Математический анализ 1

Бакалавриат 2020/2021

Статус: Курс обязательный (Совместная программа по экономике НИУ ВШЭ и РЭШ)

Направление: 38.03.01. Экономика

Кто читает: Отдел сопровождения учебного процесса в Совместном бакалавриате ВШЭ-РЭШ

Где читается: Факультет экономических наук

Когда читается: 1-й курс, 1, 2 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Болбачан Василий Сергеевич, Трофимова Анастасия Алексеевна, Щуров Илья Валерьевич, Эрлих Иван Генрихович

Язык: русский

Кредиты: 7

Контактные часы: 128

Полная версия программы учебной дисциплины Задать вопрос

Аннотация

Дисциплина предназначена для студентов 1 курса бакалавриата.Студенты познакомятся с фундаментальными математическими понятиями; Овладеют азами математической культуры доказательства утверждений, получат аналитическую базу для изучения последующих математических и специализированных курсов, познакомятся с программным обеспечением, позволяющим решать задачи математического анализа. Изучение дисциплины «Математический анализ» – 1 не требует какой бы то ни было предварительной математической подготовки сверх обычной программы средней школы. Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин: эконометрика; микроэкономика; макроэкономика; дифференциальные уравнения

Цель освоения дисциплины

Обучение студентов фундаментальным математическим понятиям
Знакомство студентов с программным обеспечением, позволяющим решать задачи математического анализа
Формирование у студентов математической культуры доказательства утверждений
Предоставление студентам аналитической базы для изучения последующих математических и специализированных курсов

Планируемые результаты обучения

Знает точные формулировки основных понятий, уметь интерпретировать их на простых модельных примерах
Знает общие теоремы о необходимых или достаточных условиях безусловногого или условного экстремума, о свойствах суммы функционального ряда, критерии выпуклости или вогнутости функций многих переменных
Знает свойства градиента и матрицы Тейлора векторных функций с числовыми значениями, их место в формуле Тейлора для таких функций
Может формулировать и доказывать основные результаты этих разделов; представлять математические утверждения и их доказательства
Понимает разделы учебной и научной литературы, связанные с применением пределов, непрерывности и дифференцируемости векторных функций, в том числе, с использованием векторно-матричных обозначений
Использует свойства интегралов при описании и анализе задач динамики экономики или задач теории вероятностей и статистики
Может применять специальные методы вычисления пределов, производных и интегралов
Владеет навыками решения типовых задач с применением изучаемого теоретического материала
Владеет навыками решения математических задач, аналогичных ранее изученным

Содержание учебной дисциплины

Тема 1. Введение. Математическое доказательство Утверждения. Вывод утверждений. Математическая индукция. Доказательство от противного.
Тема 2. Предел последовательности Числовая последовательность. Предельная точка последовательности. Предел последовательности. Арифметические свойства пределов. Предельный переход в неравенствах. Теорема «о двух милиционерах». Ограниченные и неограниченные множества. Верхняя (нижняя) грань, точная верхняя (нижняя) грань. Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса. Гармонический ряд. Число e.
Тема 3. Предел функции Предел функции по Коши и по Гейне. Эквивалентность двух определений. Арифметические свойства пределов. Композиция функций. Предел сложной функций. Вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.
Тема 4. Непрерывность функции Непрерывность функции в точке и на множестве. Замечательные пределы. Предельная точка множества. Открытые и замкнутые множества на числовой прямой. Компакт. Операции с множествами и их свойства. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Теорема о промежуточном значении. Ограниченность функции, непрерывной на отрезке. Достижение точной верхней (нижней) грани функцией, непрерывной на отрезке.
Тема 5. Производная функции Производная функции. Связь дифференцируемости и непрерывности функции в точке. Производная сложной функции. Обратная функция. Производная обратной функции. Табличные производные. Связь значения производной и возрастания (убывания) функции. Локальные и глобальные экстремумы функций одной переменной. Выпуклость графика функции. Точки перегиба. Исследование функций одной переменной. Построение эскизов графиков. Теорема Ролля. Теорема Коши. Теорема Лагранжа.
Тема 6. Правило Лопиталя Раскрытие неопределенностей вида 0 0 и ∞ ∞ при вычислении предела отношения функций. Правило Лопиталя.
Тема 7. Формула Тейлора О-символика. Приближение функции многочленами Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Применение формулы Тейлора к табличным функциям. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора.
Тема 9. Неопределенный интеграл Первообразная. Связь между различными первообразными одной функции. Неопределенный интеграл. Вычисление неопределенных интегралов. Интегрирование по частям. Замена переменной.
Тема 10. Определенный интеграл Интегральные суммы. Определенный интеграл. Корректность определения. Правила вычисления определенного интеграла: арифметические свойства, интегрирование по частям, замена переменной. Интегрируемость и непрерывность. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление площадей фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла.
Тема 11. Числовые и функциональные ряды. Ряд Тейлора Числовой ряд и его частичные суммы. Сходимость. Достаточные условия сходимости. Сумма членов геометрической прогрессии. Функциональный ряд и его частичные суммы. Область сходимости. Ряд Тейлора. Разложения в ряд Тейлора некоторых функций.

Элементы контроля

Самостоятельные работы на семинарах (СР)
Контрольная работа (КР)
Коллоквиум (КОЛ)
Письменные домашние задания (ДЗ)
Итоговая работа (ИР)
Дополнительные задания (ДОП)

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
Все элементы контроля являются неблокирующими, кроме итоговой работы. Итоговая работа является блокирующей. Оценки по всем формам контроля являются вещественными числами от 0 до 10. В случае получения удовлетворительной оценки (больше или равно 3,5) за итоговую работу, итоговая оценка за дисциплину вычисляется по формуле: ИТ = ROUND(0,25 × ДЗ + 0,1 × СР + 0,25 × КР + 0,3 × ИР + 0,1 × КОЛ + 0,1 × ДОП), где ROUND — функция округления до целого системы электронных таблиц Google Spreadsheets

Программа дисциплины