Бакалавриат
2020/2021
Алгебра
Статус:
Курс обязательный (Математика)
Направление:
01.03.01. Математика
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
1-й курс, 1-4 модуль
Формат изучения:
без онлайн-курса
Преподаватели:
Америк Екатерина Юрьевна,
Куюмжиян Каринэ Георгиевна,
Левин Андрей Михайлович,
Логинов Константин Валерьевич,
Маркарян Никита Суренович,
Павлов Александр Борисович,
Ровинский Марат Зефирович,
Фейгин Евгений Борисович
Язык:
русский
Кредиты:
11
Контактные часы:
218
Программа дисциплины
Аннотация
Алгебра является языком современной математики. Алгебраические структуры используются в геометрии, анализе, математической физике и других основных направлениях современной математики.В курсе Алгебры мы изучим основные понятия и концепции (кольца, поля, группы), необходимые для любого активно работающего математика.
Цель освоения дисциплины
- Цель изучения дисциплины Алгебра 1 состоит в освоении базовых конструкций теории коммутативных колец, теории полей, линейной алгебры и теории групп. Предполагается, что студент, освоивший дисциплину, сможет уверенно пользоваться теоретическими основами теории и применять их для решения математических задач различного происхождения, использующих алгебраические структуры.
Планируемые результаты обучения
- Освоение алгоритма Евклида, умение находить наибольший общий делитель элементов кольца.
- Умение работать с кольцами вычетов, умение пользоваться фактор конструкциями.
- Знание основных определений и примеров, умение строить конечные поля.
- Освоение базовых определений и конструкций теории групп: подгруппы, нормальные делители, классы смежности, факторгруппы. Умение строить и описывать действия групп на множествах.
- Знание основных понятий и конструкций линейной алгебры: векторные пространства, линейные отображения, двойственные пространства, определители.
- Знакомство с классификация конечнопорожденных абелевых групп. Понимание структуры модулей над евклидовыми кольцами.
- Знание основ теории колец многочленов от нескольких переменных.
- Знание формулировок и доказательств теорем Гильберта о базисе и об инвариантах. Знакомство с основными приложениями.
- Знание основных опеределений и конструкций теории симметрических многочленов. Знакомство с основными приложениями.
Содержание учебной дисциплины
- Алгоритм ЕвклидаАлгоритм Евклида для кольца целых чисел и кольца многочленов
- Кольца вычетовИзучение колец вычетов для целых чисел и для многочленов
- ПоляИзучение основ алгебраической теории конечных и бесконечных полей
- ГруппыОсновы теории групп, включая действия групп на множествах
- Линейная алгебраИзучение основ линейной алгебры
- Модули над евклидовыми кольцами.Классификация конечнопорожденных абелевых групп.
- Многочлены многих переменных.Лемма Гаусса и факториальность.
- Теоремы Гильберта о базисе и об инвариантах.Формулировка и доказательство основополагающих теорем Гильберта.
- Симметрические многочлены и их приложения.Основы теории симметрических многочленов от многих переменных.
