Математика

Бакалавриат 2020/2021

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс обязательный (Государственное и муниципальное управление)

Направление: 38.03.04. Государственное и муниципальное управление

Кто читает: Кафедра высшей математики

Где читается: Факультет социальных наук

Когда читается: 1-й курс, 1-4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Боброва Ирина Александровна, Логвенков Сергей Алексеевич, Макаров Алексей Алексеевич

Язык: русский

Кредиты: 10

Контактные часы: 120

Полная версия программы учебной дисциплины Задать вопрос

Аннотация

Обязательный курс «Математика» для бакалаврской программы «Государственное и муниципальное управление» читается на первом курсе бакалавриата в 1 – 4 модулях. Настоящая дисциплина относится к циклу Математических и естественнонаучных дисциплин, базовая часть, обеспечивающих подготовку бакалавров. Курс состоит из двух независимых частей, по каждой из которых предусмотрены экзамены во втором и четвертом модулях. Студент, не аттестованный по одной из частей курса, является не аттестованным по всему курсу. Итоговая оценка по всему курсу идет в диплом выпускника. Общей задачей курса является освоение базовых понятий и методов по линейной алгебре, математическому анализу, теории вероятностей и математической статистики, необходимых и широко используемых в различных секторах экономики и управления. Эти знания и навыки будут востребованы в ряде обязательных курсов этой образовательной программы по микро, макро и институциональной экономике, экономической и социальной статистике, экономике общественного сектора и методам принятия решений. Изучение курса «Математика» не требует предварительных знаний, выходящих за рамки программы общеобразовательной средней школы.

Цель освоения дисциплины

-формирование у слушателей высокой математической культуры -овладение основными знаниями по математике, необходимыми в практической экономической деятельности -развитие логического мышления и умения оперировать абстрактными объектами, привитие навыков корректного употребления математических понятий и символов для выражения различных количественных и качественных отношений -ясное понимание математической составляющей в общей подготовке специалиста в области экономики и менеджмента. -формирование первичных представлений об алгебраических методах обработки данных в социальных науках -формирование первичных представлений о вероятностно-статистических методах, применяемых в социальных науках -знакомство студентов с простейшими прогнозными моделями как примерами применения математического анализа

Планируемые результаты обучения

-знать и уметь использовать математический аппарат для решения прикладных задач экономики и управления; -владеть навыками математической формализации задач, уметь применять необходимый математический инструментарий при выборе и обосновании решений;
-иметь представление о математическом моделировании простейших экономических проблем и содержательно интерпретировать получаемые количественные результаты их решений; -владеть навыками самостоятельной работы и постоянно пополнять свой уровень знаний в свете современных тенденций развития математического инструментария для решения экономических задач и задач управления.

Содержание учебной дисциплины

Элементы линейной алгебры
Тема 1.1. линейные пространства. (Лекции: 1 час, Семинары: 2 часа, Самостоятельная работа: 12 часов) Определение и примеры линейных пространств. Векторы. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис, координаты, размерность линейного пространства. Разложение вектора по базису. Скалярное произведение векторов. Вычисление скалярного произведения векторов, заданных своими координатами. Вычисление длины вектора и расстояния между точками. Угол между векторами. Тема 1.2. Матрицы. (Лекции: 1 час, Семинары: 2 часа, Самостоятельная работа: 16часов) Матрицы и арифметические операции с матрицами. Определители квадратных матриц 2-го и 3-го порядков. Свойства определителей и способы их вычисления. Элементарные преобразования матрицы. Ранг системы векторов, ранг матрицы и способы их вычисления. Тема 1.3. Системы линейных уравнений. (Лекции: 3 час, Семинары: 4 часа, Самостоятельная работа: 16 часов) Системы линейных неоднородных уравнений. Критерий совместности. Системы линейных однородных алгебраических уравнений, теорема о размерности пространства решений. Условия существования нетривиального решения однородной системы линейных алгебраических уравнений. Структура общего решения неоднородной системы линейных уравнений. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и методом Крамера. Существование и нахождение обратной матрицы, матричные уравнения. Тема 1.4. Собственные векторы и собственные значения матриц. (Лекции: 1 час, Семинары: 2 часа, Самостоятельная работа: 6 часа) Собственные векторы и собственные значения линейных операторов. Применение элементов линейной алгебры в экономике: модель Леонтьева многоотраслевой экономики, модель международной торговли.
Математический анализ. Функции одной переменной.
Тема 2.1. Функции одной переменной, основы теории пределов, непрерывность. (Лекции: 2 часа, Семинары: 2 часа, Самостоятельная работа: 10 часов) Предел функции. Основные теоремы о пределах. Порядок малости. Эквивалентные бесконечно малые функции и их использование при вычислении пределов. Непрерывность функции в точке. Непрерывность суммы, произведения и частного непрерывных функций, непрерывность сложной функции. Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке: теорема о промежуточном значении, 1-я и 2-я теоремы Вейерштрасса. Тема 2.2. Дифференциальное исчисление. (Лекции: 4 часа, Семинары: 4 часа, Самостоятельная работа: 18 часов) Производная функции в точке, ее геометрический, физический и экономический смысл. Дифференциал функции. Правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух функций. Логарифмическое дифференцирование. Производная обратной функции. Таблица производных основных элементарных функций. Производная сложной функции. Неявно заданная функция и ее дифференцирование. Производная функции, заданной параметрически. Понятие о производных высших порядков. Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Понятие эластичности функции. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Условия монотонности функций. Локальные экстремумы функций, необходимое и достаточное условие экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции. Выпуклые функции и теоремы об экстремумах выпуклых функций. Асимптоты кривых. Общая схема исследования функций и построения их графиков. Приложения производных в экономической теории. Тема 2.3. Интегральное исчисление. (Лекции: 2 часа, Семинары: 2 часа, Самостоятельная работа: 14 часов) Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных неопределенных интегралов. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции. Определенный интеграл и его свойства. Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенного интеграла методом замены переменной. Интегрирование по частям. Несобственный интеграл.
Математический анализ. Функции нескольких переменных.
Тема 3.1. Функции нескольких переменных, основы теории пределов, непрерывность. (Лекции: 2 часа, Семинары: 2 часа, Самостоятельная работа: 10 часов) Определение функции двух переменных. Геометрическая интерпретация функции двух переменных. Линии уровня. Обобщение на функции произвольного числа переменных. Предел и непрерывность функций нескольких переменных. Формулировка основных свойств функций, непрерывных в замкнутой ограниченной области. Тема 3.2. Функции нескольких переменных, дифференциальное исчисление. (Лекции: 6 часов, Семинары: 4 часа, Самостоятельная работа: 12 часов) Частные производные функций многих переменных и их геометрический смысл. Дифференцируемость функций многих переменных. Достаточное условие дифференцируемости. Первый дифференциал функции нескольких переменных и его применение в приближенных вычислениях. Частные производные сложной функции. Производная по направлению. Градиент функции и его свойства. Частные производные высших порядков. Формулировка теоремы о перестановке порядка дифференцирования. Дифференциалы высшего порядка. Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Тема 3.3. Экстремумы функций нескольких переменных. (Лекции: 6 часов, Семинары: 4 часа, Самостоятельная работа: 16 часов) Необходимое условие экстремума. Квадратичная форма и ее матрица. Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра постоянства знака квадратичной формы. Достаточные условия максимума и минимума. Выпуклые функции многих переменных. Теоремы об экстремумах выпуклых функций. Условный экстремум функции многих переменных. Метод множителей Лагранжа. Геометрическая интерпретация необходимого условия локального условного экстремума. Достаточное условие локального условного экстремума. Нахождение наибольших и наименьших значений функций нескольких переменных в замкнутой ограниченной области. Функции нескольких переменных в задачах экономики. Оптимизационные задачи на основе производственных функций. Понятие о методе наименьших квадратов.
Теория вероятностей - 1
Тема 4.1. История развития и основные понятия теории вероятностей. (Лекции: 1 час, Семинары: 1 час, Самостоятельная работа: 2 часа) Интуитивные предпосылки теории вероятностей. Предмет теории вероятностей. Краткие исторические сведения. Теория вероятностей в научных исследованиях и в решении практических задач. Случайный эксперимент и его описание. Элементарные исходы (события) случайного эксперимента (вероятностное пространство). Случайное событие как подпространство элементарных исходов случайного эксперимента. Равновозможные элементарные исходы. Благоприятствующие элементарные исходы. Формирование подпространства элементарных исходов в разных задачах. Классификация случайных событий: достоверное, невозможное события; событие, противоположное данному событию; совместное и несовместное события. Действия над событиями. Алгебра событий. Диаграммы Эйлера-Венна. Свойства операций сложения и умножения. Примеры формирования сложных событий на основе исходных простых событий. Тема 4.2. Вероятности случайных событий. Основные теоремы теории вероятностей. (Лекции:2 часа, Семинары: 3 часа, Самостоятельная работа: 10 часов) Численная мера возможности наступления случайного события. Классический и статистический подходы к определению вероятности события. Геометрическая вероятность. Формула для вычисления геометрической вероятности. Ограничения, присущие этой формуле. Элементы комбинаторики. Перестановки. Размещения. Сочетания. Свойства биномиальных коэффициентов. Использование методов комбинаторики для вычисления вероятностей событий Формула сложения вероятностей. Формула умножения вероятностей. Зависимые и независимые события. Условная вероятность. Вычисление вероятностей сложных событий на основе формул сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса (теорема гипотез). Тема 4.3. Испытания Бернулли. Формула Бернулли. (Лекции: 1 час, Семинары: 2 часа, Самостоятельная работа: 10 часов) Повторные независимые испытания (схема Бернулли). Успех и неудача. Число успехов в испытаниях Бернулли. Формула вычисления вероятности возникновения конкретного числа успехов в серии испытаний заданной длины (формула Бернулли). Частные случаи формулы. Наивероятнейшее число успехов. Тема 4.4. Случайные величины и их числовые характеристики. Применение числовых характеристик в социально-экономических исследованиях. (Лекции: 2 часа, Семинары: 4 часа, Самостоятельная работа: 10 часов) Детализация математической модели случайного явления и концепция случайной величины. Случайная величина как функция от элементарных исходов эксперимента, определенная на вероятностном пространстве. Дискретная и непрерывная случайные величины. Ряд распределения и функция распределения случайной величины. Свойства функции распределения случайной величины. Плотность вероятности (плотность распределения). Свойства плотности вероятности. Числовые характеристики случайных величин – математическое ожидание, дисперсия, стандартное отклонение; их смысловая нагрузка, свойства, вычисление этих величин на основе статистических данных. Экономический смысл математического ожидания и стандартного отклонения. Другие числовые характеристики случайных величин (квантили, мода, медиана).
Теория вероятностей - 2
Тема 4.5. Наиболее часто используемые законы распределения дискретных и непрерывных случайных величин. Применение этих законов для решения реальных задач экономического и социологического характера. (Лекции: 4 часа, Семинары: 5 часов, Самостоятельная работа: 20 часов) Случайные величины, подчиняющиеся законам распределения Бернулли и Пуассона. Вычисление математического ожидания и стандартного отклонения для указанных законов. Случайные величины, подчиняющиеся равномерному, показательному распределениям. Вычисление математического ожидания и стандартного отклонения для перечисленных законов. Поток событий. Простейший (стационарный пуассоновский) поток событий. Связь показательного закона распределения и закона распределения Пуассона. Нормальный закон распределения. Математическое ожидание и стандартное отклонение для нормального закона. График плотности. Стандартное нормальное распределение. Вычисление вероятности попадания нормальной случайной величины в заданный интервал. Функция Лапласа (интеграл вероятностей); ее свойства. Применение таблиц функции Лапласа для вычисления вероятности попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Правило трех сигм. Композиция законов распределения. Свойство устойчивости некоторых законов распределения. Устойчивость нормального закона распределения. Закон распределения Стьюдента. Применение введенных ранее законов распределения случайных величин для вычисления вероятностей событий в задачах экономической и социологической проблематики. Тема 4.6. Предельные теоремы теории вероятностей. (Лекции: 4 часа, Семинары: 2 часа, Самостоятельная работа: 10 часов) Неравенство Маркова (лемма Чебышева). Неравенство Чебышева. Смысл закона больших чисел. Доказательство закона больших чисел в форме Чебышева. Его обобщение на случай зависимых случайных величин. Следствия закона больших чисел: теоремы Бернулли и Пуассона. Формулировка и содержание центральной предельной теоремы. Интегральная теорема Муавра-Лапласа как следствие центральной предельной теоремы. Применение закона больших чисел и центральной предельной теоремы в прикладных задачах: контроль качества продукции, задачи массового обслуживания, задачи страхования, маркетинговые исследования. Тема 4.7. Многомерная случайная величина. Линейный коэффициент корреляции. (Лекции: 4 часа, Семинары: 2 часа, Самостоятельная работа: 10 часов) Многомерная случайная величина (случайный вектор). Закон распределения многомерной случайной величины. Функция распределения многомерной случайной величины. Двумерная нормальная случайная величина. Линейный коэффициент корреляции как параметр, характеризующий тесноту линейной связи двух случайных величин. Уравнение простой парной регрессии.
Элементы математической статистики.
Тема 5.1. Основы выборочного метода. (Лекции: 4 часа, Семинары: 2 часа, Самостоятельная работа: 10 часов) Задачи математической и прикладной статистики. Генеральная совокупность. Случайная выборка. Повторные и бесповторные выборки. Репрезентативность выборки. Вариационный ряд. Эмпирическая функция распределения. Графическое изображение вариационного ряда: полигон, гистограмма, кумулята. Характеристики центральной тенденции (среднее арифметическое, мода, медиана, среднее геометрическое). Показатели вариации ряда (размах, выборочная дисперсия, выборочное стандартное отклонение, коэффициент вариации). Закон корня квадратного для стандартной ошибки среднего. Тема 5.2. Точечные и интервальные оценки параметров генеральной совокупности. (Лекции: 4 часа, Семинары: 4 часа, Самостоятельная работа: 24 часа) Точечные оценки параметров генеральной совокупности. Требования, предъявляемые к точечным оценкам (несмещенность, эффективность, состоятельность, устойчивость). Метод наибольшего правдоподобия, метод наименьших квадратов и метод моментов как методы получения точечных оценок параметров генеральной совокупности. Наилучшие оценки математического ожидания, дисперсии, генеральной доли. Понятие интервального оценивания параметров генеральной совокупности. Доверительная вероятность и предельная ошибка выборки (точность оценки). Идея построения доверительного интервала. Построение доверительных интервалов для генерального среднего или математического ожидания (при известной и неизвестной дисперсии) и вероятности биномиального закона распределения или генеральной доли изучаемого признака. Объем выборки, обеспечивающий заданную предельную ошибку выборки. Тема 5.3. Проверка некоторых статистических гипотез. (Лекции: 2 часа, Семинары: 5 часов, Самостоятельная работа: 24 часа) Понятие статистической гипотезы. Основная (нулевая) и альтернативная (конкурирующая) гипотезы, параметрические и непараметрические гипотезы, простые и сложные гипотезы. Критерий. Ошибки первого и второго рода. Критическая область и область принятия гипотезы. Уровень доверия и уровень значимости. Двусторонние, правосторонние, левосторонние критические области. Процедура проверки параметрической гипотезы. Проверка некоторых гипотез для нормально распределенных генеральных совокупностей: о числовом значении генерального среднего; о числовом значении генеральной доли (или о вероятности биномиального закона распределения), о равенстве генеральных средних, о равенстве генеральных долей. Коэффициент корреляции Пирсона. Проверка гипотезы о значимости коэффициента корреляции Пирсона. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена. Проверка гипотезы о значимости коэффициента корреляции Спирмена. Критерий знаков.

Элементы контроля

Контрольная работа
Активность на семинарах
Активность на семинарах 3-4 модуль
Экзамен
Контрольная работа №2
Мини-контрольные работы
Экзамен 3-4 модуль
Если неокруглённая накопленная оценка (0,35*КР1 + 0,35*КР2 + 0,2*Мини-КР + 0,1*Аудиторная_работа) не меньше 8 баллов, то студенту может быть предложено автоматическое выставление итоговой оценки по курсу, равной накопленной оценке (округлённой арифметически), без сдачи экзамена.

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
0.12 * Активность на семинарах + 0.6 * Активность на семинарах 3-4 модуль + 0.28 * Контрольная работа
Промежуточная аттестация (4 модуль)
0.05 * Активность на семинарах + 0.175 * Контрольная работа + 0.175 * Контрольная работа №2 + 0.1 * Мини-контрольные работы + 0.5 * Экзамен 3-4 модуль

Программа дисциплины