Введение в топологию

Бакалавриат 2020/2021

Статус: Курс обязательный (Математика)

Направление: 01.03.01. Математика

Когда читается: 1-й курс, 2-4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Бурман Юрий Михайлович, Буряк Александр Юрьевич, Бычков Борис Сергеевич, Казарян Максим Эдуардович, Львовский Сергей Михайлович, Пушкарь Петр Евгеньевич, Хорошкин Антон Сергеевич, Эстеров Александр Исаакович, Ященко Иван Валериевич

Язык: русский

Кредиты: 8

Контактные часы: 184

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Программа разработана для 1 курса бакалавриата ОП Математика и ОП Совместный бакалаврита НИУ ВШЭ - ЦПМ; Пререквизиты: к началу курса (2 модуль) необходимо владеть языком «наивной» теории множеств и элементарными понятиями анализа (действительные числа, предел последовательности действительных чисел, непрерывная функция на действительной прямой). К началу февраля желательно знать основные понятия теории групп (группа, гомоморфизм групп, смежные классы, действие группы на множестве). К четвертому модулю требуется знакомство с понятием многогранника (и его граней) в конечномерном векторном пространстве, а также более глубокое знакомство с теорией групп (факторгруппы, свободные группы и свободные произведения групп, задание групп образующими и соотношениями, коммутант и абелизация группы).

Цель освоения дисциплины

Знакомство с основными понятиями и результатами общей топологии и некоторыми разделами алгебраической топологии (фундаментальная группа и теория накрытий).

Планируемые результаты обучения

Умение работать с основными понятиями и результатами общей топологии и некоторыми разделами алгебраической топологии (фундаментальная группа и теория накрытий)

Содержание учебной дисциплины

Знакомство с действующими лицами
Метрические пространства. Примеры. Открытые подмножества метрического пространства. Топологические пространства. Примеры. База и предбаза топологии. Сходимость. Хаусдорфовость. Замыкание, внутренность, граница множества, предельные и изолированные точки. Непрерывные отображения, гомеоморфизмы. Различные характеризации непрерывности (в т.ч. для метрических пространств).
Основные конструкции
Подпространства топологических пространств. Инициальная и финальная топологии. Дизъюнктные объединения. Произведения. Универсальные свойства дизъюнктных объединений и произведений.
Связность
Связные и линейно связные пространства. Их основные свойства. Связность отрезка. Описание связных подмножеств прямой. Связные и линейно связные компоненты.
Компактность
Компактные топологические пространства. Примеры. Компактность замкнутого куба в Rn. Основные свойства компактных пространств. Критерий компактности подмножества в Rn. Теорема Тихонова о компактности произведения. Локально компактные топологические пространства. Примеры и основные свойства. Одноточечная компактификация, ее основные свойства, примеры. Счетная компактность, секвенциальная компактность, их связь с компактностью.
Основные конструкции – 2
Факторпространства топологических пространств, их универсальное свойство. Факторные отображения. Примеры факторпространств. Частные случаи факторизации: стягивание подмножества в точку и склейка по отображению. Примеры. Вещественное проективное пространство, его эквивалентные определения, компактность и хаусдорфовость.
Гомотопии, фундаментальная группа
Гомотопия отображений. Примеры. Согласованность гомотопии с композициями. Гомотопия путей. Произведение путей и их гомотопических классов. Фундаментальная группа. Вычисление фундаментальной группы окружности и n-мерной сферы. Зависимость фундаментальной группы от отмеченной точки. Гомоморфизм фундаментальных групп, индуцированный отображением пространств. Ретракции. Примеры. Несуществование ретракции двумерного диска на его границу. Теорема Брауэра о неподвижной точке (двумерный случай). Фундаментальная группа произведения. Примеры: фундаментальная группа тора и Rn\{0}. Гомотопическая эквивалентность. Деформационные ретракции, строгие деформационные ретракции. Стягиваемые пространства. Примеры. Изоморфизм фундаментальных групп гомотопически эквивалентных пространств. Топологическое доказательство «основной теоремы алгебры». Свободное произведение групп. Теорема Зейферта—ван Кампена. Фундаментальная группа букета окружностей.
Накрытия
Накрытия. Примеры накрытий. Число листов накрытия. Поднятие, условия его существования и единственности. Монодромия. Морфизмы и автоморфизмы накрытий, регулярные накрытия. Универсальное накрытие. Классификация накрытий. Приложения к вычислению фундаментальных групп. Дополнительно: разветвленные накрытия топологических поверхностей, формула Римана-Гурвица.
Основные объекты геометрической топологии: многообразия, полиэдральные комплексы, узлы.
Операция подклейки клетки и ее влияние на фундаментальную группу пространства. Понятие и примеры полиэдральных комплексов, его фундаментальная группа. Топологические поверхности как полиэдральные коплексы. Поняние эйлеровой характеристики. Дополнительно: понятие гомологий полиэдрального комплекса, поняте узлов, зацеплений и их жэквивалентности., группа зацепления.

Элементы контроля

коллоквиум
оценка коллоквиума составляет 20% в общей оценке
экзамен
сдача листков
Контрольная работа
Контрольная работа
Контрольная работа
Контрольная работа
Экзамен

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (3 модуль)
0.2 * коллоквиум + 0.14 * работа на семинарах + 0.36 * сдача листков + 0.3 * экзамен
Промежуточная аттестация (4 модуль)
0.05 * Контрольная работа + 0.05 * Контрольная работа + 0.05 * Контрольная работа + 0.05 * Контрольная работа + 0.7 * Промежуточная аттестация (3 модуль) + 0.1 * Экзамен

Программа дисциплины