Аналитическая механика

Бакалавриат 2020/2021

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс обязательный (Физика)

Направление: 03.03.02. Физика

Кто читает: Факультет физики

Где читается: Факультет физики

Когда читается: 1-й курс, 3, 4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Иоселевич Алексей Соломонович, Пещеренко Николай Сергеевич, Хвалюк Антон Викторович

Язык: русский

Кредиты: 5

Контактные часы: 80

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

В курсе «Аналитическая механика» студенты знакомятся с теоретическим описанием классического движения тел. В отличие от курса общей физики «Механика» в курсе аналитической механики изложение строится на понятии лагранжиана, из которого уже получаются уравнения движения (уравнения Ньютона). Это позволяет единообразно и достаточно автоматически решать разнообразные задачи классической механики: движение материальной точки во внешнем поле, движение твердого тела как целого, описание колебательного движения. Также в курсе рассказывается об уравнении Гамильтона, скобках Пуассона и канонических преобразованиях. Уверенное владение этими понятиями необходимо для дальнейшего успешного освоения курса квантовой механики.

Цель освоения дисциплины

Цель дисциплины «Аналитическая механика» — освоение студентами базовых знаний в области последовательного теоретического описания физических явлений, известных им из курса общей физики «Механика», и освоения необходимых принципов и понятий для дальнейшего изучения разделов теоретической физики. В задачи дисциплины входит формирование у студентов умений и навыков применять изученные методы для самостоятельного решения задач аналитической механики Изучение данной дисциплины базируется на знаниях, полученных студентами при освоении учебных дисциплин: Математический анализ; Линейная алгебра; Дифференциальные уравнения; Элементы математического аппарата физики; Механика Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении дисциплин: Математическая физика; Теория поля; Статистическая физика; Квантовая механика;

Планируемые результаты обучения

умеет решать задачи, связанные с расчетом траектории материальной точки
умеет работать с различными системами координат
имеет представление о движение в «кулоновском» поле U(r)=A/r.
умеет найти дополнительный интеграл движения в задаче Кеплера — вектор Рунге-Ленца и может оцнеить влияние малых возмущений на движение в кулоновском поле.
умеет решать задачи рассеяния в постоянном внешнем поле.
имеет представление об одномерных малых колебаниях.
умеет определять собсвенные частоты и моды колебаний
знаком с маятником Капицы
знаком с примерами автоколебательных систем
знакомится с применением тензорного исчесления в маеханике: тензор инерции
знакомится с прецессией и уравнениями Эйлера
умеет решать задачи с использованием уравнений Лагранжа
умеет применять уравнения механики для расчета движения волчка
имеет представление об уравнениях Гамильтона, функции Гамильтона.
знает о действии как функция координат
знает как разделять переменные в уравнениях
знает о применении параболических координат
умеет находить инварианты движения
умеет оценить точность сохранения инвариантов
имеет представление об уравнениях Гамильтона, функции Гамильтона. знает о действии как функция координат умеет пользоваться скобками Пуассона. знаком с : принципом Мопертюи, каноническими преобразованиями, теоремой Лиувилля.

Содержание учебной дисциплины

Обобщенные координаты. Действие и функция Лагранжа. Принцип наименьшего действия. Примеры вариационных задач. Обобщенные импульсы. Принцип относительности Галилея и лагранжиан материальнойточки. Кинетическая и потенциальная энергия.
Циклические координаты и интегралы движения. Закон сохранения энергии, как следствие однородности времени. Закон сохранения импульса, как следствие однородности пространства. Закон сохранения момента импульса, как следствие изотропии пространства. Преобразование энергии, импульса и момента импульса при переходе от одной инерциальной системы координат к другой. Важнейшие системы координат: декартова, цилиндрическая и сферическая; выражения для импульса и момента импульса в этих координатах.
Материальная точка в постоянном внешнем поле, зависящем от одной координаты. Финитное и инфинитное движение. Точки поворота. Период колебаний, его зависимость от энергии. Задача двух тел, центр инерции, относительное движение и приведенная масса.
Сферически симметричное постоянное поле. Центробежная энергия и аналогия с одномерным случаем. Интегрирование уравнений движения. Замкнутые и незамкнутые траектории. Падение на центр. Движение в поле U(r)=B/r2.
Движение в «кулоновском» поле U(r)=A/r. Финитные (эллипсы) и инфинитные (гиперболы) траектории. Дополнительный интеграл движения в задаче Кеплера — вектор Рунге-Ленца. Влияние малых возмущений на движение в кулоновском поле.
Общая постановка задачи рассеяния в постоянном внешнем поле. Дифференциальное и полное сечение рассеяния. Рассеяние на твердой поверхности. Рассеяние в центрально симметричном поле. Резерфордовское рассеяние. Малоугловое рассеяние. Сечение падения на центр.
Лабораторная система и система центра инерции. Упругие и неупругие столкновения. Распад и слияние частиц. Одномерные малые колебания. Свободные колебания, вынужденные колебания, затухающие колебания. Резонанс. Параметрические колебания, параметрический резонанс.
Собственные частоты и собственные моды. Колебания молекул: исключение движения центра масс и вращения как целого.
Ангармонизм и нелинейные колебания в консервативных системах. Резонанс в нелинейных колебаниях. Движение в быстро осциллирующем поле, маятник Капицы.
Неконсервативные нелинейные системы. Возникновение автоколебаний и их устойчивость. Установившиеся автоколебания, их устойчивость. Примеры автоколебательных систем: часы, музыкальные инструменты.
Угловая скорость. Тензор инерции. Момент импульса и уравнения движения твердого тела. Прецессия.Углы Эйлера. Уравнения Эйлера.
Симметрический волчок. Асимметрический волчок.
Силы реакции и силы трения. Скольжение и качение. Голономные и неголономные связи. Уравнения Лагранжа в присутствии неголономных связей. Примеры.
Уравнения Гамильтона, функция Гамильтона. Скобки Пуассона. Действие как функция координат. Укороченное действие. Принцип Мопертюи. Канонические преобразования. Теорема Лиувилля.
Разделение переменных. Сферические координаты: движение в поле диполя. Дифференциальное сечение рассеяния. Падение на центр. Замкнутые траектории.
Параболические координаты: движение в кулоновском + однородном поле. Эллиптические координаты: движение в поле двух кулоновских центров.
Движение в присутствии адиабатически медленных изменений системы. Сохранение адиабатических инвариантов. Изменение энергии системы при медленном изменении параметров.
Переменные действие-угол. Точность сохранения адиабатического инварианта. Малые поправки к адиабатическому приближению. Периодическое и условно периодическое движение.
Переход от дискретной системы к непрерывной. Уравнения Лагранжа для непрерывных систем. Уравнения Гамильтона для непрерывных систем. Описание полей с помощью вариационных принципов.

Элементы контроля

Домашние задания
Домашние задания выдаются студентам дистанционно после каждого семинара. Каждое задание состоит из нескольких задач различной трудности, оцениваемых в максимальном количестве баллов, которое студент может получить за ее решение. Решения сдаются студентами в указанный срок в рукописном или (предпочтительно) в электронном виде.
Контрольная работа
В весеннем семестре 2019-2020 проводится одна контрольная работа в дистанционном формате. Процедура написания контрольной будет регламентироваться отдельно.
Экзамен

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (4 модуль)
Накопленная оценка (Н) складывается из усредненной оценки за домашние задания (Дз) и контрольную работу (Кр): Н=0.75Дз+0.25Кр. Округление по арифметическим правилам. Студенты с накопленной оценкой 8, 9, 10 могут по своему выбору зачесть эту оценку в качестве итоговой. Итоговая оценка (ИО) складывается из накопленной (Н) и оценки за экзамен (Э): ИО=0,7Н+0,3Э, округление в пользу студентов.

Программа дисциплины