Бакалавриат
2020/2021![Цель освоения дисциплины](/f/src/global/i/edu/objectives.svg)
![Планируемые результаты обучения](/f/src/global/i/edu/results.svg)
![Содержание учебной дисциплины](/f/src/global/i/edu/sections.svg)
![Элементы контроля](/f/src/global/i/edu/controls.svg)
![Промежуточная аттестация](/f/src/global/i/edu/intermediate_certification.svg)
![Список литературы](/f/src/global/i/edu/library.svg)
Линейная алгебра (углубленный курс)
Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус:
Курс обязательный (Экономика)
Направление:
38.03.01. Экономика
Кто читает:
Департамент математики
Где читается:
Факультет экономических наук
Когда читается:
1-й курс, 1, 2 модуль
Формат изучения:
без онлайн-курса
Преподаватели:
Бурмистрова Елена Борисовна
Язык:
русский
Кредиты:
5
Контактные часы:
60
Программа дисциплины
Аннотация
Учебная дисциплина «Линейная алгебра» не требует какой бы то ни было предварительной математической подготовки сверх обычной программы средней школы. Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин: 1. Математический анализ 2. Микроэкономика 3. Макроэкономика 4. Теория вероятностей и математическая статистика 5. Эконометрика 6. Дифференциальные и разностные уравнения 7. Методы оптимальных решений В результате изучения дисциплины студент должен знать: точные формулировки основных понятий, уметь интерпретировать их на простых модельных примерах; в том числе, свободно использовать координатный, векторный, матричный или операторный способ записи математических соотношений; общие теоремы о структуре множества решений систем линейных, уметь применять специальные методы построения таких решений; свойства основных числовых характеристик матриц: определитель, ранг, размерность пространства строк и столбцов.
Цель освоения дисциплины
- Добиться усвоения студентами теоретических основ, базовых результатов и теорем аналитической геометрии и линейной алгебры, а также основных математических приемов и правил формального анализа и решения различных математических задач на основе полученных теоретических знаний.
- Подготовить слушателей к чтению современных текстов по экономической теории, насыщенных векторными, матричными и операторными обозначениями
- Обеспечить запросы других разделов математики, использующих возникающие в линейной алгебре конструкции
- Научить слушателей давать геометрическую интерпретацию многомерным объектам и строить аналитическое описание геометрическим соотношениям
- Продемонстрировать возможность бескоординатного описания линейных и квадратичных функций, подготавливая переход к изучению функционального анализа
- Выработать у слушателей навыки решения типовых задач, способствующих усвоению основных понятий, а также задач, способствующих развитию начальных навыков научного исследования
- Развить умение логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и быть корректным в употреблении математических понятий и символов для выражения количественных и качественных отношений
Планируемые результаты обучения
- Студенты должны уметь применять элементарные преобразования матриц для приведения матриц к ступенчатому виду. Описывать общее решение системы линейных уравнений, давать геометрическую интерпретацию таким системам и множеству их решений
- Студенты должны уметь вычислять определитель разложением по строке или столбцу с учетом упрощения матрицы определителя с помощью элементарных преобразований. Знать приложение определителей для построения по координатам двух точек уравнения прямой, по координатам трех точек уравнения уравнения плоскости.
- Студенты должны уметь проверять является ли заданное множество с двумя операциями линейным пространством, исследовать линейную зависимость систем элементов линейного пространства.
- Студенты должны уметь находить размерность и базис конечномерного пространства, координаты вектора относительно заданного базиса.
- Студенты должны знать о сходстве и различии свойств арифметических операций над числами и матрицами. Уметь записывать системы линейных уравнений в матричной форме. Знать критерий существования обратной матрицы, методы вычисления обратных матриц через матрицу алгебраических дополнений и с помощью элементарных преобразований. Уметь записывать матрицы перехода
- Студенты должны знать различные определения ранга матрицы и теорему о равенстве всех таких числовых характеристик матриц. Уметь вычислять ранг матриц непосредственно через миноры матрицы и с помощью элементарных преобразований. Знать критерий линейной независимости системы строк (столбцов). Свойства ранга и определителя произведения матриц
- Студенты должны уметь записывать системы линейных уравнений и описывать множества их решений в векторной форме. Применять ранг матриц системы и расширенной матрицы системы для исследования совместности системы и вычисления размерности пространства решений соответствующей однородной системы. Уметь выделять подходящий ненулевой минор в матрице системы для разделения неизвестных на главные и свободные
- Студенты должны знать определение линейного оператора, уметь записывать матрицу линейного оператора в конечномерном пространстве, применять преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса
- Студенты должны знать определение собственные векторов и собственных значений линейного оператора, уметь вычислять их с помощью характеристического многочлена линейного оператора. Приводить матрицы линейного оператора к диагональному виду
- Студенты должны знать о взаимно однозначном соответствии симметричных билинейных форм и квадратичных форм, владеть навыком проверки знакоопределенности квадратичных форм с помощью главных миноров её матрицы. Знать закон инерции для квадратичных форм
- Студенты должны освоить линейные элементы аналитической геометрии: свойства уравнений прямых (на плоскости и в пространстве) и уравнений плоскостей. Понимать как эти свойства связаны со свойствами векторов в соответствующих векторных пространствах. Уметь применять критерии параллельности и перпендикулярности прямых или плоскостей
- Студенты должны уметь вычислять угол между элементами евклидовых пространств. Вычислять ортогональную проекцию вектора на подпространство, строить ортонормированный базис ортогонализацией произвольного базиса. Знать свойства матрицы скалярного произведения в ортонормированном базисе и матрицы перехода от одного ортонормированного базиса к другому. Уметь интерпретировать метод наименьших квадратов как построение ортогональной проекции.
- Студенты должны знать свойства самосопряженных операторов в евклидовом пространстве, их матриц, собственных векторов и собственных значений. Уметь представлять квадратичные формы в виде скалярного произведения $$\langle \varphi(x), x \rangle$$ с соответствующим самосопряженным оператором. Владеть навыком построения ортонормированного базиса, относительно которого квадратичная форма имеет канонический вид
- Студент должен понять связь элементов точечного пространства с элементами соответствующего векторного пространства. Связь и различие понятий базиса векторного пространства и системы координат аффинного пространства. Уметь записывать уравнения линейных отображений, знать геометрические свойства таких отображений. Проверять свойства аффинности и изометричности отображения. Понимать свойства проекций на плоскость объектов трехмерного пространства
Содержание учебной дисциплины
- Преобразования матриц и системы линейных уравненийМатрицы. Матрица и расширенная матрица системы линейных уравнений. Элементарные преобразования матриц. Обратимость элементарных преобразований. Приведение матриц к ступенчатому виду элементарными преобразованиями. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений со ступенчатой матрицей системы. Общее решение систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Геометрическая интерпретация систем линейных уравнений в случае двух или трех неизвестных. Ненулевые решения однородной системы уравнений.
- ОпределительОпределитель и элементарные преобразования. Построение определителя разложением по столбцу. Определитель транспонированной матрицы. Вычисление определителя разложением по строке.
- Ранг матрицыРанг матрицы. Ранг ступенчатой матрицы. Неизменность ранга при элементарных преобразованиях. Теорема о ранге матрицы. Критерий линейной независимости системы строк (столбцов). Ранг произведения матриц. Определитель произведения матриц.
- Линейные операторыМатрица линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. Характеристический многочлен линейного оператора. О корнях характеристического многочлена линейного оператора. Свойства собственных векторов с одинаковыми и различными собственными значениями.
- Линейные пространстваПростейшие следствия аксиом линейного пространства. Подпространство линейного пространства. Простейшие свойства линейно зависимых векторов. Базис и координаты векторов. Существование базиса конечномерного пространства. Размерность линейного пространства.
- Алгебра матрицСумма матриц. Умножение матрицы на число. Произведение матриц. Матричная запись системы уравнений. Свойства арифметических операций над матрицами. Обратная матрица и формулы Крамера. Построение обратной матрицы элементарными преобразованиями. Преобразование координат при замене базиса.
- Структура множества решений системы линейных уравненийВекторная запись системы уравнений. Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы линейных уравнений. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений. Структура множества решений системы линейных уравнений. Теорема о выборе главных и свободных неизвестных.
- Линейные, билинейные и квадратичные формыФормула линейного функционала. Матрица билинейной формы. Матрица симметричной билинейной формы. Преобразование матрицы билинейной формы при замене базиса. Единственность симметричной билинейной формы, порождающей квадратичную форму. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Закон инерции для квадратичных форм.
- Элементы аналитической геометрииПрямоугольная система координат на плоскости. Расстояние между точками. Деление отрезка в данном отношении. Векторы. Равенство векторов. Координаты вектора. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Разложение вектора плоскости по двум неколлинеарным векторам. Скалярное произведение векторов. Общее уравнение прямой на плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Параметрическое и каноническое уравнения прямой. Расстояние от точки до прямой. Преобразование координат точки при замене системы координат. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов. Общее уравнение плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей. Уравнение прямой в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости, двух прямых.
- Евклидовы пространстваСкалярное произведение. Неравенство Коши-Буняковского. Неравенство треугольника. Длина вектора и угол между векторами. Ортогональность векторов. Независимость попарно ортогональных векторов. Ортогональная проекция вектора на подпространство. Построение ортонормированного базиса ортогонализацией произвольного базиса. Матрица скалярного произведения в ортонормированном базисе. Ортогональные матрицы. Геометрическая интерпретация ортогональных матриц.
- Самосопряженные операторыСопряженность операторов в евклидовом пространстве. Матрицы сопряженных операторов. Собственные векторы и собственные значения самосопряженных операторов. Ортонормированный базис из собственных векторов самосопряженного оператора. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
- Аффинные пространстваПреобразование координат точки при замене системы координат. Линейные отображения. Линейные операторы, связанные с линейными отображениями. Геометрические свойства линейных отображений. Аффинные и изометрические отображения.
Элементы контроля
- Домашнее задание №1Отчет о решении задач из домашнего задания присылается студентами преподавателю по электронной почте.
- Домашнее задание №2Отчет о решении задач из домашнего задания присылается студентами преподавателю по электронной почте.
- Письменная контрольная работа 160 минутРабота проводится дистанционно с использованием асинхронного прокторинга Центра прокторинга Дирекции по онлайн обучению НИУ ВШЭ
- Письменная контрольная работа 80 минутРабота проводится дистанционно с использованием асинхронного прокторинга Центра прокторинга Дирекции по онлайн обучению НИУ ВШЭ
- Письменный экзамен 160 минут в конце второго модуляПри возникновении у преподавателя сомнений в самостоятельности выполнения студентом экзаменационной работы перед выставлением оценки может быть проведено устное собеседование. Работа проводится дистанционно с использованием асинхронного прокторинга Центра прокторинга Дирекции по онлайн обучению НИУ ВШЭ
Промежуточная аттестация
- Промежуточная аттестация (2 модуль)Итоговая десятибалльная оценка вычисляется как сумма оценок за контрольные и домашние работы, умноженных на 0,1 , и экзаменационной оценки, умноженной на 0,6. Обычные правила округления: число N переводится в целую часть числа N+0,5 (цифры после запятой отбрасываются)
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Линейная алгебра : учебник и практикум для бакалавров, Бурмистрова, Е. Б., 2014
- Линейная алгебра, дифференциальное исчисление функций одной переменной : учебник для вузов, Бурмистрова, Е. Б., 2010
- Сборник задач по математике для ВТУЗов: в 4 ч.. Ч.1: Линейная алгебра и основы математического анализа, Болгов, В. А., 1993
Рекомендуемая дополнительная литература
- Линейная алгебра и аналитическая геометрия : учебник для вузов, Ильин, В. А., 2012