Введение в современную топологию

Бакалавриат 2020/2021

Статус: Курс по выбору (Совместная программа по экономике НИУ ВШЭ и РЭШ)

Направление: 38.03.01. Экономика

Кто читает: Отдел сопровождения учебного процесса в Совместном бакалавриате ВШЭ-РЭШ

Где читается: Факультет экономических наук

Когда читается: 1-й курс, 3, 4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Медведев Владимир Олегович

Язык: русский

Кредиты: 6

Контактные часы: 64

Полная версия программы учебной дисциплины Задать вопрос

Аннотация

Курс будет посвящён двумерным поверхностям. На этом наглядном примере мы познакомимся с некоторыми важными понятиями топологии: • эйлерова характеристика; • гомотопия и изотопия; • накрытие; • фундаментальная группа, а также с векторными полями — ключевым понятием теории дифференциальных уравнений. Мы простым и наглядным способом докажем двумерный вариант теоремы Брауэра о неподвижной точке, которая используется, например, в доказательстве теоремы Нэша о равновесии.

Цель освоения дисциплины

Развить геометрическую интуицию у слушателей, расширить их кругозор, познакомить с важными понятиями и некоторыми методами топологии, алгебры, дифференциальной геометрии, теории дифференциальных уравнений.

Планируемые результаты обучения

Знает определение топологического пространства и основных классов пространств
Знает определение и основные свойства наиболее употребительных топологических пространств (сферы, грассманианы, пространства флагов и т.п.)
Умеет пользоваться основными операциями над топологическими пространствам
Умеет задавать топологические пространства в виде клеточных; вычислять гомотопические и гомологические инварианты пространств по их клеточному разбиению
Владеет понятиями расслоения и точной последовательности

Содержание учебной дисциплины

Тема 1. Понятие двумерного многообразия. Гомеоморфизм. Примеры двумерных поверхностей. Проективная плоскость
Тема 2. Инварианты двумерных поверхностей: число связных компонент края, ориентируемость, эйлерова характеристика.
Тема 3. Склейка поверхности из многоугольника и классификация двумерных поверхностей.
Тема 4. Векторные поля на поверхностях, индекс векторного поля относительно кривой. Связь с эйлеровой характеристикой.
Тема 5. Теорема Брауэра о неподвижной точке (двумерный случай).
Тема 6. Группа первых гомологий.
Тема 7. Универсальные накрытия.
Тема 8. Фундаментальная группа.
Тема 9. Примеры (неуниверсальных) накрытий.

Элементы контроля

Домашние задания
Итоговая контрольная работа
Промежуточная контрольная работа
Работа на занятиях
Домашние задания
Итоговая контрольная работа
Промежуточная контрольная работа
Работа на занятиях

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (4 модуль)
0.4 * Домашние задания + 0.3 * Итоговая контрольная работа + 0.2 * Промежуточная контрольная работа + 0.1 * Работа на занятиях

Программа дисциплины