использованием векторного и смешанного произведений.
Умение решать задачи на поиск точек пересечений прямых, а также вычислять углы между прямыми на плоскости. Умение использовать при решении задач условия параллельности и перпендикулярности прямых.
Умение составлять уравнения прямых и плоскостей в пространстве и определять и точку пересечения и угол между ними. Уметь находить расстояние между плоскостями, между заданными точкой и плоскостью, угол и расстояние между двумя прямыми в пространстве, уравнение линии пересечения плоскостей.
Умение приводить уравнение кривой второго порядка к каноническому виду с помощью преобразования поворота декартовой системы координат.
Владение алгеброй комплексных чисел: сложение, умножение на число и деление. Умение переходить от алгебраической формф комплексного числа к тригонометрической форме. Умение возводить комплексное число в степень и извлекать из него корень.
Владение алгеброй квадратных матриц: сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц и нахождение обратной матрицы. Умение решать систему n линейных уравнений c n неизвестными методами Крамера и Гаусса. Умение вычислять определители матриц с использованием их основных свойств.
Умение привести матрицу к ступенчатому виду и вычислить ранг матрицы. Умение определять совместность системы линейных уравнений с помощью теоремы Кронекера-Капелли. Умение решать системы линейных уравнений методом Гаусса.
Умение определять ядро, образ и ранг линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей. Умение вычислять собственные значения и собственные векторы линейных операторов. Уметь преобразовывать базис и линейный оператор с помощью линейных преобразований. Умение приводить квадратичные формы к каноническому виду.

Содержание учебной дисциплины

Основы векторной алгебры. Векторы на плоскости и в пространстве. Скалярное произведение векторов. Вычисление площадей и углов. Векторное и смешанное произведения. Объемы, площади и двугранные углы.
Векторы на плоскости и в пространстве. Скалярное произведение векторов. Вычисление площадей и углов. Векторное и смешанное произведения. Объемы, площади и двугранные углы.
Прямые на плоскости. Различные виды уравнений прямых на плоскости.
Прямые на плоскости. Различные виды уравнений прямых на плоскости.
Прямые и плоскости в пространстве. Виды уравнений прямой и плоскости в пространстве.
Кривые второго порядка. Канонические уравнения. Распознавание типа кривой по уравнению общего вида. Методы приведения кривой второго порядка к каноническому виду. Понятие о поверхностях второго порядка.
Комплексные числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы. Геометрическая интерпретация. Алгебра комплексных чисел. Возведение в степень и извлечение корней из комплексных чисел.
Матрицы. Умножение матриц. Обратные матрицы. Определители. Решение систем n линейных уравнений c n неизвестными методами Крамера и Гаусса.
Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Элементарные преобразования не изменяющие ранга матрицы. Ступенчатый вид и ранг матрицы. Системы m линейных уравнений с n неизвестными. Теорема Кронекера-Капелли. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
Линейные пространства. Понятие базиса. Линейные операторы и их матрицы. Ядро, образ и ранг линейного оператора. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов. Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа и методом ортогонального преобразования.

Элементы контроля

Контрольная работа 1
Контрольная работа 2
Накопленная оценка промежуточного (итогового) контроля округляется в меньшую сторону, если дробная часть меньше половины, и в большую -- в противном случае.
Экзамен
На пересдаче студенту не предоставляется возможность получить дополнительный балл для компенсации оценки за текущий контроль.
Активность студентов на семинарах и лекциях

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (4 модуль)
0.1 * Активность студентов на семинарах и лекциях + 0.2 * Контрольная работа 1 + 0.2 * Контрольная работа 2 + 0.5 * Экзамен

Программа дисциплины