Математический анализ

Бакалавриат 2020/2021

Статус: Курс обязательный (Химия)

Направление: 04.03.01. Химия

Кто читает: Кафедра высшей математики

Где читается: Факультет химии

Когда читается: 1-й курс, 1-4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Сахарова Нина Евгеньевна

Язык: русский

Кредиты: 7

Контактные часы: 132

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Изучение данной дисциплины базируется на знаниях, полученных студентами при освоении школьного курса математики. Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении дисциплин: 1. Дифференциальные уравнения; 2. Теория вероятностей; 3. Профильных химических дисциплин.

Цель освоения дисциплины

формирование у студентов базовых знаний о методах математического анализа
предоставление студентам аналитической базы для изучения последующих математических и специализированных курсов
развитие логического мышления и умения оперировать абстрактными объектами, привитие навыков корректного употребления математических понятий и символов для выражения различных количественных и качественных отношений
развитие навыка строгих математических рассуждений и доказательств
знакомство студентов с программным обеспечением, позволяющим решать задачи математического анализа
формирование у студентов навыков применения методов математического анализа в исследовательской деятельности

Планируемые результаты обучения

обучающийся должен УМЕТЬ:  дифференцировать элементарные функции и находить производные композиций функций  вычислять интегралы функций одного и нескольких переменных;  исследовать задачи на экстремум с помощью производной;  исследовать ряды на сходимость и находить суммы рядов;  вычислять криволинейные и поверхностные интегралы.
обучающийся должен ВЛАДЕТЬ навыками:  исследования прикладных задач с помощью производной и интеграла;  методами исследования непрерывности и дифференцируемости функций и отображений;  методами разложения функций в ряды Тейлора и Фурье;  навыками решения задач на экстремум с помощью производной;  навыками вычисления одномерных и многомерных интегралов.

Содержание учебной дисциплины

Практикум: введение в производные и интегралы
Вычисление простейших производны и интегралов. Примеры
Множества, числа и последовательности.
Множества, мощность множества, отображения множеств, счетные и несчетные множества, континуум. Натуральные, рациональные, вещественные числа, цепные дроби. Метод математической индукции, числа сочетаний, бином Ньютона, неравенство Бернулли. Последовательности, их свойства. Монотонность, ограниченность. Определение предела. Примеры последовательностей, не имеющих пределов. Свойства пределов. Если предел существует, последовательность ограничена. Бесконечные пределы. Теорема о двух милиционерах. Предел суммы. Предел произведения. Предел 1/an. Точная верхняя и точная нижняя грань. Подпоследовательности. Предельные точки. Теорема Больцано--Вейерштрасса (у любой ограниченной последовательности есть сходящаяся подпоследовательность). Число e и замечательные пределы.
Производная.
Производная. Геометрический смысл производной, касательная. Вычисление производных. Производная суммы, произведения, композиции функций. Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. Если производная всюду положительна, функция строго возрастает. Обратная функция. Логарифм. Производная обратной функции. Старшие производные. Выпуклость. Точки перегиба. Достаточное условие экстремума. Правило Лопиталя (неопределенность 0/0, предел в конечной точке). o-малые и О-большие.
Числовые ряды.
Числовые ряды. Признаки сходимости, расходимость гармонического ряда. Знакопеременные ряды, абсолютная и условная сходимость, достаточные условия сходимости
Степенные ряды. Ряд Тейлора.
Степенные ряды. Радиус сходимости, дифференцируемость в интервале сходимости. Представление функций рядами Тейлора в интервале.
Предел функции и непрерывность
Функции. Определение предела функции в точке (по Коши). Определение предела функции по Гейне. Эквивалентность двух определений предела функции в точке. Односторонние пределы. Предел при x стремящемся к бесконечности (плюс бесконечности, минус бесконечности). Беcконечные пределы. Вертикальные, горизонтальные, наклонные асимптоты. Непрерывность. Непрерывность композиции двух функций. Теорема о промежуточном значении.
Интеграл Римана функций одной переменной.
Первообразная. Определенный интеграл (Римана). Свойства определенных интегралов. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменных в определенных и неопределенных интегралах. Примеры вычисления интегралов с помощью замены переменных. Интегрирование по частям.
Теорема о неявной функции Теорема об обратной функции.
Теорема о неявной функции для уравнений вида f(x; y) = 0. Теорема об обратной функции.
Матрица Якоби. Производная композиции. Гессиан.
Матрица Якоби. Производная композиции. Якобиан. Применение вторых частных производных для определения типа экстремума. Достаточные условия (окаймленный гессиан).
Понятие метрического пространства. Норма и расстояние в n-мерном пространстве. Вектор-функции
Введение в функции нескольких переменных: расстоятние в n-мерном пространстве, прямые, плоскости. Вектор-функции и их производные. Кривые в пространстве.
Несобственный интеграл.
Несобственные интегралы. Теорема сравнения для доказательства сходимости несобственных интегралов.
Функции многих переменных. Предел и непрерывность функций многих переменных
Функции нескольких переменных, линии уровня, примеры. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность.
Производные функций нескольких переменных
Частные производные и производная функции нескольких переменных по направлению, геометрический смысл. Градиент.
Метод множителей Лагранжа. Условный экстремум.
Метод множителей Лагранжа (эскиз доказательства для функций двух переменных с одним условием).
Кратный интеграл. Понятие кратного интеграла по двумерной и трехмерной области. Переход к повторному интегралу: теорема Фубини.
Кратный интеграл. Понятие кратного интеграла по двумерной и трехмерной области. Переход к повторному интегралу: теорема Фубини. Изменение порядка интегрирования. Объемы тел. Площадь поверхности вращения. Замена переменных в кратном интеграле Формулировка теоремы. Геометрический смысл якобиана.
Отображения. Вектор-функции многих переменных
Отображения. Вектор-функции многих переменных: обозначения, геометрический смысл. Замена координат (в R2), полярные координаты. Геометрический смысл частных производных

Элементы контроля

Домашние задания
В течение учебного года планируется 10 домашних работ (4 в первом семестре и 6 во втором семестре)
Самостоятельные работы
В течение учебного года планируется 12 самостоятельных работ (5 в первом семестре и 7 во втором семестре)
Контрольная работа
Планируется две контрольных работы: в конце 1 модуля и в конце 3 модуля.
Экзамен
При проведении экзамена в дистанционном формате следует руководствоваться следующими Правилами проведения экзамена https://docs.google.com/document/d/1wucBt1JL0yWwdWxxyG4jN0PL_fsPE9E_OYlklMOTmlE/edit?usp=sharing

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
В промежуточную аттестацию 2 модуля 1курса промежуточная оценка (ИО1) определяется по формуле: ИОi=0.3* Оэкз+0.27*Окр1+ 0.15*Oдз+0.28*ОКр2, где Оэкз - оценка за экзамен, Окр1, Окр2 - оценка за контрольную работу, Oдз - средняя оценка за домашние задания. В промежуточную аттестацию 2 модуля курса промежуточная оценка (ИО2) определяется по формуле: ИОi=0.35* Оэкз+0.25*Окр+ 0.15*Oдз+0.25*Осам, где Оэкз - оценка за экзамен, Окр - оценка за контрольную работу, Oдз - средняя оценка за два домашних задания и Осам - средняя оценка за самостоятельные работы.
Промежуточная аттестация (4 модуль)
В промежуточную аттестацию 4 модуля 1 курса промежуточная оценка (ИО2) определяется по формуле: ИО2=0.5 Оэкз + 0.4 Окр + 0.2 Одз, где Оэкз - оценка за экзамен, Окр - среднее арифметическое за две контрольные, Одз - среднее арифметическое за 4 домашних задания. В 4 модуле 2 курса промежуточная оценка (ИО4) определяется по формуле: ИО4=0.35* Оэкз+0.25*Окр+ 0.15*Oдз+0.25*Осам, где Оэкз - оценка за экзамен, Окр - оценка за контрольную работу, Oдз - средняя оценка за три домашних задания и Осам - средняя оценка за пять самостоятельных работ.

Программа дисциплины