Линейная алгебра

Бакалавриат 2020/2021

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс обязательный (Экономика и статистика)

Направление: 38.03.01. Экономика

Где читается: Факультет экономических наук

Когда читается: 1-й курс, 1, 2 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Демин Сергей Станиславович, Каибханов Карахан Эйбханович, Поляков Николай Львович, Самойлова Ирина Александровна, Широков Дмитрий Сергеевич

Язык: русский

Кредиты: 5

Контактные часы: 60

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Дисциплина «Линейная алгебра» предназначена для студентов 1-го курса бакалавриата направление 38.03.01. Экономика, образовательные программы «Экономика», «Экономика и статистика». Формат изучения дисциплины - без использования онлайн курса. В курсе студенты познакомятся с базовыми знаниями теории линейных и евклидовых пространств, матричного анализа, аналитической геометрии и линейного программирования. Материал иллюстрирован примерами приложения основных результатов к построению и анализу экономических моделей. В период карантинных мер, все занятия и формы контроля проводятся дистанционно.

Цель освоения дисциплины

Добиться усвоения студентами теоретических основ, базовых результатов и теорем линейной алгебры, теории матриц и аналитической геометрии, а также основных математических приемов и правил формального анализа и решения различных математических задач на основе полученных теоретических знаний.
Подготовить слушателей к чтению современных текстов по экономической теории, насыщенных векторными, матричными и операторными обозначениями.
Обеспечить запросы других разделов математики, использующих возникающие в линейной алгебре конструкции.
Научить слушателей давать геометрическую интерпретацию многомерным объектам и строить аналитическое описание геометрическим соотношениям.
Продемонстрировать возможность бескоординатного описания линейных и квадратичных функций, подготавливая переход к изучению функционального анализа.
Выработать у слушателей навыки решения типовых задач, способствующих усвоению основных понятий, а также задач, способствующих развитию начальных навыков научного исследования.
Развить умение логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и быть корректным в употреблении математических понятий и символов для выражения количественных и качественных отношений.

Планируемые результаты обучения

Студент осуществляет операции над векторами, устанавливает линейную зависимость и независимость векторов. Приводит матрицу к ступенчатому виду.
Студент осуществляет операции над векторами и матрицами.
Студент вычисляет определитель матрицы, решает системы линейных уравнений методом Крамера.
Студент проверяет матрицу на невырожденность; обращает невырожденные матрицы.
Студент решает системы линейных уравнений методом Гаусса и Гаусса-Жордана. Выражает решение неоднородной системы через одно частное решение неоднородной системы и фундаментальную систему решений приведенной однородной системы.
Студент раскладывает матрицы по матрицам полного ранга. Находит псевдорешение неоднородной несовместной или неопределенной системы линейных уравнений
Студент находит координаты вектора в различных базисах, вычисляет матрицу линейного оператора в различных базисах.
Студент вычисляет скалярные произведения векторов. Осуществляет ортогонализацию векторов. Находит расстояние от вектора до подпространства.
Студент вычисляет собственные значения и векторы линейного оператора (матрицы). Проверяет невырожденность матрицы с помощью теоремы Гершгорина о локализации спектра. Определяет сингулярные числа матрицы. Находит спектр стохастических матриц.
Студент приводит квадратичную форму к каноническому виду. Исследует ее на знакоопределенность
Студент решает стандартные геометрические задачи с помощью алгебраических методов.
Студент решает прямую и двойственную задачи линейного программирования

Содержание учебной дисциплины

Определитель матрицы.
Перестановка. Четность и нечетность перестановки. Определение определителя. Определитель и элементарные операции. Разложение Лапласа по строкам или столбцам. Основные свойства определителя. Примеры вычисления определителя специального вида. Определитель блочной и блочно-треугольной матриц. Подматрица. Главная подматрица. Минор, главный минор, ведущий главный (угловой) минор. Минор элемента, алгебраическое дополнение элемента матрицы. Решение квадратной системы линейных уравнений методом Крамера. Экономические примеры: нахождение валового выпуска отрасли методом Крамера в модели Леонтьева
Невырожденные матрицы. Обратная матрица.
Определение невырожденной матрицы. Обратная матрица. Присоединенная матрица. Эквивалентные условия невырожденности (обратимости) матрицы. Определитель и обратная матрица. Связь между максимальным порядком ненулевого минора и рангом матрицы. Матрицы полного ранга. Решение квадратной системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы. Матричные уравнения. Экономические примеры: нахождение выпуска товара по матрице прямых затрат (matrix of input coefficients) и вектору конечного потребления (households’ demand).
Решение системы линейных уравнений. Метод Гаусса и Гаусса-Жордана.
Система линейных неоднородных уравнений общего вида. Совместность и несовместность системы, структура множества решений. Теорема Кронекера-Капелли. Метод Гаусса и Гаусса-Жордана. Решение матричных уравнений и нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. Система однородных уравнений. Условие единственности решения однородной системы. Фундаментальная система решений однородной системы. Общее решение неоднородной системы. Экономические примеры: обмен m товарами между n агентами, при ценах товаров, обеспечивающих нулевые прибыли; расчет выпуска товара по спросу конечной и внутренней потребностей
Разложение матрицы по матрицам полного ранга. Нормальное псевдорешение.
Решение и псевдорешение системы (в том числе несовместной) линейных уравнений с произвольной матрицей коэффициентов. Псевдообратная матрица по Муру-Пенроузу. О единственности нормального псевдорешения. Методы нахождения нормального псевдорешения. Разложение матрицы по матрицам полного ранга (скелетное разложение). Метод наименьших квадратов. Экономические примеры: метод наименьших квадратов в задачах эконометрики.
Линейные пространства и линейные операторы.
Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств. Линейная независимость векторов пространства. Базис. Теорема о базисе. Размерность линейного пространства. Изменение базиса. Матрица перехода. Преобразование координат при изменении базиса. Линейная оболочка. Разложения пространства в прямую сумму. Линейные операторы: определение. Матрица линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Образ, ядро линейного преобразования. О сумме размерностей образа и ядра.
Евклидово пространство.
Свойства скалярного произведения. Неравенство Коши-Буняковского. Ортогонализация Грама-Шмидта. Расстояние от вектора до подпространства. Матрица Грама. Матрица скалярного произведения.
Собственные значения и собственные векторы линейного оператора (матрицы).
Определение собственного значения и собственного вектора. Характеристический многочлен матрицы. Спектр линейного оператора (матрицы). Теорема Гамильтона-Кэли. Спектральный радиус. Сингулярные числа и сингулярное разложение матрицы (общее понятие). О диагонализуемости матрицы линейного преобразования. Алгебраическая и геометрическая кратности собственных значения. Подобные матрицы: матрицы одного и того же линейного преобразования. О спектре действительных симметричных матриц. Локализация собственных значений. Условие неразложимости неотрицательной матрицы. Теорема Перрона–Фробениуса. Продуктивные матрицы. Критерии продуктивности. Экономические примеры: продуктивности линейной модели Леонтьева. Минимальный многочлен матрицы. Жорданова форма.
Симметричные и ортогональные матрицы и их спектры. Билинейные и квадратичные формы.
Матрица самосопряженного линейного преобразования в пространстве с ортогональным базисом. Ортогональные преобразования и матрицы. Билинейные и квадратичные формы. Матрица билинейной формы. Преобразование матрицы билинейной формы при замене базиса. Квадратичная форма. Виды квадратичных форм: положительно определенная; отрицательно определенная; неотрицательно определенная; неположительно определенная квадратичные формы. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к стандартному и каноническому виду. Закон инерции для квадратичных форм. Характеризация и исследование квадратичной формы по спектру ее матрицы.
Элементы линейного программирования.
Задача линейного программирования. Понятие о симплекс-методе. Выпуклые области. Двойственная задача линейного программирования и теоремы двойственности. Экономические примеры: задача о распределении ресурсов, теневые цены ресурсов, транспортная задача, задача о максимальном потоке, игры с нулевой суммой.
Предварительные понятия. Предмет линейной алгебры и матричного анализa.
Действительные (вещественные) и комплексные числа. Извлечение корней n-й степени из комплексного числа. Основная теорема алгебры. Предмет линейной алгебры и его приложения к экономическим задачам. Арифметические векторы. Операции над векторами. Алгебраические свойства векторов. Геометрическая интерпретация векторов. Линейная независимость. Скалярное произведение двух векторов. Определение матрицы. Типы матриц. Матрицы специального вида. След матрицы. Транспонирование матрицы. Экономические примеры: векторное представление экономических данных и операции с ними. Оценка инфляции: вычисления индекса Ласпейреса и индекса Пааше.
Элементы аналитической геометрии.
Общее уравнение прямой на плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Параметрическое и каноническое уравнения прямой. Расстояние от точки до прямой. Преобразование координат точки при замене системы координат. Векторное и смешанное произведение векторов. Общее уравнение плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей. Уравнение прямой в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости, двух прямых
Матричная алгебра.
Ранг матрицы. Неравенства о рангах матриц. Сумма и произведение матриц. Единичная матрица. Произведение Кронекера матриц. Квадратные матрицы. Степень матрицы. Многочлен от матриц. Элементарные матричные преобразования. Приведение матрицы к ступенчатому виду. Каноническая форма матрицы. Экономические примеры: модель Тинбергена макроэкономической политики, технологическая матрица, модель Леонтьева.

Элементы контроля

Контрольная работа 1
Время проведения - 160 минут. До отмены карантинных мер все контрольные и экзамены проводятся дистанционно на платформе Zoom. Контроль за самостоятельностью выполнения заданий студентами (прокторинг) осуществляют преподаватели. В случае, если самостоятельность решения заданий контрольной студентом вызывает сомнения, преподаватель вправе назначить студенту дополнительное собеседование по контрольной. По результатам собеседования первоначальная оценка может быть изменена, или работа может быть аннулирована.
Контрольная работа 2
Время проведения - 160 минут. До отмены карантинных мер все контрольные и экзамены проводятся дистанционно на платформе Zoom. Контроль за самостоятельностью выполнения заданий студентами (прокторинг) осуществляют преподаватели. На программе "Экономика и статистика" работа проходит в Examus, в случае технических неполадок возможно написание работы в Zoom. На усмотрение преподавателя возможна дополнительная беседа с отдельными студентами по материалу написанной работы. В случае, если самостоятельность решения заданий контрольной студентом вызывает сомнения, преподаватель вправе назначить студенту дополнительное собеседование по контрольной. По результатам собеседования первоначальная оценка может быть изменена, или работа может быть аннулирована.
Письменная экзаменационная работа
Время проведения - 160 минут. На программе "Экономика и статистика" работа проходит в Examus или Zoom. На усмотрение преподавателя возможна дополнительная беседа с отдельными студентами по материалу написанной работы. На программе "Экономика" до отмены карантинных мер все контрольные и экзамены проводятся дистанционно на платформе Zoom. Контроль за самостоятельностью выполнения заданий студентами (прокторинг) осуществляют преподаватели. В случае, если самостоятельность решения заданий экзамена студентом вызывает сомнения, преподаватель вправе назначить студенту дополнительное собеседование по экзаменационной работе. По результатам собеседования первоначальная оценка может быть изменена, или работа может быть аннулирована.

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
Итоговая аттестация выставляется на основании результатов выполнения экзаменационной работы с учетом зачтенных задач по результатам выполнения контрольных работ. По итогам выполнения контрольных работ студенты освобождаются от решения некоторых задач экзамена (получают заранее условную единицу за задачу). Номера засчитанных задач отсчитываются от первой задачи экзамена для контрольной работы номер 1 и от пятой задачи для контрольной работы номер 2. Соответствие между набранными баллами и количеством засчитываемых задач: от шести включительно до семи не включительно - 1 задача, от семи включительно до восьми не включительно - 2 задачи, от восьми включительно до девяти не включительно - три задачи, от девяти включительно до десяти включительно - четыре задачи. Полное правильное решение каждого задания, которое студент решает на экзамене, оценивается в 1 балл. В случае неполного решения оценка может быть дробной.

Программа дисциплины