Теория вероятностей и математическая статистика

Бакалавриат 2020/2021

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс обязательный (Бизнес-информатика)

Направление: 38.03.05. Бизнес-информатика

Кто читает: Кафедра прикладной математики и информатики (Нижний Новгород)

Где читается: Факультет информатики, математики и компьютерных наук (Нижний Новгород)

Когда читается: 2-й курс, 1-4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Колданов Александр Петрович, Семенов Дмитрий Павлович

Язык: русский

Кредиты: 7

Контактные часы: 124

Полная версия программы учебной дисциплины Задать вопрос

Аннотация

Дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» относится к блоку фундаментальных дисциплин данного направления подготовки. Изучение дисциплины базируется на общих курсах математического анализа и линейной алгебры ииспользуется для изучения различных дисциплин блока Data Culture

Цель освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» является изучение студентами методов теории вероятностей и математической статисти-ки. В результате освоения дисциплины студент должен: • Знать основные модели и методы теории вероятностей и математической стати-стики. • Уметь применять эти методы для решения прикладных задач. Изучение данной дисциплины базируется на общем курсе математического анализа и используется при чтении курса Эконометрики.

Планируемые результаты обучения

Уметь вычислять вероятность случайного события. Знать основные модели элементарной теории вероятностей.
Знать получение схемы Бернулли.
Изучить понятие случайной величины. и функции распределения.
Изучить типовые случайные величины.
Понимать концепцию случайного вектора. Изучить понятие многомерное распределение.
Изучить типы связи случайных величин
Понимать и уметь использовать числовые характеристики случайной величины.
Разбираться в числовых характеристиках случайного вектора.
Изучить и уметь применять понятие характеристической функции.
Изучить и уметь доказывать простейший вариант центральной предельной теоремы.
Изучить основные понятия теории случайных процессов.
Изучить типовые случайные процессы.
Изучить основные понятия математической статистики.
Понимать основные понятия выборочного метода.
Знать методы точечного оценивания параметров..
Уметь строить интервальные оценки параметров.
Знать типовые критерии согласия.
Уметь использовать вероятностное интегральное преобразование.
Изучить теория Неймана-Пирсона.построения оптимальных тестов проверки простой гипотезы против простой альтернативы
Уметь строить оптимальные тесты проверки гипотез.
Знать основные понятия многомерного статистического анализа.
Уметь проверять гипотезы о параметрах многомерного распределения.

Содержание учебной дисциплины

1. Вероятность случайного события.1.1. Элементарная теория вероятностей.
Задача де Мере. Пространство элементарных исходов. События и операции над ними. Алгебра событий. Аксиоматическое определение вероятности. Способы за-дания вероятности. Простейшие следствия из аксиом. Условная вероятность и её свойства. Формула полной вероятности и формулы Байеса. Независимые события и их свойства. Независимость в совокупности.
1.2. Схема Бернулли.
Дискретное и абсолютно-непрерывное вероятностные пространства. Дискретная случайная величина и её распределение. Гипергеометрическое распределение. Биномиальное распределение. Предельные теоремы в схеме Бернулли (теорема Пуассона и теоремы Муавра-Лапласа).
2. Случайная величина. 2.1. Распределение.
Общее определение случайной величины. Распределение и функция распределе-ния. Свойства функции распределения. Разложение функции распределения и типы случайных величин. Дискретные и непрерывные случайные величины. Плотность распределения непрерывной случайной величины и её свойства. Распределение времени безотказной работы сложной системы без учёта эффекта усталости.
2.2. Типовые случайные величины.
Дискретные случайные величины: гипергеометрическая, биномиальная, геометри-ческая, отрицательно-биномиальная, пуассоновская. Непрерывные случайные величины: равномерная, нормальная, экспоненциальная, Вейбулла, гамма-распределение.
3. Случайный вектор. 3.1. Многомерное распределение.
Функция совместного распределения нескольких случайных величин и её свойства. Дискретный случайный вектор: полиномиальное распределение, многомерное распределение Пуассона. Непрерывный случайный вектор: равномерное распределение, многомерное нормальное распределение. Маргинальное распределение.
3.2. Типы связи случайных величин.
Условное распределение. Формулы полной вероятности и Байеса для случайных величин. Независимость случайных величин. Функции случайных величин. Моно-тонные функции, распределение суммы и частного независимых случайных вели-чин.
4. Числовые характеристики. 4.1. Числовые характеристики случайной величины.
Моменты распределения случайной величины. Математическое ожидание и его свойства. Дисперсия и её свойства. Коэффициенты ассиметрии и эксцесса. Мода, медиана, квантили.
4.2. Числовые характеристики случайного вектора.
Смешанные моменты. Ковариация и её свойства. Коэффициент корреляции и его свойства. Независимость нормально распределённых случайных величин. Услов-ное математическое и его свойства. Понятие о корреляционной связи.
5. Предельные теоремы. 5.1. Характеристическая функция.
Производящая функция моментов. Моменты нормального распределения. Харак-теристическая функция и её свойства. Замкнутость нормального распределения от-носительно линейного преобразования.
5.2. Центральная предельная теорема.
Неравенство Чебышева. Закон больших чисел. Теорема Муавра- Лапласа. Цен-тральная предельная теорема для независимых одинаково распределённых слу-чайных величин. Условие Линдеберга. Роль нормального распределения.
6. Случайные процессы. 6.1. Основные понятия.
Понятие о случайном процессе. Конечномерное распределение. Числовые характе-ристики случайного процесса. Процессы с непрерывным и дискретным временем. Стационарность в широком и узком смысле. Эргодичность.
6.2. Типовые случайные процессы.
Пуассоновский процесс. Винеровский процесс. Гауссовский процесс. Марковские процессы. Матрица переходных вероятностей. Уравнения Колмогорова-Чепмена.
7. Введение в математическую статистику. 7.1. Основные понятия.
Статистическая структура и вероятностное пространство. Выборка. Функция правдо-подобия. Повторная выборка. Статистика. Тип задач: оценивание параметров, про-верка гипотез. Примеры задач теории статистических решений.
7.2. Выборочный метод.
Эмпирическая функция распределения. Теорема Гливенко. Гистограмма. Выбороч-ные моменты. Частота и вероятность. Оценка числа наблюдений на основе теоремы Муавра-Лапласа.
8. Оценивание параметров. 8.1. Точечные оценки.
Методы построения точечных оценок: метод моментов, оценки максимального правдоподобия, байесовские оценки. Свойства оценок: состоятельность, несме-щённость, эффективность. Неравенство Рао-Крамера. Примеры.
8.2. Интервальные оценки.
Доверительный интервал и доверительная вероятность. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения. Ассимптотическая эффективность и нормальность точечных оценок и доверительные интервалы.
9. Критерии согласия 9.1. Типовые критерии согласия.
Простые и сложные гипотезы согласия. Критерии Колмогорова и Смирнова. Крите-рий хи-квадрат. Хи-квадрат распределение. Распределение статистик согласия. Критерии нормальности и характеризационные свойства. Критерий Шапиро-Уилка.
9.2. Вероятностное интегральное преобразование.
Роль равномерного распределения. Общий метод генерирования случайных вели-чин с заданным распределением. Генерирование нормально распределённых слу-чайных величин. Класс тестов Е.С.Пирсона.
10. Теория Неймана-Пирсона. 10.1. Тесты Неймана-Пирсона.
Простые и сложные гипотезы и альтернативы. Ошибки первого и второго рода. Лемма Неймана-Пирсона. Уровень значимости и функция мощности. Семейство с монотонным отношением правдоподобия.
11. Введение в многомерный статистический анализ. 11.1. Выборочные характеристики
Выборочные корреляционная и ковариационная матрицы. Несмещённая оценка ковариации и коэффициента корреляции. Метод наименьших квадратов. Выбороч-ный аналог уравнения линейной регрессии. Понятие о нелинейной регрессии.
11.2. Проверка гипотез о параметрах многомерного распределения.
Равномерно наиболее мощный тест независимости двух нормальных величин и его обобщение. Проверка гипотезы независимости множества нормальных величин. Тест максимального правдоподобия. Доверительные интервалы.
10.2. Оптимальные тесты проверки гипотез.
Равномерно наиболее мощные в классе несмещённых тесты. Инвариантность. Ми-нимальный полный класс байесовских решающих правил.

Элементы контроля

контрольные
экзамен
"Экзамен проводится в письменной и устной форме. Экзамен проводится на платформе MS Teams (https://teams.microsoft.com). К экзамену необходимо подключиться за 15 минут. Компьютер студента должен удовлетворять следующим требованиям: https://elearning.hse.ru/data/2020/05/07/1544135594/Технические%20требования%20к%20ПК%20студента.pdf) Для участия в экзамене студент обязан: включить камеру и микрофон, подтвердить личность. Во время экзамена студентам запрещено: общаться (в социальных сетях, с людьми в комнате), списывать. Кратковременным нарушением связи во время экзамена считается прерывание связи до 10 минут. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается прерывание связи 10 минут и более. При долговременном нарушении связи студент не может продолжить участие в экзамене. Процедура пересдачи аналогична процедуре сдачи."
контрольные
экзамен
"Экзамен проводится в письменной форме и устной форме. Экзамен может проводиться на платформе MS Teams (https://teams.microsoft.com). К экзамену необходимо подключиться за 15 минут. Компьютер студента должен удовлетворять следующим требованиям: https://elearning.hse.ru/data/2020/05/07/1544135594/Технические%20требования%20к%20ПК%20студента.pdf) Для участия в экзамене студент обязан: включить камеру и микрофон, подтвердить личность. Во время экзамена студентам запрещено: общаться (в социальных сетях, с людьми в комнате), списывать. Кратковременным нарушением связи во время экзамена считается прерывание связи до 10 минут. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается прерывание связи 10 минут и более. При долговременном нарушении связи студент не может продолжить участие в экзамене. Процедура пересдачи аналогична процедуре сдачи."

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
0.3 * контрольные + 0.7 * экзамен
Промежуточная аттестация (4 модуль)
0.25 * контрольные + 0.5 * Промежуточная аттестация (2 модуль) + 0.25 * экзамен

Программа дисциплины