Бакалавриат
2020/2021
Линейная алгебра
Лучший по критерию «Полезность курса для Вашей будущей карьеры»
Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус:
Курс обязательный (Физика)
Направление:
03.03.02. Физика
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет физики
Когда читается:
1-й курс, 1, 2 модуль
Формат изучения:
без онлайн-курса
Язык:
русский
Кредиты:
4
Контактные часы:
64
Программа дисциплины
Аннотация
Курс "Линейная алгебра" направлен на знакомство студентов с основными понятиями и методами линейной алгебры. При изучении этого курса студенты получат знания о современной алгебре и её месте в математике, познакомятся с понятиями систем линейных уравнений, векторных пространств, матриц, линейных операторов, тензоров, а также научатся решать стандартные задачи линейной алгебры и применять методы линейной алгебры в других математических и физических дисциплинах. Изучение данной дисциплины базируется на знаниях, полученных студентами при освоении школьного курса математики. Основные положения дисциплины используются в дальнейшем при изучении таких дисциплин, как "Дифференциальные уравнения", "Теория вероятностей", "Методы вычислений", "Уравнения математической физики", а также профильных физических дисциплин.
Цель освоения дисциплины
- Формирование и развитие у студентов структурно-алгебраического мышления и умения видеть общие алгебраические конструкции в различных областях математики
- Освоение фундаментальных понятий и вычислительных методов линейной алгебры
- Наработка опыта использования и применения изучаемых методов к исследованию и решению конкретных задач
Планируемые результаты обучения
- Освоение методов решения систем линейных уравнений
- Знакомство с основными понятиями линейной алгебры
- Знакомство с основными понятиями и методами линейной алгебры и отработка навыков их применения при решении задач
- Знакомство с основными понятиями теории групп
- Знакомство с понятием тензора и его применением в математике и физике
Содержание учебной дисциплины
- Системы линейных уравненийМетоды системы решения линейных уравнений. Метод Гаусса. Фундаментальная система решений.
- Векторные пространстваВекторное пространство, базис и размерность. Векторные подпространства, свойства подпространств. Сопряженное пространство.
- Линейные отображенияЛинейные отображения. Матрицы линейных отображений. Композиция линейных отображений и произведение матриц. Ядро и образ линейного отображения. Сопряженное отображение.
- Линейные операторыЛинейные операторы. Определитель линейного оператора. Определитель композиции операторов.
- Скалярное произведениеСкалярное произведение. Ортогонализация Грама-Шмидта.
- Билинейные и квадратичные формыСимметрические билинейные формы и квадратичные формы. Поляризация. Диагонализуемость. Методы Лагранжа и Якоби. Индекс инерции квадратичной формы, критерий Сильвестр
- Евклидово и эрмитово пространствоЕвклидово и эрмитово пространство. Метрическая геометрия. Псевдоевклидово пространство, пространство Минковского.
- Векторное пространство с операторомПреобразование линейного оператора при смене базиса. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Характеристический многочлен. Диагонализуемость.
- Евклидово и эрмитово пространство с операторомСимметрические, кососимметрические, ортогональные, эрмитовы, косоэрмитовы, унитарные операторы. Собственные значения, диагонализуемость. Линейные операторы и билинейные функции в пространстве со скалярным произведением.
- Жорданова нормальная формаКорневые векторы. Разложение пространства с оператором в прямую сумму корневых подпространств. Нильпотентные операторы.
- ГруппыДействие группы на множестве. Примеры: простейшие конечные группы, группы отражений, кристаллографические группы. Гомоморфизмы групп.
- ТензорыПримеры тензоров. Двойственность и свертки. Симметрические и кососимметрические тензоры.
