Линейная алгебра

Бакалавриат 2020/2021

Статус: Курс обязательный (Совместная программа по экономике НИУ ВШЭ и РЭШ)

Направление: 38.03.01. Экономика

Кто читает: Отдел сопровождения учебного процесса в Совместном бакалавриате ВШЭ-РЭШ

Где читается: Факультет экономических наук

Когда читается: 1-й курс, 3, 4 модуль

Формат изучения: с онлайн-курсом

Преподаватели: Абрамян Семён Артурович, Медведев Владимир Олегович, Трофимова Анастасия Алексеевна, Эрлих Иван Генрихович

Язык: русский

Кредиты: 5

Контактные часы: 96

Полная версия программы учебной дисциплины Задать вопрос

Аннотация

Линейная алгебра - одна из фундаментальных математических дисциплин. Понятия и методы линейной алгебры широко используются в приложениях. Вот лишь несколько примеров: линейные модели в бизнесе и эконометрике, приложения к теории дифференциальных уравнений, теории марковских цепей, статистике и теории игр. Чисто практическая задача по составлению наилучшего плана загрузки лущильных станков привела Леонида Канторовича в 1939 году к созданию новой научной дисциплины под названием линейное программирование, где исследуются методы экстремальных задач на подмножествах конечномерного векторного пространства, задаваемых системами линейных уравнений и неравенств. Это открыло новый этап в развитии экономико-математических методов, а Канторович позже был удостоен Нобелевской премии по экономике. Таким образом, знание линейной алгебры и уверенное владение её методами - залог успеха в освоении большинства последующих дисциплин, основанных на математическом подходе, а её творческое использование в приложениях - залог успешной карьеры.

Цель освоения дисциплины

Познакомить слушателя с основными понятиями и методами линейной алгебры.

Планируемые результаты обучения

Умеет решать системы линейных алгебраических уравнений различными методами и выяснять, допускает ли данная система линейных алгебраический уравнений решения
Умеет вычислять определители матриц
Умеет находить обратную матрицу
Владеет основными понятиями линейной алгебры: векторные пространства, линейные отображения, скалярные произведения
Умеет находить собственные числа матрицы
Умеет диагонализовать диагонализуемые матрицы и ортодиагоналивать ортодиагонализуемые матрицы
Умеет приводить квадратичную форму к каноническому виду

Содержание учебной дисциплины

Тема 2.
Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ): эквивалентные системы, совместные и несовместные системы, геометрический смысл систем из двух уравнений с двумя неизвестными и систем из трёх уравнений с тремя неизвестными, матрицы и матричная форма записи СЛАУ, вектор-стобцы и вектор-строки, векторы в R n , линейные комбинации векторов, линейная зависимость и линейная независимость векторов, ранг и свободные переменные, теорема Кронекера-Капелли, метод Гаусса-Жордана, пространство решений СЛАУ.
Тема 1.
Введение: множества, алгебра множеств, отображения множеств, инъекции, сюръекции, биекции, комплексные числа, тригонометрическая форма записи комплексного числа, формула Муавра, извлечение корня из комплексного числа, основная теорема алгебры, кванторы.
Тема 4.
Векторные пространства и линейные отображения: векторное пространство R n , абстрактные векторные пространства, линейная зависимость и линейная независимость в абстрактных векторных пространствах, векторные подпространства векторного пространства, теорема о векторных подпространствах векторного пространства, линейная оболочка векторов, базисы и координаты, размерность векторного пространства, ядро и образ матрицы revisited, теорема о ранге матрицы, линейные отображения векторных пространств, ядро и образ линейного отображения, каноническая матрица линейного отображения, матрица замена базиса, изоморфизм векторных пространств, теорема об изоморфизме конечномерных векторных пространств, теорема об обратной матрице revisited.
Тема 3.
Матрицы и определители: алгебраические операции над матрицами, алгебра матриц, матричные уравнения, матричная экспонента, обратимые матрицы, обратная матрица, теорема об обратной матрице, алгоритм Гаусса-Жордана нахождения обратной матрицы, след матрицы, определитель матрицы и его свойства, методы и стратегии нахождения определителя матрицы, элементарные матрицы, верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы, разложение матрицы в произведение нижнетреугольной матрицы и верхнетреугольной матрицы, метод вычисление обратной матрицы через присоединённую матрицу, метод Крамера решения СЛАУ, ядро и образ матрицы.
Тема 5.
Скалярные произведения: скалярное произведение векторов в пространстве R n , абстрактные скалярные произведения в векторных пространствах, длина векторая, расстояние между векторами, неравенство Коши-Буняковского-Шварца, неравенство треугольника, ортогональные векторы, ортогональные и ортонормированные базисы, ортогональное дополнение векторного подпространства векторного пространства со скалярным произведением, прямая сумма векторных пространств, ортогональная проекция, процесс ортогонализации Грама-Шмидта.
Тема 6.
Диагонализация матриц и квадратичные формы: собственные векторы и собственные числа матрицы, собственные пространства, характеристическое уравнение, теорема Гамильтона-Кэли, подобные матрицы, диагонализуемые матрицы, теорема о диагонализуемых матрицах, алгоритм диагонализации матрицы, теорема о разложении матрицы с единственным собственным значением, жорданова клетка, жорданова нормальная форма, симметрические матрицы и ортодиагонализуемость, спектральная теорема, завершение теоремы об обратной матрице, билинейные и квадратичные формы, знакоопределённые и знакопеременные формы, критерий Сильвестра, канонический вид квадратичной формы, метод Лагранжа, закон инерции Сильвестра.

Элементы контроля

Итоговая контрольная работа
Промежуточная контрольная работа
Обязательные домашние задания

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (4 модуль)
0.4 * Итоговая контрольная работа + 0.3 * Обязательные домашние задания + 0.3 * Промежуточная контрольная работа

Программа дисциплины