Линейная алгебра и геометрия

Бакалавриат 2020/2021

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс обязательный (Прикладная математика и информатика)

Направление: 01.03.02. Прикладная математика и информатика

Кто читает: Департамент больших данных и информационного поиска

Где читается: Факультет компьютерных наук

Когда читается: 1-й курс, 1-4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Авдеев Роман Сергеевич, Аланов Айбек, Зайцева Юлия Ивановна, Смирнов Сергей Валерьевич, Трушин Дмитрий Витальевич, Федотов Станислав Николаевич, Шафаревич Антон Андреевич

Язык: русский

Кредиты: 10

Контактные часы: 144

Полная версия программы учебной дисциплины Задать вопрос

Аннотация

Линейная алгебра является базовым инструментом используемым наравне с математическим анализом во всех прикладных дисциплинах. Курс развивает абстрактное математическое мышление с одной стороны и знакомит с мощными инструментами, применяемыми в машинном обучении, обработке сигналов и других областях компьютерных наук.

Цель освоения дисциплины

Ознакомление студентов с основами линейной алгебры, аналитической геометрии и общей алгебры
Формирование у студентов навыков структурного математического мышления (на котором сейчас базируются все парадигмы языков программирования)
Формирование у студентов навыков использования линейной алгебры прикладных задачах, в томчисле экономических, геометрических, задачах обработки сигналов и особенно возникающих в задачах анализа данных и в компьютерных науках

Планируемые результаты обучения

Уметь решать СЛУ и ОСЛУ методом Гаусса
Уметь определять количество решений СЛУ по ступенчатому виду
Уметь выражать матричными операциями элементарные преобразования
Знать классификацию СЛУ..........................
Уметь применять формулы Крамера
Уметь задавать подпространства линейными оболочками и системами линейных уравнений и уметь пересчитывать одно в другое.
Уметь пользоваться теоремой Кронекера-Капелли
Уметь решать переопределенные системы методом наименьших квадратов
Знать и уметь выполнять все матричные оператции
Знать критерий невырожденности матриц
Уметь использовать блочные формулы для матричных операций
Уметь находить минимальный и характеристический многочлены матрицы
Знать определение и уметь находить спектр матрицы
Знать определение матричной нормы
Знать явную формулу для обратной матрицы
Знать пять определений рангов матрицы и уметь доказывать их эквивалентность
Знать неравенства на ранги суммы и произведения матриц
Уметь находить инвариантные подпространства в малых размерностях
Знать когда две матрицы задают одно и то же линейное отображение между двух векторных пространств в разных парах базисов
Знать определение перестановок и уметь совершать все операции с ними
Уметь раскладывать перестановки в независимые циклы
Знать три определения для определителя: (1) явная формула, (2) через полилинейные свойства, (3) через умножение матриц
Уметь пользоваться формулой разложения по строке/столбцу определителя
Знать две конструкции для поля комплексных чисел
Знать доказательство алгебраической замкнутости поля комплексных чисел
Знать определение векторного пространства, умение привести примеры векторных пространств
Уметь находить базис векторного пространства, проверять является ли данная система базисом, выделять базис из заданной системы
Умение находить блочную структуру матрицы линейного отображения связанную с разложением пространств в прямую сумму
Уметь вычислять матрицу линейного отображения, знать формулы замены матрицы при смене базиса
Уметь строить линейные отображения двумя способами: с помощью базиса и с помощью матриц
Знать определение ядра и образа линейного отображения и связь их размерностей
Знать когда две матрицы задают одно и то же линейное отображение между двух векторых пространств в разных парах базисов
Уметь вычислять следующие характеристики линейных отображений: след, определитель, характеристический и минимальный многочлены, спектр
Знать связь инвариантных подпространств с углом нулей в матрице оператора
Уметь находить собственные значения и векторы
Уметь находить собственные и корневые подпространства
Знать лемму о стабилизации для линейных операторов
Знать формулу для проектора и ортопроектора
Знать геометрическую интерпретацию кратности корня минимального и характеристического многочленов
Уметь раскладывать пространство в прямую сумму корневых подпространств над полем комплексных чисел
Уметь определять ЖНФ для линейного оператора
Уметь находить жорданов базис согласованный с ЖНФ для линейного оператора
Знать способы вычисления размеров клеток в ЖНФ по матрице оператора
Знать формулировку теоремы о вещественной ЖНФ
Уметь определять когда две матрицы задают один и тот же линейный оператор в разных базисах
Уметь находить двойственны базис в сопряженном пространстве
Уметь находить матрицу билинейной формы в заданных базисах
Уметь пересчитывать матрицу билинейной формы в новых базисах
Знать какие характеристики матрицы билинейной формы зависят от базиса, а какие нет
Знать двойственность для подпространств для невырожденной билинейной формы
Знать альтернативу Фредгольма
Уметь определять когда две матрицы задают одну и ту же билинейную форму в разных базисах
Уметь диагонализировать симметрическую билинейную форму следующими методами: симметричный гаусс, лагранж, якоби
Уметь определять сигнатуру симметрической билинейной формы над полем вещественных чисел
Уметь пользоваться поляризационной формулой
Знать геометрический смысл индексов инерции
Уметь проверять является ли билинейная форма скалярным произведением
Уметь проводить ортогонализацию Грама-Шмидта
Уметь сводить задачи о 3-х, 2-х и 1-о мерных пространствах к фактам из школьной геометрии
Уметь вычислять расстояния и углы между векторами
Уметь вычислять расстояния между подмножествами евклидового пространства
Уметь вычислять расстояния и углы между вектором и подпространством
Знать формулы для вычисления объема и ориентированного объема
Уметь диагонализировать эрмитовы и косоэрмитовы формы
Уметь определять сигнатуру эрмитовых форм
Уметь определять положительную определенность эрмитовой формы
Знать понятие комплексификации и связи характеристик оператора при комплексификации
Уметь приводить движение к каноническому виду
Уметь приводить самосопряженный оператор к каноническому виду
Знать, когда существует скалярное произведение, чтобы заданный оператор стал движением или самосопряженным
Уметь строить изофорфизм между билинейными формами и операторами
Уметь приводить симметрическую форму к главным осям
Уметь находить SVD (в разных вариациях)
Уметь решать задачу о низкоранговом приближении
Знать определение репера и уметь пересчитывать координаты вектора в разных реперах
Уметь задавать линейные подмногообразия двумя способами
Уметь распознавать вид взаимного расположения линейных подмногообразий и находить расстояния и углы между ними, когда это имеет смысл
Знать утверждение о том, сколько каких многообразий проходит через k+1 точку
Уметь определять вид квадратичной поверхности
Знать определение и формулы для вычисления векторного произведения
Знать формулы для смешенного произведения и его связь с векторным произведением
Знать определение проективного пространства, подпространства и гиперповерхности
Уметь переходить от однородных координат к аффиным и наоборот (когда это возможно)
Знать применение проективных преобразований для реализации z-буффера в 3D движках

Содержание учебной дисциплины

Системы линейных уравнений
Однородные и неоднородные системы линейных уравнений. Элементарные преобразования. Алгоритм Гаусса. Существование ненулевого решения у однородной системы, когда число неизвестных больше числа уравнений.
Поля
Определение поля и изоморфизма полей. Комплексные числа: концептуальное определение, две конструкции. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел (основная теорема алгебры), кратность корня и теорема Безу.
Перестановки и определитель
Определение перестановок. Операция на перестановках. Правила переименования. Циклы. Знак перестановки. Три подхода к определителям: (I) согласованность с умножением, (II) полилинейность и кососимметричность по строкам (или столбцам), (III) явная формула с помощью перестановок. Миноры, сопряженная матрица, обратная матрица, след. Специальные классы матриц. Формулы Крамера. Теорема Гамильтона-Кэли.
Векторные пространства
Векторные пространства, подпространства, линейные комбинации, линейная зависимость, линейная оболочка, базисы, ФСР. Связь с матрицами, пять эквивалентных определений ранга: строчный, столбцовый, факториальный, тензорный, минорный. Теорема Кронекера-Капелли.
Линейные отображения
Понятие линейного отображения и примеры. Изоморфизмы. Операции на линейных отображениях, структура векторного пространства. Критерий существования линейного отображения. Матрица линейного отображения и правила ее замены при смене базисов. Образ и ядро, связь их размерностей. Критерий инъективности и сюръективности. Прямая сумма подпространств. Связь блочной структуры матрицы линейного отображения с разложением в прямую сумму. Оценка ранга произведения матриц снизу.
Линейные операторы
Понятие линейного оператора. Характеристики линейного оператора: след, определитель, характеристический многочлен, спектр. Собственные/корневые векторы и подпространства их связь со спекторм. Лемма о стабилизации образа и ядра. Классификационный результат для линейных отображений. Линейная независимость подпространств. Критерий диагонализуемости линейного оператора. Инвариантные подпространства. Разложение пространства в прямую сумму с помощью оператора со стабильным ядром. Геометрическая интерпретация кратности корня минимального многочлена. Геометрическая интерпретация кратности корня характеристического многочлена.
Линейные операторы и ЖНФ
Разложение пространства в прямую сумму корневых подпространств. Отношение равенства по модулю подпространства. Высота вектора для нильпотентного оператора. Определение жорданова базиса и жордановой нормальной формы (ЖНФ). Теорема о ЖНФ для нильпотентных операторов. Теорема о ЖНФ для произвольного оператора. Определение идеального спектра. Определение корневого и собственного подпространства для элемента идеального спектра. Разложение всего пространства в прямую сумму корневых подпространств для произвольного оператора. Общая задача о построении ЖНФ над произвольным полем. Объяснение, почему мы ограничимся вещественным полем. Теорема о существовании и единственности ЖНФ для вещественного поля.
Функционалы
Двойственное (сопряженное) пространство с примерами. Понятие о двойственном базисе. Связь размерности пространства и его двойственного. Векторы -- это функции на функциях, изоморфизм векторного пространства на свое двойное сопряженное. Конструкция сопряженного линейного отображения и свойства функториальности звёздочки. Матрица сопряженного линейного отображения в двойственном базисе. Согласованность изоморфизма векторного пространства с двойным сопряженным и конструкции сопряженного линейного отображения.
Операторы в Евклидовых и Эрмитовых пространствах
Комплексификация и овеществление векторного пространства, линейного отображения и билинейной формы. Понятие движения (3 эквивалентных определения). Ортогональные и унитарные операторы их связь при комплексификации. Матрица движения в ортонормированном базисе. Спектр и собственные векторы движений. Классификация движений. Критерий существования скалярного произведения, чтобы данный оператор стал движением. Определение сопряженного линейного отображения. Самосопряженный оператор. Классификация самосопряженных операторов. Критерий существования скалярного произведения, чтобы заданный оператор стал самосопряженным. Изоморфизм между операторами и билинейными (полуторалинейными формами) в евклидовом (эрмитовом) пространстве. Приведение к главным осям. Сингулярное разложение (SVD) линейного отображения. Скалярное произведение в пространстве операторов и его матричная форма. Норма Фробениуса. Задача о низкоранговом приближении. Положительно определенные операторы и их свойства.
Билинейные формы
Понятие билинейной формы, матричный формализм. Матричные характеристики билинейных форм. Ортогональные дополнения, ядра формы, невырожденность. Двойственность для подпространств. Двойственность для линейных отображений (альтернатива Фредгольма). Характеристики оператора и сопряженного оператора. Когда две матрицы задают одну и ту же билинейную форму. Симметричность и кососимметричность. Разложение любой билинейной формы в сумму симметрической и кососимметрической. Диагонализация симметрической билинейной форме в характеристике не 2 (и контрпример в случае 2). Симметричный Гаусс. Методя Якоби и алгоритм диагонализации. Квадратичные формы. Поляризационная формула (в характеристике не 2). Изоморфизм между симметричными билинейными формами и квадратичными формами в случае характеристики не 2. Алгоритм Лагранжа. Классификация билинейных форм: (1) над алгебраически замкнутым полем, (2) над полем вещественных чисел. Понятие индексов инерции и их корректность, критерий Сильвестра. Геометрический смысл сигнатуры.
Матрицы
Матрицы и операции над ними. Связь со СЛУ. Невырожденность, специальные виды матриц. Блочные формулы. Полиномиальное исчисление от матриц. Минимальный многочлен и спектр матрицы. Понятие нормы.
Евклидовы пространства
Понятие Евклидова пространства. Ортогональные и ортонормированные базисы. Классификация Евклидовых пространств. Сведение к школьной геометрии. Определение расстояния, углов. Неравенство Коши-Буняковского, Теорема Пифагора. Ортогонализация Грама-Шмидта. Проекции и ортогональные составляющие. Явные формулы ортопроектора в ортонормированном базисе (БАБА, Атата). Расстояния и углы между некоторыми подмножествами. Метод наименьших квадратов. Матрица Грама. Объем k-мерного параллелепипеда и формулы для него. Ориентированный объем, ориентация базисов.
Полуторалинейные формы
Полуторалинейные формы и их матрицы. Эрмитово сопряжение. Сведение полуторалинейных форм к билинейным. Двойственность для подпространств. Квадратичные фомры, комплексная поляризационная формула, изоморфизм между полуторалинейными формами и квадратичными формами. Симметричные полуторалинейные (эрмитовы) формы, их свойства и теорема о классификации. Индексы инерции. Положительная и отрицательная определенность форм. Метод Якоби и критерий Сильвестра. Эрмитово векторное пространство. Длина вектора, неравенство Коши-Буняковского, угол между векторами. Ортонормированные базисы в Эрмитовом пространстве. Обзор геометрических понятий: ортогональные проекции, углы и расстояния, метод наименьших квадратов, матрица Грама и формальный объем.
Аффинная геометрия
Аффинные пространства. Понятие репера, аффинные координаты и формулы замены координат. Положительная декартова система координат. Линейные многообразия. Направляющее пространство, размерность линейного многообразия. Утверждение о линейном многообразии проходящем через k + 1 точку. Параллельные и скрещивающиеся линейные многообразия. Расстояние и угол между многообразиями. Поверхности второго порядка. Векторное произведение в трехмерном евклидовом пространстве. Смешанное произведение, связь с ориентированным объемом, формулы вычисления. Проективное пространство. Однородные координаты, локальные карты и аффинные координаты. Проективные преобразования и их запись в координатах. Пример применения проективных преобразований для реализации z-буффера в 3D движках.

Элементы контроля

Контрольная работа 1
Домашние задания 1
Работа на семинаре 1
Коллоквиум 1
Экзамен 1
Контрольная работа 2
Домашние задания 2
Работа на семинаре 2
Коллоквиум 2
Экзамен 2
Для пилотного потока: Экзамен проводится в письменной форме с прокторингом. Задания выдаются в виде ссылки на yandex disk. Студенты решают на бумаге или оформляют в LaTeX. В конце отправляют на почту фотографии/сканы/набранные решения. Для основного потока: Экзамен проводится в письменной форме.. Продолжительность экзамена -- 2 часа 40 минут (+ возможность добавить времени до 20 минут). Писать нужно на бумаге (которая была чистой до экзамена). Пользоваться можно только устройством с единственной функцией "калькулятор" (можно на компьютере), никакие учебные материалы не разрешаются. Если у студента случился обрыв связи продолжительностью менее пяти минут, он может продолжить написание экзамена (дополнительное время при этом не предоставляется). Если случился обрыв связи продолжительностью дольше 5 минут, то считается, что студент пропустил экзамен. В этом случае ему будет предложено без штрафов сдать экзамен в комбинированном (письменно-устном) формате в течение недели с момента данного экзамена.
Задачи из листков 1
Задачи из листков 2

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
Итоговая оценка за 1-2 модули вычисляется по формуле Oитоговая = min(10; 0,4*Oэкз + 0,22*Oколл + 0,16*Oк/р + 0,16*Oд/з + 0,08*Oсем + 0,08*Oл), где Oэкз — оценка за экзамен, Oколл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oд/з — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.
Промежуточная аттестация (4 модуль)
Итоговая оценка за 3-4 модули вычисляется по формуле Oитоговая = min(10; 0,32*Oэкз + 0,23*Oколл + 0,17*Oк/р + 0,2*Oд/з + 0,1*Oсем + 0,08*Oл), где Oэкз — оценка за экзамен, Oколл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oд/з — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.

Программа дисциплины