Математический анализ (углубленный курс)

Бакалавриат 2020/2021

Статус: Курс обязательный (Прикладная математика и информатика)

Направление: 01.03.02. Прикладная математика и информатика

Кто читает: Департамент больших данных и информационного поиска

Где читается: Факультет компьютерных наук

Когда читается: 1-й курс, 1-4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Айзенберг Антон Андреевич, Оноприенко Анастасия Александровна, Фуфаев Владимир Владимирович, Шаповал Александр Борисович

Язык: русский

Кредиты: 10

Контактные часы: 144

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Математический анализ 1 является одним из фундаментальных курсов, формирующих освоение студентами аппарата дифференциального и интегрального исчисления. Курс состоит из четырех основных тем: предел, непрерывность, дифференцирование и интегрирование функций. Студенты узнают методы вычисления пределов последовательностей и функций, овладевают техникой дифференцирования и интегрирования. Изучается формула Тейлора и методы аппроксимации элементарных функций. На основе указанных методов приобретаются навыки исследования функций на экстремум, их асимптотического анализа и построения графиков. В рамках указанного курса приобретаются как практические навыки применения методов математического анализа, так и осваиваются теоретические понятия и методы доказательства теорем, играющие важную роль в общей математической культуре студентов. Рассматриваемые понятия и методы составляют основу большинства разделов высшей математики. На базе этого курса происходит дальнейшее изучение таких дисциплин как дифференциальные уравнения, вычислительные методы, теория вероятностей, машинное обучение, компьютерное зрение и других.

Цель освоения дисциплины

ознакомление студентов с теоретическими основами таких разделов математического анализа как теория пределов, непрерывность. дифференцируемость и интегрируемость функций
формирование практических навыков вычисления пределов последовательностей и функций, овладения техникой дифференцирования и интегрирования, исследования функции на экстремум

Планируемые результаты обучения

владеть техникой вычисления пределов последовательностей и функций
владеть техникой дифференцирования
уметь исследовать функцию на экстремум
владеть техникой качественного анализа функции и построения ее графика
владеть техникой интегрирования
знать определения основных понятий дифференциального и интегрального исчисления
знать формулировки и доказательства основных теорем и лемм курса

Содержание учебной дисциплины

Теория пределов и непрерывность функции одной переменной.
Числовые последовательности. Примеры. Понятие предела последовательности. Ограниченные и неограниченные последовательности. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности. Теорема о единственности предела сходящейся последовательности. Теорема о переходе к пределу в неравенствах. Теорема о вынужденном пределе. Теорема о сходимости монотонных ограниченных последовательностей. Определение числа е. Бесконечно малые последовательности. Связь со сходящимися последовательностями. Арифметические свойства бесконечно малых и сходящихся последовательностей. Бесконечно большие последовательности, их связь с бесконечно малыми. Арифметические свойства для последовательностей, имеющих конечные и бесконечные пределы. Неопределенности. Определение подпоследовательности. Теорема о пределе подпоследовательности сходящейся последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Критерий Коши сходимости последовательности. Определение предела функции в точке по Коши и по Гейне. Теорема об эквивалентности этих определений. Односторонние пределы, их связь с двусторонними. Пределы функции в бесконечности. Неопределенности. Теоремы о переходе к пределу в неравенствах, о вынужденном пределе. Теорема о пределе сложной функции. Первый и второй замечательные пределы. Сравнение функций, о-символика, главная часть функции, порядок малости и порядок роста функции. Критерий Коши существования конечного предела функции. Определения непрерывности функции в точке, их эквивалентность. Точки разрыва, их классификация. Непрерывность основных элементарных функций. Арифметические свойства непрерывных функций. Теорема о непрерывности сложной функции. Теоремы о локальной ограниченности и локальном сохранении знака для функций, непрерывных в точке. Свойства функций, непрерывных на отрезке (первая и вторая теоремы Вейерштрасса, теорема Коши). Критерий непрерывности монотонной функции на промежутке. Критерий существования и непрерывности обратной функции на промежутке. Понятие равномерной непрерывности функции на множестве. Теорема Кантора.
Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
Понятие производной функции в точке. Геометрический и физический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции в точке. Понятие дифференцируемости функции в точке. Необходимое условие дифференцируемости, необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Правила дифференцирования. Теорема о дифференцируемости и производной сложной функции. Теорема о дифференцируемости обратной функции. Таблица производных основных элементарных функций. Производные функций, графики которых заданы параметрически. Понятие дифференциала (первого) функции в точке. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков функции одной переменной в точке. Понятие об экстремумах функции одной переменной. Локальный экстремум. Необходимое условие для внутреннего локального экстремума (теорема Ферма). Основные теоремы о дифференцируемых функций на отрезке (теорема Ролля, формулы Лагранжа и Коши). Многочлен Тейлора и формула Тейлора для функций одной переменной с остаточным членом в форме Пеано и Лагранжа. Формулы Маклорена для основных элементарных функций. Правило Лопиталя. Достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции на промежутке. Достаточные условия локального экстремума для функции одной переменной. Выпуклые (вогнутые) функции одной переменной. Достаточные условия выпуклости (вогнутости). Точки перегиба. Необходимые и достаточные условия для точки перегиба. Асимптоты графика функции одной переменной. Определение глобального максимума (минимума) функции одной переменной в области ее определения.
Интегральное исчисление функций одной переменной
Понятие первообразной функции, определенной на интервале, и неопределенного интеграла. Замена переменных и формула интегрирования по частям. Таблица интегралов. Интегрирование рациональных функций. Основные классы функций, интегрирование которых сводится к интегрированию рациональных функций. Понятие интегральной суммы и определенного интеграла . Необходимое условие интегрируемости функции на отрезке. Суммы Дарбу, их свойства. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции на отрезке. Основные классы интегрируемых функций. Основные свойства определенного интеграла. Интеграл с переменным верхним пределом. Теоремы о непрерывности и дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменных и формула интегрирования по частям для определенного интеграла. Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площади криволинейной трапеции, площади криволинейного сектора в полярных координатах, вычисление объемов. Понятие несобственных интегралов первого и второго рода. Понятия абсолютной и условной сходимости несобственного интеграла. Замена переменных и формула интегрирования по частям для несобственных интегралов. Признаки сравнения для несобственных интегралов от положительных функций. Эталонные интегралы. Признак Дирихле сходимости несобственного интеграла.
Дифференциальное исчисление функций многих переменных.
Понятие евклидовой метрики пространства . Окрестности точек, предельные и внутренние точки, открытые и замкнутые множества. Прямые, лучи, отрезки и кривые в пространстве . Связные, несвязные, ограниченные, неограниченные множества. Замкнутые, открытые множества, компактные множества, области. Понятие последовательности точек в n-мерном евклидовом пространстве и ее предела. Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности точек в n-мерном евклидовом пространстве. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Понятие функции многих переменных. Понятие линий уровня. Примеры. Определение предела функции многих переменных. Свойства пределов. Понятие непрерывности функции многих переменных в точке. Свойства непрерывных функций. Теорема о непрерывности сложной функции. Непрерывность элементарных функций многих переменных. Свойства непрерывных на компакте функций (теоремы Вейерштрасса). Теорема Коши о промежуточных значениях непрерывной на связном множестве функции. Определение частных производных функции многих переменных в точке. Определение дифференцируемости функции в точке. Первое и второе необходимые условия дифференцируемости функции в точке. Достаточное условие дифференцируемости функции в точке. Арифметические свойства дифференцируемых функций. Теорема о дифференцируемости сложной функции. Понятие и уравнение касательной плоскости к графику функции двух переменных в точке. Понятие дифференциала (первого) функции многих переменных в точке. Геометрический смысл первого дифференциала для функции двух переменных. Инвариантность формы первого дифференциала. Частные производные и дифференциалы высших порядков функции многих переменных. Теорема о равенстве смешанных производных. Производная по направлению для функций двух и трех переменных. Градиент функций двух и трех переменных в точке. Многочлен Тейлора для функции многих переменных. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано. Понятие неявной функции, определяемой уравнением. Теорема о существовании и дифференцируемости неявной функции. Формула для производных неявной функции. Понятие системы неявных функций, определяемых системой уравнений. Условия их существования и дифференцируемости. Системы уравнений для частных производных неявных функций. Понятие отображения области n-мерного пространства и его матрицы Якоби. Матрица Якоби композиции отображений. Условия обратимости отображения. Якобиан. Экстремумы функций многих переменных (локальный, глобальный, условный). Необходимое условие локального экстремума. Достаточное условие локального экстремума. Функция Лагранжа и множители Лагранжа для задачи на условный экстремум. Необходимое условие локального условного экстремума, достаточное условие. Нахождение экстремумов непрерывной функции на компакте.

Элементы контроля

Большое домашнее задание (БДЗ_2сем)
Работа в семестре (РС_1сем)
Контрольная работа (КР_2сем)
Коллоквиум (КК_1сем)
Коллоквиум (КК_2сем)
Экзамен (Э_1сем)
Экзамен (Э_2сем)
Для пилотного потока: Экзамен проходит в письменной форме. 4 принимающих. Студенту показывают список задач путём показа своего экрана через zoom, студент переписывает условия и отсаживается от компьютера так, чтобы камера показывала студента и стол перед ним. После экзамена студент отсылает работу в течение 5 минут. Продолжительность экзамена около 100 минут, пользоваться ничем нельзя. При пропадании связи хотя бы на несколько минут требуется индивидуальное решение о возможности продолжать работу (мы будем просить студента показать свой стол, бумаги, телефон). Если невозможно установить самостоятельность экзаменуемого, студент может быть отправлен на повторное прохождение экзамена. Для основного потока: Экзамен проходит в письменной форме. Проходит с прокторингом через Examus в системе Moodle. Студенты получают задание, решают на бумаге, в конце загружают фотографии/сканы решений. Экзамен длится 2 астрономических часа. Во время экзамена разрешено только смотреть в условия задач и писать на листах бумаги, которые были чистыми до начала экзамена. В частности, нельзя отлучаться от рабочего места. Если у студента случился обрыв связи продолжительностью менее пяти минут, он может продолжить написание экзамена (дополнительное время при этом не предоставляется). Если случился обрыв связи продолжительностью дольше 5 минут, то считается, что студент пропустил экзамен. В этом случае ему будет предоставлена вторая попытка сдать экзамен с увеличением сложности задач в течение недели с момента данного экзамена.
Семинары (С_2сем)

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
0.3 * Коллоквиум (КК_1сем) + 0.3 * Работа в семестре (РС_1сем) + 0.4 * Экзамен (Э_1сем)
Промежуточная аттестация (4 модуль)
0.15 * Большое домашнее задание (БДЗ_2сем) + 0.15 * Коллоквиум (КК_2сем) + 0.15 * Контрольная работа (КР_2сем) + 0.15 * Семинары (С_2сем) + 0.4 * Экзамен (Э_2сем)

Программа дисциплины