Геометрия

Бакалавриат 2020/2021

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс обязательный (Математика)

Направление: 01.03.01. Математика

Когда читается: 1-й курс, 1-4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Амбург Наталья Яковлевна, Басалаев Алексей Андреевич, Бурман Юрий Михайлович, Городенцев Алексей Львович, Куюмжиян Каринэ Георгиевна, Скопенков Михаил Борисович

Язык: русский

Кредиты: 11

Контактные часы: 252

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Освоение дисциплины «Линейная алгебра и геометрия» является необходимым пререквизитом для большинства курсов, читаемых на факультете математики. В первую очередь к ним относятся курсы алгебры и анализа второго года обучения, анализ на многообразиях и функциональный анализ, теория дифференциальных уравнений, теория представлений, алгебраическая и дифференциальная топология, алгебраическая и дифференциальная геометрия и целый ряд других фундаментальных и прикладных курсов.

Цель освоения дисциплины

Целью изучения дисциплины является освоение основ линейной и матричной алгебры, их вычислительных и теоретических методов, а также воспитание геометрической интуиции и приобретение опыта работы с геометрическими фигурами в многомерных евклидовых, аффинных и проективных пространствах, в эллиптических пространствах и пространствах Лобачевского.

Планируемые результаты обучения

Умение решать задачи на взаимное расположение прямых и точек в двумерном аффинном пространстве, решать системы линейных уравнений размера 2x2 по правилу Крамера, пользоваться барицентрическими координатами и центрами тяжести

Содержание учебной дисциплины

Векторное пространство k^2
Пропорциональность векторов, определитель 2x2, базисы и координаты, правило Крамера, форма площади. Аффинное пространство k^2: аффинный репер и аффинные координаты, деление отрезка в заданном отношении, прямые и их уравнения, площади треугольников и многоугольников. Центр тяжести и барицентрические координаты.
Евклидова плоскость = комплексная прямая.
Скалярное произведение, существование ортонормального базиса, неравенства КБШ и треугольника, квадрат евклидовой площади равен определителю Грама. Угол между векторами. Ещё раз об уравнении прямой, угол между прямыми. Геометрическое описание поля комплексных чисел.
Линейные и аффинные преобразования плоскости, дифференциал аффинного преобразования.
Замены координат. Матричная запись линейных и аффинных преобразований. Преобразования, переводящие прямые в прямые (полуаффинные преобразования).
Определение и примеры векторных пространств.
Координатные пространства, матрицы, многочлены, степенные ряды. Порождающие наборы векторов, линейная зависимость, лемма о замене, существование и свойства базисов, размерность. Матричные обозначения для линейных выражений одних векторов через другие. Умножение матриц. Преобразование строк и столбцов матрицы при помощи умножения на подходящую матрицу с подходящей стороны
Подпространства.
Размерность суммы и пересечения, взаимное расположение подпространств, трансверсальность, прямые суммы. Отыскание базиса в подпространстве методом Гаусса. Расположение подпространства относительно базиса, единственность базиса со строгой ступенчатой матрицей.
Линейные отображения, размерность ядра и образа, непустые слои являются сдвигами ядра.
Матричные обозначения для линейных отображений, размерность пространства линейных отображений, произведение матриц и композиция отображений, преобразование матрицы оператора при замене базисов. Обратная матрица, обращение матрицы методом Гаусса. Алгебра матриц, матричные единицы, обращение верхней унитреугольной матрицы над произвольным кольцом с единицей.
Матричная запись и различные геометрические интерпретации систем линейных уравнений и их решений.
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, свободные и зависимые переменные. Задание векторных и аффинных подпространств линенйыми уравнениями, взаимное расположение афинных подпространств. Фактор-пространства.
Двойственное пространство, примеры линейных форм на различных пространствах.
Двойственное пространство, примеры линейных форм на различных пространствах. Вложение V→V**, пример: многочлены и степенные ряды. Изоморфизм V→V** для конечномерного V, двойственный базис, примеры двойственных базисов, координаты линейной формы в двойственном базисе. Описание двойственного пространства к линейной оболочке заданного набора векторов, ранг матрицы. Пространство, двойственное к подпространству. Аннуляторы, биекция U ↔ Ann U обращает включения и переводит суммы в пересечения и наоборот. Двойственные линейные отображения, связь между их ядрами и образами.
Объём ориентированного параллелепипеда, полилинейные кососимметричные и знакопеременные формы, пространство кососимметричных $n$-лилинейных форм на $n$-мерном пространстве одномерно.
Знак перестановки, знак тасующей перестановки. Определитель матрицы и его простейшие свойства: полилинейность, инвариантность относительно транспонирования, мультипликативность. Правила Крамера, присоединённая матрица, тождество A ∙ A^v = det A ∙ E, разложение определителя по строке или столбцу. Техника вычисления определителей. Отношение объёма симплекса к объёму параллелепипеда (над R).
Евклидовы пространства.
Ортогонализация, евклидов объём и ориентация, матрицы Грама и как они преобразуются при замене координат, определитель Грама равен квадрату евклидова объёма параллелепипеда, вычисление углов и расстояний между подпространствами, общий перпендикуляр к набору векторов. Пример: евклидово пространство R^3: векторное произведение, уравнения прямых и плоскостей, углы и растояния между ними. Ортогональные дополнения и ортогональное проектирование в R^n, метод наименьших квадратов. Практика вычисления углов и расстояний в R^n.
Ортогональные преобразования и движения, описание движений плоскости и трёхмерного пространства.
Отражения в гиперплоскостях, композиция отражений является поворотом, геометрическое описание композиций поворотов и отражений на плоскости и в трёхмерном пространстве, простота группы SO(3). Разложение ортогонального оператора в композицию отражений и в ортогональную сумму поворотов в двумерных плоскостях. Группы O(n) и SO(n).
Собственные векторы и собственные подпространства линейных операторов.
Характеристический многочлен и собственные числа. Матрицы с элементами в алгебре многочленов = многочлены с коэффициентами в алгебре матриц, тождество Гамильтона-Кэли. Аннулирующие многочлены, разложение пространства в прямую сумму инвариантных подпространств линейного оператора по разложению его аннулирующего многочлена на взаимно простые множители, оператор диагонализуем если и только если он аннулируется произведением попарно разных линейных двучленов. Примеры: пректоры и инволюции, примеры недиагонализуемых операторов. Свойства миимального многочлена.
Одновременная диагонализация произвольного множества коммутирующих операторов, общие собственные векторы коммутирующих операторов.
Ортогональная диагонализация самосопряжённых линейных операторов на евклидовом пространстве. SVD-разложение, ортогональный инвариант пары подпространств в евклидовом пространстве.
Билинейные формы, их корреляции и матрицы Грама, преобразование матрицы Грама при замене базиса.
Невырожденные формы: критерии невырожденности, изоморфизм V → V* и изоморфизм между формами и операторами, оценка размерности изотропного подпространства, группа изометрий, двойственные базисы. Ортогональное дополнение и ортогональная проекция на конечномерное подпространство, куда форма ограничивается невырождено. Разложение формы в сумму симметричной и кососимметричной, ограничение (косо)симметричной формы на дополнительное к ядру подпространство невырождено.
Ортогонализация симметричной билинейной формы над произвольным полем, специализации над полями R, C и F(p).
Гиперболические формы, изометрии гиперболической плоскости. Пространства со скалярным произведением: ортогональные прямые суммы, каждое изотропное подпространство достраивается до гиперболического, группа изометрий порождается отражениями, лемма Витта, разложение в сумму гиперболического и анизотропного подпространства. Квадратичные формы: поляризация, матрица Грама, приведение к сумме квадратов и сумме гиперболической и анизотропной формы. Независимость сигнатуры вещественной формы от выбора базиса и отыскание сигнатуры по последовательности главных угловых миноров.
Кососимметричные билинейные формы.
Приведение к нормальному виду Дарбу, каждое изотропное подпространство невырожденной кососимметричной формы достраивается до симплектического. Грассмановы многочлены и грассманова алгебра векторного пространства. Линейная замена переменных в грассмановом многочлене, миноры, формулы Лапласа для разложения определителя по наборам строк или столбцов. Пфаффиан кососимметричной матрицы. Приведение грассмановой квадратичной формы к нормальному виду Дарбу (над произвольным полем) и критерий разложимости такой формы на линейные множители (в характеристике не равной двум).
Проективные пространства и проективизация, однородные координаты, аффинные карты и локальные аффинные координаты.
Топология вещественных и комплексных проективных пространств малой размерности. Словарик Линейная алгебра - Проективная геометрия: проективные подпространства, размерности пересечений и линейных соединений, дополнительные подпространства и проекции, проективная двойственность.
Симметрическая агебра векторного пространства и задание фигур однородными уравнениями, проективное замыкание аффинной гиперповерхности.
Пространства и линейные системы фигур, пример: P(n) как пространство наборов из n неупорядоченных точек на P(1), рациональная нормальная кривая. Проективные квадрики: пересечение квадрики с прямой, касательное пространство, простые и особые точки, всякая квадрика является линейным соединением пространства своих особых точек и невырожденной квадрики в дополнительном к нему подпространстве. Пример: классификация проективных коник (над любым полем характеристики не 2), рациональная параметризация непустой гладкой коники.
Группа PGL(V).
Проективное преобразование P(n) однозначно задаётся своим действием на n + 2 точки, никакие n + 1 из которых не лежат в одной гиперплоскости. Проективные преобразования прямой (гомографии): двойное отношение, гармонические пары точек, перекрёстая ось, неподвижные точки инволюций. Двойное отношение и гомографии на гладкой конике. Плоская проективная геометрия: четырёхвершинник и эпиморфизм S(4)→S(3), перспективные треугольники и теоремы Дезарга, описание гомографий между прямыми при помощи коник и теоремы Паскаля и Брианшона, построения одной линейкой.
Геометрия гладких проективных квадрик.
Полярное преобразование, двойственная квадрика, гиперплоские сечения и пересечение с касательной гиперплоскостью, проективные подпространства, лежащие на гладкой квадрике. Планарность квадрик, квадрики максимальной планарности проективно эквивалентны. Классификация проективных квадрик над полями R и C. Примеры: квадрика Сегре в P(3), квадрика Плюккера в P(5) и геометрия прямых в трёхмерном пространстве.
Пространство квадрик, гладкие точки и касательное пространство к гиперповерхности особых квадрик, пучки квадрик, коранг особой квадрики пучка не меньше кратности соответствующего корня характеристического многочлена.
Классификация невырожденных пучков коник над алгебраически замкнутым полем. Одновременная диагонализация всех квадратичных форм в регулярном пучке, критерий проективной конгруэнтности регулярных пучков.
Конформная теория коник на евклидовой плоскости.
Асимптоты, центр, фокусы, директрисы, главные оси и как всё это быстро находить. Оптические фокальные свойства гладких евклидовых коник, софокусные семейства коник.
Аффинные пространства.
Аффинные пространства, вложение аффинной группы в проективную в качестве нормализатора бесконечной гиперплоскости. Аффинные квадрики: гладкие центральные квадрики, параболоиды, простые конусы и цилиндры. Классификация аффинных квадрик над полями C и R, планарность вещественных квадрик.
Выпуклая геометрия в R^n.
Барицентрические комбинации, выпуклые оболочки. Открытые и замкнутые подмножества R^n. Выпуклые фигуры, опорные полупространства, грани и крайние точки. Перечисление граней выпуклых многогранников, лемма Фаркаша и теорема Минковского-Вейля.
Евклидова геометрия квадрик в R^n.
Евклидова геометрия квадрик в R^n, полуоси, метрические свойства кривых и поверхностей второго порядка. Геометрия сферы: степень точки, полярное преобразование, инверсия, стереографическая проекция, касательное пространство к сфере, стандартная форма объёма на касательном пространстве. Мёбиусовы преобразования, группа Мёбиуса.
Эллиптическое пространство E = P(V).
Эллиптическое пространство E = P(V), где V — вещественное векторное пространство с положительно определённой квадратичной формой. Каждая точка v ∈ E лежит в аффинном пространстве, ассоциированном с евклидовым векторным пространством v^⊥.Геодезические = проективные прямые, вычисление расстояний и углов через скалярное произведение в V, неравенство треугольника. Группа изометрий порождается отражениями в плоскостях и совпадает с проективизацией ортогональной группы. Примеры из плоской эллиптической геометрии: кратчайший геодезический отрезок; множество точек, равноудалённых от двух данных; конфигурации попарно равноудалённых точек на эллиптической плоскости и правильные многогранники в R^3, треугольники первого и второго рода, площадь сферического треугольника.
Пространство Лобачевского L⊂ P(V)$, где V — вещественное векторное пространство с невырожденной квадратичной формой сигнатуры (1, n), состоит из точек с положительным скалярным квадратом.
Каждая точка v∈L лежит в аффинном пространстве, ассоциированном с евклидовым векторным пространством v^⊥ , углы и длины в котором вычисляются в терминах взятого с обратным знаком скалярного произведения в V, ограниченного на v^⊥.Абсолют = изотропная квадрика в P(V). Геодезические = проективизации гиперболических плоскостей, вычисление углов и расстояний через скалярное произведение на V, неравенство треугольника. Группа изометрий порождается отражениями в плоскостях, ортогональных векторам с отрицательным квадратом, и совпадает с проективизацией ортогональной группы лоренцевой формы на V. Гиперболическая изометрия однозначно задаётся своим действием на абсолюте. Примеры из плоской гиперболической геометрии: перпендикулярные прямые сопряжены относительно абсолюта, общий перпендикуляр к двум прямым, срединный перпендикуляр к отрезку, гиперболические сферы и орициклы.
Конформная модель гиперболического пространства в шаре.
Конформная модель гиперболической плоскости в верхней полуплоскости. Группы изометрий, окружности и орициклы в этих моделях.
Геометрия кватернионов, понимаемых как комплексные матрицы 2x2, инвариантные относительно вещественной структуры, переводящей стандартную эрмитову форму на пространстве матриц в поляризацию квадратичной формы det.
Норма, обращение, образующие и соотношения. Корни уравнения q^2=-1 образуют сферу S^2 чисто мнимых кватернионов нормы 1. Сфера S^3 всех кватернионов нормы 1 — это унитарная группа SU(2), действие кватерниона q∈SU(2) сопряжением на пространстве I ≅ R^3 чисто мнимых кватернионов является поворотом вокруг прямой, которая высекается из I плоскостью П(q), порождённой 1 и q, на угол, равный удвоенному аргументу кватерниона q, рассматриваемого как комплексное число в плоскости П(q), отождествлённой с C по правилу x +iy∈С ↔ x∙1 + y∙v(q)∈П(q), где v(q) — единичный направляющий вектор прямой I ∩ П(q), глядя вдоль которого измеряется угол поворота пространства I относительно этой прямой. Универсальное накрытие Универсальное накрытие SU(2) →→ SO(3), расслоение Хопфа S^3 →→ S^2.

Элементы контроля

контрольная работа
каждый семестр - 4 контрольные работы
решение листков задач
− самостоятельное решение задач из выдаваемых в течение семестра листков с заданиями, которое оценивается числом
коллоквиум
− устный коллоквиум по итогам первого модуля, который оценивается целым числом
экзамен
− письменный экзамен в конце семестра
работа на семинарах
каждый ведущий упражнения преподаватель выставляет каждому студенту своей группы оценку СЕМ (целое число в пределах от 0 до 100) за работу на семинарах по правилам, которые он сообщает на первом занятии

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
На итоговую отметку за первый семестр влияют: оценка C за коллоквиум, оценка S за работу на семинаре, которую по 100-бальной шкале поставит Вам ведущий у Вас семинары преподаватель согласно правилам, которые он Вам сообщит на одном из первых занятий, а также доли L, K, E решённых Вами в течение семестра задач из листков (L), контрольных работ (K) и итогового письменного экзамена (E), вычисленные в процентах от общего числа обязательных задач, заданных в течение семестра в каждом из этих видов, по формуле: 100(суммарное число решённых задач, включая необязательные)/(суммарное число обязательных задач). Обратите внимание, что это число может быть больше 100. Итоговая оценка вычисляется по формуле: min(400,С+S+L+K+E)/40 Таким образом, для получения максимальной оценки 10 достаточно иметь по 80 баллов в каждом из пяти видов программы, или каким-то другим способом набрать в сумме 400 баллов. При наборе меньшей суммы оценка уменьшается линейно и округляется до целого числа по стандартным правилам округления (до ближайшего целого, полуцелые округляются вверх).
Промежуточная аттестация (4 модуль)
На итоговую отметку влияют: оценка S за работу на семинаре, которую по 100-бальной шкале поставит Вам ведущий у Вас семинары преподаватель согласно правилам, которые он Вам сообщит на одном из первых занятий, а также доли L, K, E решённых Вами в течение семестра задач из листков (L), контрольных работ (K) и итогового письменного экзамена (E), вычисленные в процентах от общего числа обязательных задач, заданных в течение семестра в каждом из этих видов, по формуле: 100(суммарное число решённых задач, включая необязательные)/(суммарное число обязательных задач). Обратите внимание, что это число может быть больше 100. Итоговая оценка вычисляется по формуле: min(300,S+L+K+E)/30. Таким образом, для получения максимальной оценки 10 достаточно иметь по 75 баллов в каждом из четырёх видов программы, или каким-то другим способом набрать в сумме 300 баллов. При наборе меньшей суммы оценка уменьшается линейно и округляется до целого числа по стандартным правилам округления (до ближайшего целого, полуцелые округляются вверх).

Программа дисциплины