Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Бакалавриат 2020/2021

Лучший по критерию «Полезность курса для Вашей будущей карьеры»

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Статус: Курс обязательный (Прикладная математика)

Направление: 01.03.04. Прикладная математика

Кто читает: Департамент прикладной математики

Где читается: Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Когда читается: 1-й курс, 1-4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Захарьев Иван Юрьевич, Перескоков Александр Вадимович, Преснова Анна Павловна

Язык: русский

Кредиты: 10

Контактные часы: 204

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Настоящая дисциплина относится к базовой части Б. Пр. Б профессионального цикла дисциплин. Изучение данной дисциплины базируется на знаниях и умениях, приобретенных в рамках школьной программы по математике. Для освоения учебной дисциплины от студентов не требуется знаний и умений, выходящих за рамки школьной программы. Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении дисциплин: «Математический анализ», «Дифференциальные уравнения», «Теория функций комплексного переменного», «Функциональный анализ», «Теория вероятностей и математическая статистика», «Теория случайных процессов», «Уравнения математической физики», «Методы оптимизации», «Численные методы», «Теория управления».

Цель освоения дисциплины

Приобретение знаний и умений в соответствии с образовательным стандартом НИУ ВШЭ
Формирование у студентов естественнонаучного мировоззрения и развитие у них системного мышления
Ознакомление студентов с основными понятиями и методами линейной алгебры и аналитической геометрии
Освоение базовых приемов решения практических задач по темам дисциплины

Планируемые результаты обучения

Умеет вычислять определители второго и третьего порядка
Умеет применять векторы для решения геометрических задач
Умеет вычислять произведения векторов, находить углы между векторами, площади и объемы фигур
Умеет приводить квадратичную форму к каноническому виду и находить каноническое уравнение поверхности
Уметь находить матрицы, собственные значения и инвариантные подпространства операторов
Уметь применять метод ортогонализации Грама – Шмидта, метод наименьших квадратов, вычислять углы и проекции на подпространство
Умеет находить собственные значения и собственные векторы оператора, жорданову форму
Умеет находить ядро, образ, матрицу линейных отображений, инвариантные подпространства
Умеет выполнять действия над линейными подпространствами, находить размерности подпространств
Умеет находить базис, размерность линейного пространства, преобразовывать координаты при замене базиса
Умеет решать системы линейных уравнений
Умеет вычислять определители порядка n и находить обратную матрицу
Умеет строить линии второго порядка на плоскости
Умеет записывать уравнения прямой и плоскости, находить расстояния между прямой и плоскостью, между точкой и плоскостью

Содержание учебной дисциплины

Матрицы и определители второго и третьего порядка
Матрицы. Разложение определителя по строке. Алгебраические дополнения. Свойства определителей второго и третьего порядка.
Векторная алгебра на плоскости и в пространстве
Векторы. Свойства линейных операций над векторами. Деление отрезка. Векторные пространства. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Базис в векторномпространстве. Координаты вектора в данном базисе.
Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов
Вычисление и свойства произведений векторов. Свойства проекций вектора на вектор и ось. Длины векторов, углы между векторами. Ортогональные векторы. Площади многоугольников на плоскости и в пространстве. Объемы многогранников. Нахождениеплоских и двугранных углов.
Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве
Уравнения прямой и плоскости. Взаимное расположение прямых и плоскостей. Расстояния между прямой и плоскостью, между точкой и плоскостью.
Линии и поверхности второго порядка
Определение эллипса, гиперболы и параболы. Их канонические уравненияи геометрические свойства. Классификация линий второго порядка. Преобразование уравнения второго порядка от двух переменных при замене системы координат.Теорема о линияхвторого порядка на плоскости. Поверхности второго порядка.
Алгебра матриц. Определители порядка n
Определение и основные свойства операций над матрицами. Элементарные преобразования матриц и элементарные матрицы. Транспонированная матрица. Приведение матрицы к ступенчатому с помощью элементарных преобразований. Метод Гаусса. Определители порядка n и их основные свойства. Алгебраические дополнения и миноры. Определитель произведения матриц. Обратная матрица и способы ее нахождения. ПравилоКрамера. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.
Системы линейных уравнений и элементарные преобразования матриц
Классификация систем линейных уравнений. Эквивалентные системы линейных уравнений. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.Теорема Кронекера-Капелли. Свойства решенийоднородных систем.Фундаментальная матрица. Структура общего решения однородной и неоднородной систем.
Линейные пространства. Базис и размерность
Определение и примеры линейных пространств. Линейно зависимые и независимые системы векторов. Базис в линейном пространстве, теорема о его существовании. Размерность линейных пространств. Преобразование координат вектора при изменении базиса. Изоморфизм линейных пространств.
Линейные подпространства
Определение и примеры линейных подпространств. Линейная оболочка системы векторов. Линейные подпространства и решения однородных систем линейных уравнений. Действия над линейными подпространствами. Необходимые и достаточные условия разложимости в прямую сумму подпространств. Теорема о размерности суммы двух подпространств.
Линейные отображения и линейные операторы. Инвариантные подпространства
Определение и примеры линейных отображений. Матрица линейного отображения и ее свойства. Ядро и образ линейного отображения. Изменение матрицы при заменебазиса. Канонический вид матрицы. Линейные операторы. Определение и примеры инвариантных подпространств.Клеточно-треугольная и клеточно-диагональная матрицы.
Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Условия диагонализуемости.Жорданова форма
Собственные значения и собственные векторы линейных операторов. Их нахождение. Характеристическиймногочлен.Собственные подпространства и ихсвойства. Условия диагонализуемостиматрицы оператора.Теорема Кэли-Гамильтона. Корневые и циклические подпространства.Теорема о существовании жордановой формы матрицы и способ ее нахождения.Операторы в вещественном пространстве.
Евклидовы пространства
Определение и примеры евклидовых пространств. Неравенство Коши –Буняковского. Матрица Грама. Ортогональные и ортонормированные базисы. Метод ортогонализации Грама –Шмидта.Теорема об изоморфизме евклидовых пространств. Проекция вектора на подпространство. Метод наименьших квадратов.Унитарные пространства и их свойства.
Линейные операторы в евклидовых пространствах
Понятие сопряженного оператора. Его существование и единственность. Матрица сопряженного оператора. Теорема Фредгольма. Самосопряженные операторы, их матрицы, собственные значения и инвариантные подпространства. Ортогональные операторы и их классификация на плоскости и в пространстве.Нормальный оператор и его свойства.
Билинейные и квадратичные формы
Определение и примеры билинейных и квадратичных форм. Матрицы билинейных и квадратичных форм. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Критерий Сильвестразнакоопределенности квадратичной формы. Классификация поверхностей второго порядка в трехмерном пространстве.

Элементы контроля

Самостоятельная работа 1-2
Контрольная работа 1
Домашняя работа 1
Домашняя работа 2
Контрольная работа 2
Самостоятельная работа 3-4
Промежуточный экзамен
Итоговый экзамен
Экзамен проводится в устной форме.
контрольно-измерительные материалы
контрольно-измерительные материалы

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
0.105 * Домашняя работа 1 + 0.5 * Домашняя работа 2 + 0.245 * Контрольная работа 1 + 0.15 * Самостоятельная работа 1-2
Промежуточная аттестация (4 модуль)
0.075 * Домашняя работа 1 + 0.5 * Домашняя работа 2 + 0.122 * Контрольная работа 1 + 0.25 * Промежуточная аттестация (2 модуль) + 0.053 * Самостоятельная работа 1-2

Программа дисциплины