Теория вероятностей и математическая статистика

Бакалавриат 2020/2021

Статус: Курс обязательный (Управление бизнесом)

Направление: 38.03.02. Менеджмент

Кто читает: Кафедра высшей математики

Где читается: Высшая школа бизнеса

Когда читается: 1-й курс, 3 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Панов Петр Алексеевич, Симонова Галина Ивановна

Язык: русский

Кредиты: 4

Контактные часы: 40

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Изучение дисциплины базируется на следующих дисциплинах: школьном курсе математики (включая раздел Теории Вероятностей) и курсе Высшей Математики, изучаемом на первом курсе. Для полноценного освоения дисциплины надо знать и понимать и уметь пользоваться: Из школы - базовыми формулами комбинаторики (перестановки, размещения, сочетания, свойства биномиальных коэффициентов); знать простейшие операции над событиями; уметь вычислять вероятность в простейших задачах, понимать математический смыл выражений "не более", "менее", "как минимум" и тд. Из курса ВМ (1 курс): пределы, ряды – в простейшем виде; производные и поиск экстремума, в том числе функции нескольких переменных; интегралы – смысл и основные методы интегрирования.

Цель освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» являются: - овладение основными знаниями по теории вероятностей и математической статистике, что формирует у студентов высокую математическую культуру, включающую указанную область математики; - формирование у студентов специальных профессиональных знаний и вероятностно-статистического мышления, необходимых для успешной исследовательской, аналитической и прикладной работы в современных областях социально-экономического и управленческого анализа; - ясное понимание того, как знания, полученные в ходе изучения дисциплины, применяются в конкретных прикладных задачах.

Планируемые результаты обучения

Настоящая дисциплина относится к циклу Математических и естественнонаучных дисциплин, базовая часть, обеспечивающих подготовку бакалавров. Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин: Бизнес-планирование, Введение в машинное обучение на языке Python, Введение в стратегический маркетинг, Введение в технологию маркетинговых исследований, Игровые модели принятия решений

Содержание учебной дисциплины

История развития и основные понятия теории вероятностей
Интуитивные предпосылки теории вероятностей. Предмет теории вероятностей. Краткие исторические сведения. Теория вероятностей в научных исследованиях и в решении практических задач. Случайный эксперимент и его описание. Элементарные исходы (события) случайного эксперимента (вероятностное пространство). Случайное событие как подпространство элементарных исходов. Равновозможные элементарные исходы. Благоприятствующие элементарные исходы. Формирование подпространства элементарных исходов в разных задачах. Классификация случайных событий: достоверное, невозможное события; событие, противоположное данному событию; совместное и несовместное события. Действия над событиями. Алгебра событий. Диаграммы Эйлера-Венна. Свойства операций сложения и умножения. Примеры формирования сложных событий на основе исходных простых событий.
Вероятности случайных событий. Основные теоремы теории вероятностей
Численная мера возможности наступления случайного события. Классический и статистический подходы к определению вероятности события. Геометрическая вероятность. Формула для вычисления геометрической вероятности. Ограничения, присущие этой формуле. Элементы комбинаторики. Перестановки. Размещения. Сочетания. Свойства биномиальных коэффициентов. Использование методов комбинаторики для вычисления вероятностей событий Урновая модель (гипергеометрическое распределение). Обобщение урновой модели. Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей. Зависимые и независимые события. Условная вероятность. Вычисление вероятностей сложных событий на основе теорем сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса (теорема гипотез).
Испытания Бернулли. Формула Бернулли
Повторные независимые испытания (схема Бернулли). Успех и неудача. Число успехов в испытаниях Бернулли. Формула вычисления вероятности возникновения конкретного числа успехов в серии испытаний заданной длины (формула Бернулли). Частные случаи формулы. Наивероятнейшее число успехов.
Случайные величины и их числовые характеристики. Применение числовых характеристик в социально-экономических исследованиях.
Детализация математической модели случайного явления и концепция случайной величины. Случайная величина как функция от элементарных исходов эксперимента, определенная на вероятностном пространстве. Дискретная и непрерывная случайные величины. Ряд распределения и функция распределения случайной величины. Свойства функции распределения случайной величины. Плотность вероятности (плотность распределения). Свойства плотности вероятности. Числовые характеристики случайных величин – математическое ожидание, дисперсия, стандартное отклонение; их смысловая нагрузка, свойства, вычисление этих величин на основе статистических данных. Экономический смысл математического ожидания и стандартного отклонения. Другие числовые характеристики случайных величин (квантили, мода, медиана). Решение социально-экономических задач на основе изученного материала.
Наиболее часто используемые законы распределения дискретных и непрерывных случайных величин. Применение этих законов для решения реальных задач экономического и социологического характера.
Случайные величины, подчиняющиеся законам распределения Бернулли и Пуассона. Вычисление математического ожидания и стандартного отклонения для указанных законов. Случайные величины, подчиняющиеся равномерному, показательному распределениям. Вычисление математического ожидания и стандартного отклонения для перечисленных законов. Поток событий. Простейший (стационарный пуассоновский) поток событий. Связь показательного закона распределения и закона распределения Пуассона. Характеристическое свойство показательного закона распределения (свойство отсутствия памяти). Нормальный закон распределения. Математическое ожидание и стандартное отклонение  для нормального закона. График плотности. Стандартное нормальное распределение. Вычисление вероятности попадания нормальной случайной величины в заданный интервал. Функция Лапласа (интеграл вероятностей); ее свойства. Применение таблиц функции Лапласа для вычисления вероятности попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Правило трех  . Композиция законов распределения. Свойство устойчивости некоторых законов распределения. Устойчивость нормального закона распределения. Применение введенных ранее законов распределения случайных величин для вычисления вероятностей событий в задачах экономической и социологической проблематики. Некоторые другие случайные величины как математические модели случайных явлений.
Предельные теоремы теории вероятностей.
Неравенство Маркова (лемма Чебышева). Неравенство Чебышева. Смысл закона больших чисел. Доказательство закона больших чисел в форме Чебышева. Его обобщение на случай зависимых случайных величин. Следствия закона больших чисел: теоремы Бернулли и Пуассона. Формулировка и содержание центральной предельной теоремы. Интегральная теорема Муавра-Лапласа как следствие центральной предельной теоремы. Применение закона больших чисел и центральной предельной теоремы в прикладных задачах: контроль качества продукции, задачи массового обслуживания, задачи страхования, маркетинговые исследования.
Основы выборочного метода.
Задачи математической и прикладной статистики. Генеральная совокупность. Случайная выборка. Повторные и бесповторные выборки. Репрезентативность выборки. Вариационный ряд. Эмпирическая функция распределения. Графическое изображение вариационного ряда: полигон, гистограмма, кумулята. Характеристики центральной тенденции (среднее арифметическое, мода, медиана, среднее геометрическое). Показатели вариации ряда (размах, выборочная дисперсия, выборочное стандартное отклонение, коэффициент вариации). Закон корня квадратного для стандартной ошибки среднего.
Точечные и интервальные оценки параметров генеральной совокупности.
Точечные оценки параметров генеральной совокупности. Требования, предъявляемые к точечным оценкам (несмещенность, эффективность, состоятельность, устойчивость). Метод наибольшего правдоподобия, метод наименьших квадратов и метод моментов как методы получения точечных оценок параметров генеральной совокупности. Наилучшие оценки математического ожидания, дисперсии, генеральной доли. Понятие интервального оценивания параметров генеральной совокупности. Доверительная вероятность и предельная ошибка выборки (точность оценки). Идея построения доверительного интервала. Построение доверительных интервалов для математического ожидания, стандартного отклонения, вероятности биномиального закона распределения. Интервальные оценки параметров нормально распределенной генеральной совокупности: среднего (при известной и неизвестной дисперсии), стандартного отклонения, вероятности биномиального закона распределения или доли признака. Объем выборки, обеспечивающий заданную предельную ошибку выборки.
Проверка некоторых статистических гипотез.
Статистическая гипотеза. Основная (нулевая) и альтернативная (конкурирующая) гипотезы, параметрические и непараметрические гипотезы, простые и сложные гипотезы. Критерий. Ошибки первого и второго рода. Критическая область и область принятия гипотезы. Уровень доверия и уровень значимости. Двусторонние, правосторонние, левосторонние критические области. Процедура проверки параметрической гипотезы. Проверка некоторых гипотез для нормально распределенных генеральных совокупностей: о числовом значении генерального среднего; о числовом значении генеральной доли (или о вероятности биномиального закона распределения), о равенстве генеральных средних, о равенстве генеральных долей. Проверка непараметрических гипотез.

Элементы контроля

Т. У.
Контрольная работа
Экзамен
Форма экзамена:
Экзамен проводится в живом формате, в аудитории, в письменной форме (решение контрольной работы на 2 часа).
Во время экзамена нельзя выходить из аудитории, пользоваться смартфонами, наушниками, иными гаджетами.
Во время экзамена можно пользоваться собственноручно записанным от руки листом А4 с любыми нужными формулами. Никакими другими вспомогательными материалами пользоваться нельзя.
Во время экзамена можно пользоваться калькулятором (в виде отдельного устройства).

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (3 модуль)
0.2* контрольная работа + Т.У. + 0.5*экзаменационная работа.

Программа дисциплины