Математический анализ 1

Бакалавриат 2020/2021

Статус: Курс обязательный (Экономика)

Направление: 38.03.01. Экономика

Где читается: Факультет экономических наук

Когда читается: 1-й курс, 1, 2 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Егорова Людмила Геннадьевна, Ломоносов Тимофей Александрович, Поляков Николай Львович, Субочев Андрей Николаевич, Федченко Анна Сергеевна, Хабина Элла Львовна

Язык: русский

Кредиты: 8

Контактные часы: 110

Полная версия программы учебной дисциплины Задать вопрос

Аннотация

Дисциплина «Математический анализ-1» предназначена для студентов 1-го курса бакалавриата, обучающихся по направлению 38.03.01. «Экономика», образовательная программа «Экономика». Формат изучения дисциплины - без использования онлайн курса. В курсе студенты познакомятся с базовыми знаниями теории пределов и непрерывных функций и дифференциального исчисления функций одной и многих переменных. Материал иллюстрирован большим числом примеров анализа экономических систем. В период карантинных мер, все занятия и формы контроля проводятся дистанционно.

Цель освоения дисциплины

Добиться усвоения студентами теоретических основ, базовых результатов и теорем математического анализа, а также основных математических приемов и правил формального анализа и решения различных математических задач на основе полученных теоретических знаний
Подготовить слушателей к чтению современных текстов по экономической теории, использующих модели и методы многомерного математического анализа
Обеспечить запросы других разделов математики, использующих возникающие в математическом анализе конструкции
Научить слушателей давать оценку предельного поведения различных функций
Продемонстрировать возможность исследования зависимости экстремумов от параметров
Выработать у слушателей навыки решения типовых задач, способствующих усвоению основных понятий, а также задач, способствующих развитию начальных навыков научного исследования
Развить умение логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и быть корректным в употреблении математических понятий и символов для выражения количественных и качественных отношений

Планируемые результаты обучения

Студент классифицирует числовые множества и функции и выполняет основные операции над ними.
Студент вычисляет пределы функций и последовательностей.
Cтудент приобретает навыки использования свойств непрерывных функций.
Cтудент дифференцирует элементарные функции и приобретает навыки использования свойств дифференцируемых функций.
Студент вычисляет производные высших порядков, применяет необходимое условие экстремума, приобретает навыки использования формулы Тейлора.
Студент проводит полное исследование элементарной функции и строит ее график.
Студент классифицирует подмножества R^n.
Студент вычисляет пределы функций нескольких переменных и приобретает навыки использования свойств непрерывных функций нескольких переменных.
Студент дифференцирует функции нескольких переменных и устанавливает необходимое условие экстремума.
Студент вычисляет частные производные высших порядков, устанавливает достаточные условия экстремума, приобретает навыки использования формулы Тейлора для функций нескольких переменных.
Студент устанавливает существование неявно заданной функции и вычисляет ее частные производные, решает задачу о локальной гладкой обратимости функции, устанавливает зависимость и независимость функциональных систем.
Студент приобретает навыки использования свойств однородных функций
Студент решает задачи на условный экстремум.

Содержание учебной дисциплины

Тема 1. Непрерывные и дифференцируемые функции одной переменной. Раздел 1. Множества и функции.
Множества и операции над ними (объединение, пересечение, разность). Объединение и пересечение семейств множеств. Основные тождества алгебры множеств. Понятие о числовых множествах. Упорядоченные пары и декартово произведение множеств. Соответствия и отображения (функции). Способы задания функций. Образы и прообразы точек и множеств при заданном отображении. Композиция функций. Обратимость функции и обратная функция. Сюръекция, инъекция, биекция. Множество N натуральных чисел. Принцип математической индукции. Последовательности как функции, определенные на множестве натуральных чисел или его начальном отрезке. Числовые последовательности. Последовательности, заданные рекуррентно. Линейные рекуррентные последовательности. Арифметические и геометрические прогрессии. Биномиальные коэффициенты и формула бинома Ньютона. Неравенство Бернулли. Монотонные последовательности. Ограниченные и неограниченные последовательности. Числовые множества Z, R и Q. Аксиома непрерывности (полноты). Числовая прямая и промежутки числовой прямой. Окрестности. Длина отрезка на числовой прямой. Верхние и нижние грани, точные верхние и нижние грани числовых множеств. Принципы супремума и инфимума. Понятие о мощности множества. Конечные, счетные и несчетные множества. Счетность счетного объединения счетных множеств. Счетность множества конечных последовательностей натуральных чисел. Теорема Кантора. Несчетность множества действительных чисел. Числовые функции одной действительной переменной. Четные, нечетные, периодические функции. Области возрастания и убывания, экстремумы. Монотонные и ограниченные функции. Основные элементарные функции. Элементарные функции: многочлены и действия над ними, рациональные функции и их представление в виде суммы многочлена и простых дробей, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
Тема 1. Непрерывные и дифференцируемые функции одной переменной. Раздел 2. Пределы.
Предел последовательности. Единственность предельного значения. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, последовательности с пределами ±∞. Ограниченность последовательности, имеющей предел. Арифметические свойства пределов последовательностей. Свойства пределов, связанные с неравенствами. Теорема о существовании предела монотонной ограниченной последовательности. Теорема «о двух полицейских». Число e. Критерий Коши сходимости последовательности. Понятие фундаментальной последовательности. Расходимость последовательности гармонических чисел. Подпоследовательности и частичные пределы. Лемма о вложенных отрезках. Теорема Больцано — Вейерштрасса. Нижний и верхний пределы последовательности. Лемма Гейне-Бореля. Понятие предела функции по Гейне и Коши. Пределы на бесконечности и бесконечные пределы. Односторонние пределы. Свойства пределов функции: локальные, арифметические, связанные с неравенствами. Замена переменных в пределе. Первый и второй замечательные пределы и их следствия. Символы Ландау (O-о-символика). Эквивалентность функций. Таблица основных эквивалентностей. Свойства отношения эквивалентности. Использование эквивалентностей при вычислении пределов. Асимптоты функции. Теорема о существовании наклонной асимптоты.
Тема 1. Непрерывные и дифференцируемые функции одной переменной. Раздел 3. Непрерывность.
Понятие непрерывной функции. Точки разрыва и их классификация. Локальные свойства непрерывных функций: локальная ограниченность непрерывных функций, сохранение знака непрерывной функцией, непрерывность сложной функции. Непрерывность элементарных функций. Теорема Вейерштрасса об ограниченности и о достижимости точных граней непрерывной на отрезке функции. Теорема Коши о нулях непрерывной функции. Метод деления отрезка пополам. Задача локализации корней с заданной точностью. Теорема Больцано-Коши о промежуточном значении непрерывной функции. Теорема о существовании обратной непрерывной функции к непрерывной строго монотонной функции.
Тема 1. Непрерывные и дифференцируемые функции одной переменной. Раздел 4. Операция дифференцирования и свойства дифференцируемых функций.
Определение производной функции. Геометрический и экономический смысл производной. Вычисление производной по определению. Таблица производных простейших элементарных функций. Правила нахождения производной. Производная композиции функций. Замкнутость класса элементарных функций относительно дифференцирования. Производная параметрически заданной функции. Производная функции, заданной неявно. Производная обратной функции. Логарифмическая производная и эластичность функции. Односторонние и бесконечные производные. Понятие дифференцируемой функции и дифференциала. Геометрический смысл дифференциала. Применение дифференциала для приближенных вычислений. Теорема о связи производной и дифференцируемой функции. Правила дифференцирования в терминах дифференциалов. Инвариантность формы записи 1-го дифференциала. Необходимое условие существования экстремума дифференцируемой функции (теорема Ферма). Теорема Лагранжа о среднем значении и ее следствия: формула конечных приращений, условие постоянства функции, применение к доказательству неравенств. Теорема Коши о среднем значении. Правило Лопиталя.
Тема 1. Непрерывные и дифференцируемые функции одной переменной. Раздел 5. Производные высших порядков, формула Тейлора, достаточные условия экстремума.
Производные и дифференциалы высших порядков. Производные n-го порядка параметрически заданной и неявно заданной функций. Формула Лейбница для n-й производной произведения двух функций. Понятие многочлена Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, в форме Пеано. Единственность представления формулой Тейлора. Многочлены Маклорена основных элементарных функций. Достаточные условия экстремума.
Тема 1. Непрерывные и дифференцируемые функции одной переменной. Раздел 6. Исследование функций.
Исследование функции с помощью производных. Исследование функции на монотонность: определение монотонной функции и критерий монотонности дифференцируемой функции. Исследование функции на экстремум: необходимое условие экстремума (теорема Ферма), 1-е достаточное условие экстремума (в терминах изменения знака первой производной), 2-е достаточное условии экстремума (в терминах старших производных). Понятие выпуклой (вогнутой) дифференцируемой функции и точек перегиба. Достаточное условие выпуклости, достаточное условие существования точки перегиба. Свойства выпуклых/вогнутых функций. Неравенство Йенсена.
Тема 2. Непрерывные и дифференцируемые функции нескольких переменных. Раздел 1. Множество R^n и его подмножества. Скалярные и векторные функции.
Множество n-мерных строк R^n, сложение строк и умножение строк на вещественные числа. Норма элемента в R^n, геометрическая интерпретация нормы. Декартовы координаты точек плоскости и пространства. Расстояние между элементами в R^n, как норма их разности. Окрестность точки. Ограниченные множества. Внутренние и граничные точки множества. Граница множества. Открытые, замкнутые множества. Компакты. Открытые и замкнутые множества, задаваемые системами уравнений и неравенств. Последовательности в R^n и их пределы. Основные свойства открытых и замкнутых множеств. Характеризация компактов. Лемма Больцано-Вейерштрасса в n-мерном случае. Векторные функции R^n→R^m. Числовые функции R^n→R, функции R→R^n и R^n→R^n. Понятие линий и поверхностей уровня числовой функции нескольких действительных переменных. Элементарные функции нескольких действительных переменных. Естественные области определения. Прямые и гиперплоскости в R^n. Выпуклые множества. Выпуклая оболочка множества. Теоремы об отделимости.
Тема 2. Непрерывные и дифференцируемые функции нескольких переменных. Раздел 2. Пределы и непрерывность.
Предел векторной функции. Теорема о связи предела функции с пределами ее компонент. Предел по направлению. Теорема о вычислении предела функции двух переменных в полярных координатах. Непрерывные векторные функции. Теорема о покоординатной непрерывности непрерывной векторной функции. Непрерывность элементарных числовых нескольких действительных переменных. Непрерывные кривые и поверхности и их параметризации. Линейно связные множества. Свойства непрерывных функций. Теорема о прообразах открытых и замкнутых множеств при непрерывном отображении. Свойства функций, непрерывных на компактном множестве: теорема Вейерштрасса, теорема об образе компактного множества при непрерывном отображении. Образ линейно связного множества. Понятие равномерно непрерывной на множестве функции. Теорема Кантора о равномерной непрерывности непрерывной функции на компактном множестве
Тема 2. Непрерывные и дифференцируемые функции нескольких переменных. Раздел 3. Операция дифференцирования. Необходимое условие экстремума.
Частные производные числовых функций нескольких действительных переменных. Эластичность функции нескольких действительных переменных по фиксированной переменной. Понятие дифференцируемой функции нескольких действительных переменных; первый дифференциал. Необходимое условие дифференцируемости функции. Примеры дифференцируемых и недифференцируемых функций. Достаточное условие дифференцируемости. Обобщение: дифференцируемость (по Фреше) векторной функции (отображения) из X⊆R^n в R^m, понятие производной и дифференциала векторной функции. Теорема о дифференцируемости сложной векторной функции. Правило вычисления дифференциала сложной функции. Свойство функториальности матрицы Якоби, инвариантность первого дифференциала. Понятие касательной плоскости и нормальной прямой к поверхности уровня. Геометрический смысл дифференциала. Градиент и его основные свойства. Производная по направлению. Необходимое условие экстремума дифференцируемой функции многих переменных. Понятие стационарных и седловых точек.
Тема 2. Непрерывные и дифференцируемые функции нескольких переменных. Раздел 4. Частные производные высших порядков. Формула Тейлора. Достаточное условие экстремума.
Частные производные функции многих переменных высших порядков. Теорема об условиях равенства смешанных производных. Дифференциал второго порядка функции многих переменных. Матрица Гессе. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функции многих переменных с остаточным членом в форме Лагранжа и в форме Пеано. Достаточное условие экстремума. Основные задачи безусловной оптимизации. Метод наименьших квадратов. Понятие об уравнении регрессии.
Тема 2. Непрерывные и дифференцируемые функции нескольких переменных. Раздел 5. Неявно заданные отображения. Локальная обратимость. Зависимость числовых систем.
Понятие неявно заданной функции. Теорема о существовании, непрерывности и дифференцируемости неявной функции, задаваемой одним уравнением (схема доказательства). Понятие неявно заданной векторной функции и теорема об её существовании и дифференцируемости (без доказательства). Вычисление эластичности неявно заданных функций. Теорема о гладкой зависимости безусловных экстремумов от параметров. Теорема об огибающей для безусловных экстремумов. Понятие регулярного отображения и теорема о существовании локально обратимого отображения. Условия зависимости системы числовых функций.
Тема 2. Непрерывные и дифференцируемые функции нескольких переменных. Раздел 6. Однородные функции.
Однородные функции. Однородность частных производных однородной функции. Теорема Эйлера об однородных функциях. Кривые Энгеля для однородной функции полезности. Поверхности уровня однородных функций. Поверхности уровня однородных функций.
Тема 2. Непрерывные и дифференцируемые функции нескольких переменных. Раздел 7. Условный экстремум.
Задача на условный экстремум для функции многих переменных: определение точки условного экстремума функции многих переменных при наличии связей в виде равенств. Метод подстановки решения задачи на условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Необходимое условие существования условного экстремума для дифференцируемой функции и дифференцируемых функций уравнений связи. Достаточное условие существования условного экстремума для дифференцируемой функции и дифференцируемых функций уравнений связи. Условия связи дифференциалов. Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на компакте, метод параметризации границ. Теорема об окаймляющем гессиане.

Элементы контроля

Контрольная работа 1
Время выполнения работы 90-120 минут (объявляется до проведения контрольной). До отмены карантинных мер все контрольные и экзамены проводятся дистанционно на платформе Zoom. Контроль за самостоятельностью выполнения заданий студентами (прокторинг) осуществляют преподаватели. В случае, если самостоятельность решения заданий контрольной студентом вызывает сомнения, преподаватель вправе назначить студенту дополнительное собеседование по контрольной. По результатам собеседования первоначальная оценка может быть изменена, или работа может быть аннулирована.
Контрольная работа 2
Время выполнения работы 90-120 минут (объявляется до проведения контрольной). До отмены карантинных мер все контрольные и экзамены проводятся дистанционно на платформе Zoom. Контроль за самостоятельностью выполнения заданий студентами (прокторинг) осуществляют преподаватели. В случае, если самостоятельность решения заданий контрольной студентом вызывает сомнения, преподаватель вправе назначить студенту дополнительное собеседование по контрольной. По результатам собеседования первоначальная оценка может быть изменена, или работа может быть аннулирована.
Экзамен
Время выполнения работы 160 минут. До отмены карантинных мер все контрольные и экзамены проводятся дистанционно на платформе Zoom. Контроль за самостоятельностью выполнения заданий студентами (прокторинг) осуществляют преподаватели. В случае, если самостоятельность решения заданий экзамена студентом вызывает сомнения, преподаватель вправе назначить студенту дополнительное собеседование по его экзаменационной работе. По результатам собеседования первоначальная оценка может быть изменена, или работа может быть аннулирована.
Индивидуальное домашнее задание

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
Итоговая оценка рассчитывается в момент проверки экзаменационного задания. Полное правильное решение задачи из числа тех, от которых студент не был освобожден по итогам контрольных работ, оценивается в один балл. В случае неполного решения оценка может дробиться. К набранным баллам за эти задачи добавляются баллы за те задачи, от которых студент был освобожден по итогам контрольных работ (по одному баллу за задачу). Кроме того, из общего результата вычитаются штрафные баллы за незачтенные задачи индивидуального домашнего задания (в сумме не более двух баллов). Окончательное количество условных баллов (M) подвергается округления для приведения к десятибалльной шкале. Правила округления описаны в отдельной ячейке.

Программа дисциплины