Бакалавриат
2020/2021
Математический анализ 2
Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»
Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус:
Курс по выбору (Экономика)
Направление:
38.03.01. Экономика
Кто читает:
Департамент математики
Где читается:
Факультет экономических наук
Когда читается:
1-й курс, 3 модуль
Формат изучения:
без онлайн-курса
Язык:
русский
Кредиты:
3
Контактные часы:
56
Программа дисциплины
Аннотация
Учебная дисциплина «Математический анализ-2» требует предварительного изучения курсов «Математический анализ-1» и «Линейная алгебра». В ней изучаются необходимые условия Куна — Таккера в задачах со смешанными ограничениями. Достаточные условия Куна — Таккера для выпуклых функций. Свойства многозначных (точечно-множественных) отображений, теорема Берже о максимумах, теоремы о неподвижной точке. Отдельные разделы посвящены свойствам некоторых функций комплексного переменного и исследованию устойчивости решений обыкновенных дифференциальных и разностных уравнений. Основные положения дисциплины «Математический анализ-2» используются при изучении некоторых разделов экономической теории, теории вероятностей и математической статистики, эконометрики, дифференциальных и разностных уравнений.
Цель освоения дисциплины
- Подготовить слушателей к чтению современных текстов по экономической теории, использующих модели и методы многомерного математического анализа.
- Продемонстрировать возможность применения в задачах многомерного математического анализа и его экономических приложениях многозначных (точечно-множественных) отображений.
- Распространить метод множителей Лагранжа на экстремальные задачи со смешанными ограничениями.
- Продемонстрировать возможность исследования зависимости экстремумов от параметров.
- Познакомить слушателей с классической теоремой Брауэра о неподвижной точке и некоторыми её обобщениями.
- Научить слушателей использовать комплексные числа и простейшие функции одного комплексного переменного для исследования устойчивости эволюционных процессов.
- Обеспечить запросы некоторых экономических дисциплин по тематике данного курса.
Планируемые результаты обучения
- Студенты должны изучить обобщение метода множителей Лагранжа на задачи со смешанными ограничениями.
- Студенты должны уметь использовать различные методы исследования многозначных (точечно-множественных) отображений. Знать секвенциальный критерий непрерывности компактозначных отображений.
- Студенты должны знать теорему Берже о максимумах
- Студенты должны знать теоремы о неподвижной точке Брауэра, Шаудера-Тихонова, Какутани.
- Студенты должны получить первоначальные сведения из математического анализа функций одного комплексного переменного, необходимые для исследования обыкновенных дифференциальных уравнений и разностных уравнений.
- Студенты должны знать достаточные условия существования решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Уметь исследовать устойчивость решений таких и разностных уравнений.
- Студенты должны знать методы решения линейных разностных уравнений c постоянными коэффициентами и исследовать устойчивость положения равновесия разностного уравнения.
- Студенты должны быть знакомы с примерами применения разностных уравнений в экономике: рост процентного вклада с регулярными взносами, величина долга по займу с регулярными выплатами, паутинообразная модель рынка, модель делового цикла (Самуэльсона – Хикса).
Содержание учебной дисциплины
- Раздел 1. Теорема Куна-ТакераНеобходимые условия Куна — Таккера в задачах со смешанными ограничениями. Условия дополняющей нежесткости. Достаточные условия Куна — Таккера для выпуклых функций. Условие регулярности Слейтера.
- Раздел 2. Многозначные (точечно-множественные) отображенияПолунепрерывность сверху или снизу, непрерывность, замкнутость многозначных отображений. Секвенциальный критерий непрерывности компактозначных отображений. График многозначных отображений. Операции над отображениями: декартово произведение, композиция, продолжение. Отношение предпочтения потребителя как пример многозначного отображения. Представление непрерывного предпочтения с помощью непрерывной функции полезности.
- Раздел 3. Теорема Берже о максимумахТеорема Берже о максимумах. Непрерывность косвенной функции полезности. Непрерывность зависимости экстремумов в теореме Куна-Таккера от параметров.
- Раздел 4. Теоремы о неподвижной точкеТеоремы о неподвижной точке Брауэра, Шаудера-Тихонова, Какутани
- Раздел 5. Комплексные числаОсновные операции над комплексными числами. Свойства некоторых функций комплексного переменного.
- Раздел 6. Обыкновенные дифференциальные уравненияФазовые и интегральные кривые. Теоремы о существовании, единственности и дифференцируемой зависимости решений от начальных данных. Уравнения n-го порядка. Первые интегралы. Автономные уравнения. Примеры дифференциальных уравнений. Уравнения нормального размножения и радиоактивного распада. Уравнение взрыва. Уравнение размножения с учетом конкуренции. Логистическая кривая. Квоты отлова. Отлов с относительной квотой. Модель Лотка-Вольтерра системы хищник-жертва. Свободная частица на прямой. Свободное падение. Математический маятник. Уравнение малых колебаний. Перевернутый маятник. Простейшие экономико-математические модели, приводящие к дифференциальным уравнениям. Динамическая модель рынка. Модель Солоу замкнутой односекторной экономики. Некоторые классы дифференциальных уравнений. Уравнения первого порядка в одномерным пространстве. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли. Уравнения первого порядка в многомерным пространстве (системы уравнений первого порядка). Линейные уравнения. Структура множества решений. Фундаментальная система решений. Линейная зависимость решений от начальных значений. Методы решения линейных дифференциальных уравнений c постоянными коэффициентами Устойчивость и асимптотическая устойчивость решений дифференциальных уравнений. Критерий устойчивости решений линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Достаточные условия устойчивости решений систем линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Классификация положений равновесия для линейных уравнений $$\dot x=Ax$$ на плоскости: устойчивые и неустойчивые узлы и фокусы, седло, центр. Исследование устойчивости решений дифференциальных уравнений при помощи матрицы Якоби (по первому приближению).
- Раздел 7. Разностные (рекуррентные) уравненияПримеры разностных уравнений. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия. Последовательность частных сумм числового ряда. Рост процентного вклада с регулярными взносами. Величина долга по займу с регулярными выплатами. Числа Фибоначчи. Паутинообразная модель рынка. Модель делового цикла (Самуэльсона – Хикса). Методы решения линейных разностных уравнений c постоянными коэффициентами. Устойчивость положения равновесия разностного уравнения.
Элементы контроля
- Письменная контрольная работа 160 минутРабота проводится дистанционно с использованием асинхронного прокторинга Центра прокторинга НИУ ВШЭ. При возникновении у преподавателя сомнений в самостоятельности выполнения студентом экзаменационной работы перед выставлением оценки может быть проведено устное собеседование.
- Письменный экзамен 180 минутРабота проводится дистанционно с использованием асинхронного прокторинга Центра прокторинга Дирекции по онлайн обучению НИУ ВШЭ. При возникновении у преподавателя сомнений в самостоятельности выполнения студентом экзаменационной работы перед выставлением оценки может быть проведено устное собеседование.
Промежуточная аттестация
- Промежуточная аттестация (3 модуль)Экзаменационная работа состоит из 8 заданий. Полное правильное решение каждого задания оценивается в 5/4=1,25 условных единиц. В случае неполного решения оценка может дробиться. Полученная студентом на экзамене сумма условных единиц находится в одном из промежутков вида [а,Ь) с границами 0,1.5, 3,4.5, 5.5, 6.5, 7.5, 8.5, 9, 9.5,10,5. Номер промежутка (числа от 0 до 10) является итоговой оценкой. По итогам контрольной работы за некоторые из первых заданий экзамена заранее ставится 1,25 условных единиц (до четырех задач в зависимости от оценки за эту работу). Последние четыре задачи экзамена должны выполнять все.
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Fuente, A. de la. (2000). Mathematical Methods and Models for Economists. Cambridge University Press. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsrep&AN=edsrep.b.cup.cbooks.9780521585293
- Бурмистрова Е. Б., Лобанов С. Г. - ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебник и практикум для академического бакалавриата - М.:Издательство Юрайт - 2019 - 421с. - ISBN: 978-5-9916-3588-2 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/lineynaya-algebra-425852
Рекомендуемая дополнительная литература
- Соколов А.В., Токарев В.В. - Методы оптимальных решений. В 2 т. Т.1. Общие положения. Математическое программирование - Издательство "Физматлит" - 2012 - 264с. - ISBN: 978-5-9221-1399-1 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/59652