Бакалавриат
2020/2021
Математика для экономистов (углублённый курс)
Статус:
Курс обязательный (Экономика)
Направление:
38.03.01. Экономика
Кто читает:
Департамент математики
Где читается:
Факультет экономических наук
Когда читается:
1-й курс, 3, 4 модуль
Формат изучения:
без онлайн-курса
Язык:
русский
Кредиты:
4
Контактные часы:
76
Программа дисциплины
Аннотация
Учебная дисциплина «Математика для экономистов» требует предварительного изучения курсов «Математический анализ-1» и «Линейная алгебра». В ней последовательно изучаются основы интегрального исчисления функций одной и нескольких переменных, теории числовых и функциональных рядов. В частности, рассматриваются методы исследования сходимости несобственных интегралов, числовых и функциональных рядов. Даются краткие сведения об условиях существовании, единственности и дифференцируемой зависимости решений от начальных данных. В одном из разделов курса рассматриваются свойства однородных функций, включая теорему Эйлера для таких функций. Основные положения дисциплины «Математика для экономистов» используются при изучении следующих дисциплин: «Микроэкономика», «Макроэкономика», «Теория вероятностей и математическая статистика», «Эконометрика», «Дифференциальные и разностные уравнения».
Цель освоения дисциплины
- Добиться усвоения студентами теоретических основ, базовых результатов и теорем математического анализа, а также основных математических приемов и правил формального анализа и решения различных математических задач на основе полученных теоретических знаний.
- Подготовить слушателей к чтению современных текстов по экономической теории, использующих модели и методы многомерного математического анализа.
- Обеспечить запросы других разделов математики, использующих возникающие в математическом анализе конструкции.
- Выработать у слушателей навыки решения типовых задач, способствующих усвоению основных понятий, а также задач, способствующих развитию начальных навыков научного исследования.
- Развить умение логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и быть корректным в употреблении математических понятий и символов для выражения количественных и качественных отношений.
Планируемые результаты обучения
- Студенты должны уметь проверять однородность функций, определять степень их однородности. Знать теорему Эйлера об однородных функциях. Свойства поверхностей уровня однородных функций. Уметь описывать множество всех $$CES$$-функций.
- Студенты должны знать определение первообразной и неопределённого интеграла.
- Студенты должны владеть методом интегрирования по частям, методами интегрирования рациональных функций, некоторых классов тригонометрических и иррациональных функций.
- Студенты должны знать определения определённого и несобственного интегралов, геометрическую, физическую и вероятностную интерпретацию этих интегралов.
- Студенты должны уметь применять формулу Ньютона-Лейбница и замену переменных для вычисления определённых интегралов.
- Студенты должны знать определения кратного и несобственного кратного интегралов.
- Студенты должны уметь сводить двойной интеграл к повторному и уметь производить замену переменных при вычисления кратных интегралов.
- Студенты должны уметь исследовать сходимость несобственных интегралов.
- Студенты должны знать свойства сходящихся и абсолютно сходящихся числовых рядов, уметь применять признаки сходимости числовых рядов.
- Студенты должны знать условия, при выполнении которых сумма функционального ряда является обладает свойствами непрерывности, дифференцируемости или интегрируемости.
- Студенты должны уметь исcледовать свойства суммы функционального ряда, обосновывать возможность почленного дифференцирования или почленного интегрирования функционального ряда.
- Студенты должны знать особенности области сходимости степенного ряда. Уметь вычислять радиус сходимости степенного ряда.
- Студенты должны знать о равномерной сходимости степенных рядов на отрезках из области сходимости, о возможности почленного дифференцирования и интегрирования степенных рядов во внутренних точках области сходимости с сохранением радиуса сходимости.
- Студент должен уметь строить ряды Тейлора и Маклорена для некоторых элементарных функций.
- Студент должен знать условия, при выполнении которых обыкновенное дифференциальное уравнение имеет единственное решение с заданными начальными данными.
- Студент должен уметь решать уравнения с разделяющимися переменными.
Содержание учебной дисциплины
- Однородные функцииОднородность частных производных однородной функции. Теорема Эйлера об однородных функциях. Кривые Энгеля для однородной функции полезности. Поверхности уровня однородных функций. Эластичность замещения. Функции с постоянной эластичностью замещения (CES-функции).
- Неопределенный интегралОпределения и простейшие свойства. Примеры функций, первообразные которых существуют, но не выражаются через основные элементарные функции с помощью конечного числа арифметических операций и операций композиции функций. Структура множества первообразных заданной на промежутке функции. Краткая таблица интегралов. Простейшие методы интегрирования. Метод интегрирования по частям. Метод замены переменной. Интегрирование рациональных функций. Возможность любую рациональную функцию $$R(x)=P(x)/Q(x)$$ единственным образом представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной функции с тем же знаменателем $$R(x)=W(x)+\frac{S(x)}{Q(x)} \; .$$ Теорема о разложении правильной рациональной функции в сумму простейших дробей (без доказательства). Интегрирование простейших дробей. Универсальная тригонометрическая подстановка. Интегралы $$\int R(\sin x,\cos x){\kern 1pt} dx$$ функций, рационально зависящих от $$\sin x$$ и $$\cos x$$. Интегрирование простейших иррациональных функций. Тригонометрические подстановки в иррациональных интегралах типа $$\int R\left(x,\sqrt{ax^{2} +bx+c} \right){\kern 1pt} dx$$.
- Определенный интегралОтмеченные разбиения отрезка числовой прямой. Диаметр разбиения. База $$d(T)\to 0$$ на множестве всех отмеченных разбиений отрезка. Интегральная сумма функции. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Геометрическая и физическая интерпретации интеграла. Определенный интеграл и первообразная. Формула Ньютона --- Лейбница. Множества меры нуль. Критерий интегрируемости. Определенный интеграл и арифметические операции. Определенный интеграл как аддитивная функция промежутка интегрирования. Определенный интеграл и неравенства. Интегрально среднее значение функции на отрезке. Интеграл как функция переменного верхнего предела. Первообразные непрерывной функции. Интегралы, зависящие от параметров. Некоторые приложения определенного интеграла. Теорема об интегральном представлении функций. Площадь криволинейной трапеции. Площади фигуры в полярных координатах. Длина дуги кривой, заданной параметрически. Длина дуги графика функции и кривой в полярных координатах. Объем тела как интеграл от площади поперечного сечения. Объем тел вращения. Несобственные интегралы. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов. Сходимость абсолютно сходящихся интегралов. Сравнительный признак сходимости несобственных интегралов. Сравнительный признак сходимости несобственных интегралов в предельной форме.
- Кратные интегралыОтмеченные разбиения $$n$$-мерного промежутка. Диаметр разбиения. Мера промежутка. Кратные интегралы для $$n$$-мерного промежутка. Множества меры нуль в $$\mathbb{R}^{n} $$. Измеримые множества. Интегралы на измеримых множествах. Сведение двойного интеграла к повторному. Замена переменных в кратном интеграле. Несобственные кратные интегралы. Интеграл Пуассона.
- Числовые рядыЧисловой ряд. Частичные суммы ряда. Сумма ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Арифметические операции co сходящимися рядами. Независимость суммы сходящегося ряда от группировки слагаемых. Необходимый признак сходимости ряда. Расходимость гармонического ряда. Критерий Коши сходимости ряда. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Сходимость абсолютно сходящегося ряда. Критерий сходимости рядов с неотрицательными слагаемыми. Интегральный признак сходимости. Сравнительные признаки сходимости. Признаки Даламбера и Коши сходимости рядов. Признак Лейбница сходимости знакопеременных рядов. Некоторые свойства абсолютно и условно сходящихся рядов. Перестановки слагаемых абсолютно и условно сходящихся рядов. Умножение рядов.
- Функциональные рядыРавномерная сходимость функциональной последовательности и функционального ряда. Непрерывность предела последовательности функций и суммы ряда. Интегрируемость предела последовательности функций и суммы ряда. Дифференцируемость предела последовательности функций (без доказательства) и суммы ряда.
- Степенные рядыРавномерная сходимость степенного ряда на отрезках из области сходимости. Радиус и область сходимости степенного ряда. Теорема Абеля (без доказательства). Почленное интегрирование и почленное дифференцирование степенного ряда. Ряды Тейлора и Маклорена. Представление функций в виде суммы ряда Тейлора. Степенные ряды для некоторых элементарных функций.
- Обыкновенные дифференциальные уравненияФазовые и интегральные кривые. Теоремы о существовании, единственности и дифференцируемой зависимости решений от начальных данных. Первые интегралы. Уравнения с разделяющимися переменными. Модель Солоу замкнутой односекторной экономики.
Элементы контроля
- Письменная контрольная работа №1 180 минутРабота проводится дистанционно с использованием асинхронного прокторинга Центра прокторинга Дирекции по онлайн обучению НИУ ВШЭ
- Письменная контрольная работа №2 180 минутРабота проводится дистанционно с использованием асинхронного прокторинга Центра прокторинга Дирекции по онлайн обучению НИУ ВШЭ
- Письменный экзамен 180 минутРабота проводится дистанционно с использованием асинхронного прокторинга Центра прокторинга Дирекции по онлайн обучению НИУ ВШЭ
- Домашнее заданиеМожно отчитываться по отдельным задачам и переделывать неудачные варианты решений до экзамена.
Промежуточная аттестация
- Промежуточная аттестация (4 модуль)Количество несданных задач домашнего задания вычитается из суммы набранных на экзамене условных единиц. Полученное число находится в одном из промежутков вида [а,Ь) с границами 0,1.5, 3, 4.5, 5.5, 6.5, 7.5, 8.5, 9, 9.5, 10,5. Номер промежутка (числа от 0 до 10) является итоговой оценкой. По итогам контрольных работ за некоторые задания экзамена заранее ставится условная единица (до четырех задач по каждой работе в зависимости от оценки за эту работу). Последние две задачи экзамена должны выполнять все.
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Математический анализ и дифференциальные уравнения : учебник для вузов, Бурмистрова, Е. Б., 2010
- Сборник задач и упражнений по математическому анализу : учеб. пособие для вузов, Демидович, Б. П., 2003
Рекомендуемая дополнительная литература
- Mathematics for economists, Simon, C. P., 1994