Математический анализ

Бакалавриат 2020/2021

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс обязательный (Мировая экономика)

Направление: 38.03.01. Экономика

Кто читает: Департамент математики

Где читается: Факультет мировой экономики и мировой политики

Когда читается: 1-й курс, 1-4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Золотухина Алевтина Федоровна, Мещерякова Наталья Геннадьевна, Салимова Альфия Фаизовна

Язык: русский

Кредиты: 7

Контактные часы: 136

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности. Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов. Курс предназначен для студентов, обучающихся по направлению 38.03.01 «Экономика», образовательная программа «Мировая экономика», подготовки бакалавра, изучающих дисциплину «Математический анализ». Программа разработана в соответствии с:  образовательным стандартом Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»;  образовательной программой направления 38.03.01 «Экономика» подготовки бакалавра;  рабочим учебным планом университета по направлению подготовки 38.03.01 «Экономика» образовательной программы «Мировая экономика», утвержденным в 2018г.

Цель освоения дисциплины

ознакомление студентов с основами математического анализа
формирование представлений о теоретических основах математического анализа и об областях практического приложения математических моделей
формирование навыков работы с абстрактными математическими понятиями
формирование умения демонстрировать знание и понимание основных определений, теорем, алгоритмов и методов решения задач по курсу
формирование умений пользоваться методами математического анализа для формализации и решения прикладных задач, в том числе экономического содержания
развитие навыков самостоятельной работы и умений находить и перерабатывать дополнительную информацию в данной предметной области
обеспечение запросов других математических дисциплин
подготовка к изучению современных курсов по экономической теории

Планируемые результаты обучения

Выводит необходимые и достаточные признаки сходимости числовых рядов с неотрицательными членами. Находит область сходимости функционального ряда и радиуса сходимости степенного ряда.
Вычисляет интегралы для различных классов функций. Применяет формулу интегрирования по частям и производит при необходимости различные замены. Применяет формулу Ньютона-Лейбница. Интерпретирует геометрический смысл определенного интеграла.
Интерпретирует геометрический смысл двойного интеграла по произвольной области. Изменяет порядок интегрирования, переходит от двойного интеграла к повторному. Вычисляет двойные интегралы.
Вычисляет пределы от различных функций в точке и на бесконечности, раскрывает различного вида неопределенности.
Вычисляет производные от функций, заданные явно, неявно, параметрически. Применяет производные при исследовании функции одной переменной и построении ее графика. Анализирует функциональные зависимости в связи с теоремами дифференциального исчисления функций одной переменной.
Исследует квадратичную форму второго дифференциала на знакоопределенность . Выявляет необходимые и достаточные условия локального экстремума функций многих переменных. Строит функцию Лагранжа и находит множители Лагранжа в задачах на условный экстремум.
Определяет тип ДУ первого порядка и подбираеи способ его решения. Ставит и решает задачу Коши для ДУ первого порядка. Понижает порядок ДУ высших порядков. Применяет метод неопределенных коэффициентов при решении ЛДУ высших порядков с правой частью специального вида
Строит и анализирует линии уровня функции двух переменных. Вычисляет частные и полне производные.

Содержание учебной дисциплины

Предел и непрерывность функции одной переменной
Множества, операции объединения, пересечения, дополнения. Отображения множеств (функции). Числовая прямая, расстояние между точками числовой прямой. Промежутки, окрестность точки, проколотая окрестность точки. Числовые функции. Область определения, множество значений функции. Элементарные функции. Предел функции одной переменной на бесконечности. Предел функции одной переменной в точке. Односторонние пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Арифметические свойства пределов. Свойства операции предельного перехода. Первый и второй замечательные пределы. Сравнение функций. Символы о-малое и О-большое и их использование для раскрытия неопределенностей при вычислении пределов. Эквивалентные бесконечно малые. Непрерывность функции в точке и на множестве. Точки разрыва функции, их классификация. Арифметические свойства непрерывных функций. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Понятие производной функции одной переменной в точке. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции в точке. Понятие дифференцируемости функции в точке. Связь дифференцируемости функции одной переменной с ее непрерывностью. Экономическая интерпретация производной. Правила дифференцирования. Дифференцирование сложной функции. Формула логарифмического дифференцирования. Теорема о дифференцируемости и производной обратной функции. Таблица производных основных элементарных функций. Производная функции, заданной параметрически. Производная функции, заданной неявно. Формула Лейбница для производных произведения двух функций. Понятие дифференциала функции в точке. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков функции одной переменной в точке и их свойства. Понятие об экстремумах функции одной переменной. Точка локального экстремума функции одной переменной. Необходимое условие ее существования (теорема Ферма). Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши. Правило Лопиталя. Многочлен Тейлора и формула Тейлора для функций одной переменной с остаточным членом в формах Пеано и Лагранжа. Формулы Маклорена для основных элементарных функций. Использование формулы Тейлора для представления и приближенного вычисления значений функции. Достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции на промежутке. Достаточные условия точки локального экстремума для функции одной переменной. Выпуклые (вогнутые) функции одной переменной. Достаточные условия выпуклости (вогнутости). Точки перегиба. Необходимые и достаточные условия точки перегиба. Асимптоты графика функции одной переменной. Общая схема исследования функции одной переменной и построение ее графика.
Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Арифметическое пространство . Расстояние между точками пространства. Неравенство треугольника. Окрестности точек, предельные и внутренние точки. Связные, несвязные, ограниченные, неограниченные множества. Замкнутые и открытые множества. Понятие функции многих переменных. Линии равного уровня. Определение предела функции многих переменных. Арифметические свойства пределов. Понятие непрерывности функции многих переменных в точке. Арифметические свойства непрерывных функций. Теорема о непрерывности сложной функции. Понятие частных производных функции многих переменных в точке. Определение дифференцируемости функции в точке. Связь дифференцируемости функции в точке с непрерывностью и существованием частных производных. Достаточное условие дифференцируемости функции в точке. Арифметические свойства дифференцируемых функций. Теорема о дифференцируемости сложной функции. Касательная плоскость к графику функции двух переменных в точке. Уравнение касательной плоскости. Дифференциал функции многих переменных в точке. Геометрический смысл первого дифференциала для функции двух переменных. Инвариантность формы первого дифференциала. Градиент функции в точке и производная по направлению. Геометрический смысл градиента функции в точке, его свойства. Частные производные и дифференциалы высших порядков функции многих переменных. Теорема о равенстве смешанных производных. Многочлен Тейлора. Формула Тейлора для функций многих переменных с остаточным членом в форме Пеано и Лагранжа. Понятие неявной функции. Теорема о существовании и непрерывности неявной функции, определяемой одним уравнением. Теорема о дифференцируемости неявной функции. Формула для производных неявной функции. Повторное дифференцирование неявной функции. Понятие системы неявных функций, определяемых системой уравнений. Условия их существования и дифференцируемости. Матрица Якоби. Якобиан.
Классические методы оптимизации
Локальный экстремум функций многих переменных. Необходимое условие локального экстремума. Знакоопределенность второго дифференциала. Достаточное условие локального экстремума функции многих переменных. Теорема об экстремуме неявной функции, определяемой уравнением и системой уравнений. Применение в экономических задачах. Условный экстремум функции многих переменных. Функция Лагранжа и множители Лагранжа для задачи на условный экстремум. Необходимое условие условного экстремума. Исследование достаточных условий условного экстремума. Применение в экономических задачах.
Интегральное исчисление функции одной переменной
Понятие первообразной функции одной переменной на интервале. Понятие неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла. Интегралы от основных элементарных функций. Табличные интегралы. Замена переменной и формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Понятие о рациональной функции. Элементарные (простейшие) дроби I и II рода. Правильные и неправильные рацинальные дроби. Выделение из неправильной рациональной дроби целой части в виде многочлена. Интегрирование рациональных функций. Основные классы функций, интегрирование которых сводится к интегрированию рациональных функций. Интегрирование иррациональных функций. Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная тригонометрическая подстановка. Понятие интегральной суммы. Верхняя и нижняя интегральные суммы. Понятие определенного интеграла и его геометрическая интерпретация. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем для определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и формула интегрирования по частям для определенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции. Геометрические приложения определенного интеграла. Несобственные интегралы 1 и 2 рода. Абсолютная и условная сходимость несобственного интеграла. Признаки сравнения несобственных интегралов от положительных функций.
Интегрирование простейших дифференциальных уравнений
Понятие дифференциального уравнения первого порядка. Понятие общего решения. Задача Коши. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными, однородные, в полных дифференциалах. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод вариации произвольной постоянной. Уравнения Бернулли. Экономические задачи, сводящиеся к решению дифференциальных уравнений первого порядка. Дифференциальные уравнения старших порядков. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка. Экономические задачи, сводящиеся к решению дифференциальных уравнений второго порядка. Комплексные числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Действительная и мнимая часть комплексного числа. Модуль и аргумент комплексного числа. Решение квадратных уравнений. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами. Задача Коши. Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида. Линейные разностные уравнения.
Интегрирование функций многих переменных
Понятие двойного интеграла и его геометрическая интерпретация. Свойства двойного интеграла. Сведение двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования. Замена переменных в двойном интеграле. Переход в двойном интеграле к полярным координатам. Якобиан преобразования. Вычисление площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла. Геометрические приложения двойного интеграла.
Числовые, функциональные и степенные ряды
Понятие о числовых рядах. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Признаки сравнения для знакопостоянных рядов. Признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак Коши. Эталонные ряды с положительными членами. Критерий Коши сходимости ряда. Понятие абсолютной и условной сходимости числового ряда. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Функциональные ряды. Область сходимости функционального ряда. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Вычисление радиуса сходимости степенного ряда при помощи признаков Коши и Даламбера. Непрерывность суммы степенного ряда. Теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании степенного ряда. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора (Маклорена). Разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций.

Элементы контроля

О_(к.р.1)
Оценка выставляется в 100-балльной системе. Данная форма контроля реализуется в дистанционном формате с использованием системы Экзамус. Студентам предлагаются письменные задания, загруженные в систему "Moodle". Вариант содержит 8 заданий. Студенты отвечают на задания, выписывая решения задач от руки на листы формата А4. Продолжительность выполнения работы 80 минут плюс 20 минут на загрузку файлов. Для фотографирования файлов в конце работы можно воспользоваться телефоном. Это не будет считаться нарушением процедуры сдачи данной формы контроля.
О_(к.р.2)
Оценка выставляется в 100-балльной системе. Данная форма контроля реализуется в дистанционном формате с использованием системы Экзамус. Студентам предлагаются письменные задания, загруженные в систему "Moodle". Вариант содержит 8 заданий. Студенты отвечают на задания, выписывая решения задач от руки на листы формата А4. Продолжительность выполнения работы 80 минут плюс 20 минут на загрузку файлов. Для фотографирования файлов в конце работы можно воспользоваться телефоном. Это не будет считаться нарушением процедуры сдачи данной формы контроля.
О_(к.р.3)
Оценка выставляется в 100-балльной системе. Данная форма контроля реализуется в дистанционном формате с использованием системы Экзамус. Студентам предлагаются письменные задания, загруженные в систему "Moodle". Вариант содержит 8 заданий. Студенты отвечают на задания, выписывая решения задач от руки на листы формата А4. Продолжительность выполнения работы 80 минут плюс 20 минут на загрузку файлов. Для фотографирования файлов в конце работы можно воспользоваться телефоном. Это не будет считаться нарушением процедуры сдачи данной формы контроля.
О_(д.к.р.)
Оценка выставляется в 100-балльной системе. Данная форма контроля реализуется в удаленном формате. Студентам предлагаются письменные задания, высланные на электронную почту. Студенты отвечают на задания удаленно, в удобное для себя время, выписывая решения задач от руки в тонкую тетрадь 12-18 листов. Задания выдаются на последней неделе второго модуля. Выполненные работы сдаются на первой неделе третьего модуля. По договоренности с ассистентом студенты сдают на проверку либо тетрадь, либо загружают файлы работы в указанную ассистентом систему.
О_(к.р.4)
Оценка выставляется в 100-балльной системе. Данная форма контроля реализуется в дистанционном формате с использованием системы Экзамус. Студентам предлагаются письменные задания, загруженные в систему "Moodle". Вариант содержит 8 заданий. Студенты отвечают на задания, выписывая решения задач от руки на листы формата А4. Продолжительность выполнения работы 80 минут плюс 20 минут на загрузку файлов. Для фотографирования файлов в конце работы можно воспользоваться телефоном. Это не будет считаться нарушением процедуры сдачи данной формы контроля.
О_(экз.)

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (4 модуль)
0.08 * О_(д.к.р.) + 0.08 * О_(к.р.1) + 0.08 * О_(к.р.2) + 0.08 * О_(к.р.3) + 0.08 * О_(к.р.4) + 0.6 * О_(экз.)

Программа дисциплины