Математический анализ 1 (углублённый курс)

Бакалавриат 2020/2021

Статус: Курс обязательный (Экономика)

Направление: 38.03.01. Экономика

Кто читает: Департамент математики

Где читается: Факультет экономических наук

Когда читается: 1-й курс, 1, 2 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Бурмистрова Елена Борисовна, Лобанов Сергей Григорьевич

Язык: русский

Кредиты: 8

Контактные часы: 110

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Учебная дисциплина «Математический анализ-1» не требует какой бы то ни было предварительной математической подготовки сверх обычной программы средней школы; начиная со второго модуля требуются многочисленные сведения из курса «Линейная алгебра». В ней последовательно изучаются основы дифференциального исчисления функций одной и нескольких переменных. В частности, рассматриваются методы решения задач о безусловных и условных экстремумах, методы исследования выпуклости или вогнутости функций многих переменных, теорема о неявной функции для векторных систем уравнений, теорема об огибающей. Основные положения дисциплины «Математический анализ-1» используются при изучении следующих дисциплин: «Математический анализ-2», «Математика для экономистов», «Микроэкономика», «Макроэкономика», «Теория вероятностей и математическая статистика», «Эконометрика», «Дифференциальные и разностные уравнения».

Цель освоения дисциплины

Добиться усвоения студентами теоретических основ, базовых результатов и теорем математического анализа, а также основных математических приемов и правил формального анализа и решения различных математических задач на основе полученных теоретических знаний.
Подготовить слушателей к чтению современных текстов по экономической теории, использующих модели и методы многомерного математического анализа
Обеспечить запросы других разделов математики, использующих возникающие в математическом анализе конструкции
Научить слушателей давать оценку предельного поведения различных функций
Продемонстрировать возможность исследования зависимости экстремумов от параметров
Выработать у слушателей навыки решения типовых задач, способствующих усвоению основных понятий, а также задач, способствующих развитию начальных навыков научного исследования
Развить умение логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и быть корректным в употреблении математических понятий и символов для выражения количественных и качественных отношений

Планируемые результаты обучения

Студенты должны получить сведения для продолжения изучения математического анализа. Обозначения для различных числовых множеств. Понятие отображения множеств, образа и прообраза множества при заданном отображении. И еще многие обозначения и понятия, упомянутые в описании раздела.
Студенты должны изучить базовое понятие математического анализа - предел функции по данной базе. Знать основные разновидности баз, общие свойства пределов по базе и многое другое, упомянутое в описании раздела.
Студенты должны знать определение непрерывности функции в данной точке, локальные свойства непрерывных функций (ограниченность, сохранение знака), свойства непрерывных на отрезке функций (теорема Вейерштрасса). Знать о непрерывности результатов арифметических операций и операции образования композиции, примененных к непрерывным функциям, знать о непрерывности элементарных функций. Уметь применять метод интервалов для решения произвольных неравенств.
Студенты должны уметь строить графики функций с учетом исследования промежутков возрастания или убывания и промежутков выпуклости или вогнутости функций. Искать локальные экстремумы и точки перегиба функций. Применять правило Лопиталя и формулу Тейлора для вычисления пределов. Оценивать точность приближения с помощью Формулы Тейлора с остатком в форме Лагранжа.
Студенты должны уметь использовать векторный и координатный способы записи векторных функций. Знать возможности изображение графика, понятия линии и поверхности уровня числовых функций векторного аргумента. Знать связь предела векторной функции с пределами числовых компонентов данной функции. Уметь применять полярные координаты для вычисления пределов функций двух переменных.
Студенты должны знать различные критерии компактности множеств в конечномерных пространствах и свойства непрерывных на компакте функций. Знать о компактности образа компактного множества и об аналоге теоремы Вейерштрасса для линейно связных компактах, о замкнутости прообраза замкнутого и открытости прообраза открытого множества при непрерывном отображении, о равномерной непрерывности непрерывных на компакте функций.
Знать связь производной и производной по направлению. Уметь применять производные и дифференциалы высших порядков в различным формах записи формулы Тейлора. Уметь искать безусловные и условные экстремумы функций многих переменных. Уметь применять теорему о неявной функции к векторным уравнениям. Знать теоремы об огибающей для безусловных и условных экстремумов. Уметь использовать различные критерии выпуклости или вогнутости функций.
Студенты должны знать приложения теоремы об огибающей для экономической интерпретации множителей Лагранжа для некоторых задач экономической теории (теневые цены (shadow price), тождество Роя, лемма Шепарда и другие свойства спроса по Хиксу).

Содержание учебной дисциплины

Раздел 1. Пределы числовых функций
Некоторые общематематические понятия и обозначения. Множества $$\mathbb{N}$$, $$\mathbb{Z}$$ , $$\mathbb{R}$$, $$\mathbb{Q}$$ всех натуральных чисел, всех целых чисел, всех вещественных (действительных) чисел, всех рациональных чисел. Числовая прямая, координаты точек числовой прямой. Отрезки, интервалы, полупрямые и другие промежутки числовой прямой. Длина отрезка числовой прямой с известными координатами крайних точек. Декартово произведение множеств. Множество $$\mathbb{R}^{n} $$, сложение строк и умножение строк на вещественные числа. Норма элемента $$x\in \mathbb{R}^{n} $$. Геометрическая интерпретация нормы. Декартовы координаты точек плоскости и пространства. Расстояние между элементами $$\mathbb{R}^{n} $$ как норма их разности. Окрестность $$V_{\delta } (x_{0} )=\{ x\in \mathbb{R}^{n} :|x-x_{0} |<\delta \} $$ точки $$x_{0} \in \mathbb{R}^{n} $$ заданного радиуса $$\delta >0$$ для всех $$n\in \mathbb{N}$$ как множество всех точек, удаленных от данной точки $$x_{0} $$ менее, чем на расстояние $$\delta $$. Внутренние и граничные точки множеств $$X\subset \mathbb{R}^{n} $$. Ограниченные, открытые, замкнутые множества. Граница множества. Проколотая окрестность точки $$x_{0} \in \mathbb{R}^{n} $$. Окрестность бесконечности в $$\mathbb{R}^{n} $$, окрестности $$-\infty $$ и $$+\infty $$ в случае $$n=1$$. Отображения множеств (функции). Композиция отображений. Последовательности как функции на множестве всех натуральных чисел. Сложение и умножение функций с числовыми значениями, умножение их на вещественные числа. Возрастающие, убывающие, не убывающие, не возрастающие на данном промежутке числовой прямой функции. Четные, нечетные, периодические функции. Способы задания отображений. С помощью арифметического выражения (явный аналитический способ). С помощью уравнения (неявный аналитический способ). С помощью словесного описания. С помощью таблицы. С помощью рекуррентного соотношения.Образы и прообразы множеств при отображениях. Сюръекция, инъекция, биекция. Равномощные множества. Счетные множества. Континуум. Бесконечные множества. Бесконечность счетных множеств. Счетность бесконечных подмножеств счетных множеств, объединений счетных семейств счетных множеств, декартовых произведений счетных множеств, множества всех рациональных чисел. Несчетность континума. Континуальность промежутков числовой прямой и всех пространств $$\mathbb{R}^{n} $$. Теорема Кантора-Бернштейна (без доказательства). Мощность множества всех подмножеств некоторого множества. Континуум-гипотеза. Элементы логики. Высказывания. Отрицание высказывания. Коньюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция двух высказываний. Необходимые или достаточные условия. Предикаты на множестве $$X$$. Подмножество $$X$$, состоящее в точности из тех элементов $$x\in X$$, для которых выполняется данное условие $$P(x)$$ (обозначение $$\{ x\in X:P(x)\} $$). Правила построения отрицания для предложений, содержащих символы $$\forall $$ и $$\exists $$. \[\overline{\forall x\in X\; P(x)}\Leftrightarrow \exists x_{0} \in X\; \overline{P(x_{0} )}\] \[\overline{\exists x_{0} \in X\; P(x_{0} )}\Leftrightarrow \forall x\in X\; \overline{P(x)}\]\[\overline{\forall x\in X\; P(x)}\Leftrightarrow \exists x_{0} \in X\; \overline{P(x_{0} )}\] \[\overline{\exists x_{0} \in X\; P(x_{0} )}\Leftrightarrow \forall x\in X\; \overline{P(x)}\]
Раздел 1. Пределы числовых функций (окончание)
Базы множеств. Примеры баз $$x\to x_{0} $$, $$x\to \infty $$ в пространстве $$\mathbb{R}^{n} $$, $$x\to +\infty $$, $$x\to -\infty $$, $$x\to x_{0} +$$, $$x\to x_{0} -$$ в случае пространства $$\mathbb{R}^{1} $$, $$n\to \infty $$ на множестве всех натуральных чисел. Финальная ограниченность, финальная положительность и другие свойства функций, выполняющиеся финально по данной базе. Пределы числовых функций по данной базе. Общее определение и его интерпретация для часто встречающихся баз множеств. Бесконечно малые и бесконечно большие функция по данной базе. Условные обозначения $$\mathop{\lim }\limits_{\mathcal{B}} \alpha (x)=\infty $$, $$\mathop{\lim }\limits_{\mathcal{B}} \alpha (x)=+\infty $$, $$\mathop{\lim }\limits_{\mathcal{B}} \alpha (x)=-\infty $$. Простейшие свойства пределов: существование не более одного предела; финальная ограниченность имеющей предел функции и функции $$g(x)=1/f(x)$$ в случае $$\mathop{\lim }\limits_{\mathcal{B}} f(x)\ne 0$$; бесконечная малость суммы двух бесконечно малых функций и произведения финально ограниченной функции на бесконечно малую; эквивалентность равенство предела данному числу возможности предствить функцию финально в виде суммы этого числа и бесконечно малой функции (все пределы и свойства функций по одной базе $$\mathcal{B}$$). Пределы суммы, разности, произведения и частного двух имеющих предел функций. Теорема о переходе к пределу в неравенствах. Первый замечательный предел. Верхние и нижние границы, верхняя и нижняя грань числового множества. Непрерывность множества вещественных чисел. Существование верхней и нижней грани непустого ограниченного множества чисел. Критерий существования предела монотонной ограниченной последовательности (признак Вейерштрасса). Пределы $$\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } q^{n} =0$$ при $$|q|<1$$ и $$\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{n^{k} }{a^{n} } =0$$ при всех $$k\in \mathbb{Z}$$, $$a>1$$. Второй замечательный предел. Сравнение предельного поведения функций. Понятия $$f=O(g)$$ и $$f=o(g)$$ по базе $$\mathcal{B}$$. Эквивалентные функции и функции одного порядка. Примеры эквивалентных при $$x\to 0$$ функций. Эквивалентность многочлена старшему слагаемому при стремлении аргумента к бесконечности. Теоремы о замене эквивалентных сомножителей и об отбрасывании сравнительно малых слагаемых. Вертикальные и наклонные асимптоты. Критерий существования наклонной асимптоты. Предел композиции функций. Эквивалентность $$f(\alpha (x)){\rm \sim }g(\alpha (x))$$в случае $$f(x){\rm \sim }g(x)$$ при $$x\to 0$$ и $$\mathop{\lim }\limits_{\mathcal{B}} \alpha (x)=0$$, $$\; \alpha (x)\ne 0$$ финально по базе $$\mathcal{B}$$. Сходимость всякой подпоследовательности сходящейся последовательности к тому же пределу. Критерий Коши существования предела для произвольной базы. Секвенциальный критерий существования предела при $$x\to x_{0} $$.
Раздел 2. Непрерывные числовые функции
Определение и примеры. Непрерывность слева, непрерывность справа. Классификация точек разрыва. Переход к пределу под знаком непрерывной функции. Непрерывности композиции непрерывных функций. Непрерывность и арифметические операции. Непрерывность элементарных функций. Лемма о вложенных отрезках. Свойства непрерывных на отрезке функций. Локализация корней уравнения $$f(x)=0$$ с непрерывной левой частью. Метод интервалов для решения неравенств. Понятие обратной функции для данной функции. Критерий существования обратной функции. Теорема о монотонности и непрерывности обратной функции для монотонной и непрерывной функции.
Раздел 3. Дифференцируемые числовые функции
Определение и интерпретация производной. Уравнение касательной к графику дифференцируемой функции. Производная как абсолютная скорость изменений и эластичность как относительная скорость изменений. Непрерывность дифференцируемых функций. Производная и арифметические операции. Производная композиции дифференцируемых функций. Производная обратной функции. Производные основных элементарных функций. Точки возрастания, убывания, локального минимума и локального максимума числовой функции. Интерпретации знака производной как признак точки возрастания или убывания. Необходимое условие экстремума. Обобщенная теорема о среднем значении и её следствия: теоремы Лагранжа и Коши о среднем значении. Признаки монотонности функций. Смена знака производной как достаточное условие экстремума. Правило Лопиталя. Сравнение скорости возрастания функций $$e^{x} $$, $$x^{\alpha } $$, $$\ln x$$ при $$x\to +\infty $$. Исследование неопределенностей вида $$0\cdot \infty $$, $$0^{0} $$, $$1^{\infty } $$, $$\infty ^{0} $$. Производные высших порядков. Выпуклые и вогнутые функции. Признаки выпуклости или вогнутости. Второе достаточное условие экстремума. Примерная схема исследования функции для построения её графика. Многочлены Тейлора функции в данной точке. Формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и в форме Лагранжа. Примеры применения формулы Тейлора для вычислений с заданной оценкой погрешности результата. Экстремумы, точки перегиба и производные высших порядков. Формула Маклорена для функций $$e^{x} $$, $$\sin x$$, $$\cos x$$, $$\ln (1+x)$$, $$(1+x)^{\alpha } $$. Доказательство формулы бинома Ньютона с помощью формулы Тейлора. Треугольник Паскаля для биномиальных коэффициентов. Формула Лейбница для производных произведения.
Раздел 4. Пределы векторных функций
Векторный и координатный способы записи векторных функций. График отображения $$f:X\to Y$$ некоторых множеств $$X$$ и $$Y$$ как подмножество $$\{ (x,y):x\in X,y=f(x)\in Y\} $$ декартова произведения множеств. Изображение графика функции $$f:X\subset \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m} $$ при $$n+m\le 3$$. Линии и поверхности уровня числовых функций векторного аргумента. Предел векторной функции. Связь предела векторной функции с пределами числовых компонентов данной функции. Пределы суммы, разности, произведения и частного векторных функций. Теорема о пределе композиции функций. Необходимое условие существования предела векторной функции: если $$\mathop{\lim }\limits_{x\to x_{0} } f(x)=L$$, то $$\mathop{\lim }\limits_{t\to t_{0} } f(\varphi (t))=L$$ для любой функции числового аргумента $$\varphi $$, удовлетворяющей условию $$\mathop{\lim }\limits_{t\to t_{0} } \varphi (t)=x_{0} $$ , $$\varphi (t)\neq x_{0} $$ финально при $$t\to t_{0} $$. Определение понятия равномерного на множестве $$\Omega $$ предела $$\mathop{\lim }\limits_{\mathcal{B}} f(x,\omega )=L(\omega )$$. Применение полярных координат для вычисления пределов функций двух переменных. Теорема об эквивалентности условий$$\mathop{\lim }\limits_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)=L$$ и $$\mathop{\lim }\limits_{\rho \to 0+} f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi )=L$$ равномерно по $$\varphi \in [0,2\pi )$$. Связь двойных пределов $$\mathop{\lim }\limits_{(x,y)\to (x_{0} ,y_{0} )} f(x,y)$$ с повторными $$\mathop{\lim }\limits_{y\to y_{0} } \mathop{\lim }\limits_{x\to x_{0} } f(x,y)$$ и $$\mathop{\lim }\limits_{x\to x_{0} } \mathop{\lim }\limits_{y\to y_{0} } f(x,y)$$.
Раздел 5. Непрерывные векторные функции
Различные определения непрерывности векторных функций. Секвенциальный критерий непрерывности (непрерывность по Гейне). Связь непрерывности векторных функций с непрерывностью их числовых компонентов. Непрерывность суммы, разности, произведения и частного векторных функций. Теорема о переходе к пределу под знаком непрерывной функции. Непрерывность композиции непрерывных функций. Непрерывность элементарных функций многих переменных в любой точке области определения. Замкнутость дополнения открытого множества и открытость дополнения замкнутого множества. Открытость объединения любого семейства и пересечения конечного семейства открытых множеств. Замкнутость пересечения любого семейства и объединения конечного семейства замкнутых множеств. Критерий замкнутости: множество $$X$$ замкнуто $$\Leftrightarrow $$ предел любой сходящейся последовательности элементов $$X$$ принадлежит $$X$$. Компактные множества в $$\mathbb{R}^{n} $$. Эквивалентность для любого множества $$X\subset \mathbb{R}^{d} $$ утверждений: $$X$$ --- компактное множество; любая последовательность элементов $$X$$ имеет подпоследовательность, сходящуюся к некоторому элементу из $$X$$; если $$X$$ содержится в объединении некоторого семейства открытых множеств, то $$X$$ содержится в объединении некоторого конечного числа множеств этого семейства. Лемма Больцано-Вейерштрасса. Свойства непрерывных на компакте функций. Компактность образа компакта при непрерывном отображении. Теорема Вейерштрасса: непрерывная на компакте числовая функция многих переменных достигает на нем свои наибольшее и наименьшее значения. Линейно связные множества. Линейная связность множества значений непрерывной на линейно связном множестве функции. Множество значений непрерывной числовой функции на линейно связном компакте является отрезком. Понятие равномерной непрерывности отображения $$f:X\subset \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m} $$ на множестве $$X$$. Теорема Кантора о равномерной непрерывности непрерывных на компакте функций. Теорема о прообразах открытых и замкнутых множеств при непрерывном отображении. Открытые и замкнутые множества, задаваемые с помощью непрерывных функций. Компактность бюджетного множества $$M=\left\{x\in \mathbb{R}^{n} :\begin{array}{ll} {p_{1} x_{1} +\ldots +p_{n} x_{n} \le I,} & {{\kern 1pt} } \\ {x_{i} \ge 0,\; i=1,\ldots ,n} & {} \end{array}\right\}$$. Функция полезности $$U$$, функция спроса по Маршаллу $$x=\xi (p,I)$$, косвенная функция полезности $$V(p,I)=U(\xi (p,I))$$.
Раздел 6 Дифференцируемые векторные функции
Производная векторной функции одной переменной. Уравнение касательной к дифференцируемой кривой. Производная по направлению и частные производные. Матрица Якоби. Градиент функции многих переменных. Производная и дифференциал векторной функции. Связь производной и производной по направлению. Непрерывность дифференцируемых отображений. Непрерывность элементов матрицы Якоби в некоторой точке как достаточное условие дифференцируемости функции в этой точке. Производная композиции дифференцируемых функций. Производная суммы, разности, произведения и частного векторных функций. Градиент. Направление наискорейшего возрастания функции. Перпендикулярность градиента поверхности уровня, касательные и нормали. Производные высших порядков. Матрица Гессе. Независимость частных производных от последовательности дифференцирования. Формула Тейлора с остатком в форме Пеано, с остатком в форме Лагранжа. Формула Тейлора в дифференциалах. Локальные экстремумы числовых функций многих переменных. Градиент и необходимое условие экстремума. Критические и седловые точки. Второй дифференциал и достаточное условие экстремума или седловой точки. Теорема о неявной функции. Исследование заданных уравнениями кривых. Экстремумы неявно заданных функций. Теорема об обратной функции. Производные параметрически заданных функций как следствие теоремы о неявной функции. Вычисление эластичности неявно заданных функций. Эластичность замещения. Условия зависимости системы числовых функций. Надграфик и подграфик функции. Выпуклые и вогнутые функции как функции с выпуклым надграфиком и подграфиком. Критерий выпуклости или вогнутости функций в форме неравенств. Строго выпуклые и строго вогнутые функции. Выпуклость множеств уровня $$\{ x\in X:f(x)\le c\} $$ и $$\{ x\in X:f(x)\ge c\} $$ для выпуклых и вогнутых функций. Квазивыпуклые и квазивогнутые функции. Теорема о непрерывности выпуклых функций (без доказательства). Критерий выпуклости или вогнутости для функций класса $$C^{1} $$ и его геометрическая интерпретация. Теорема об экстремумах выпуклых и вогнутых функций: всякая критическая точка (строго) вогнутой функции является точкой глобального (строгого) максимума; максимум выпуклой функции и минимум вогнутой функции могут достигаться только на границе области определения функции. Критерии выпуклости или вогнутости для функций класса $$C^{2} $$. Непрерывное продолжение выпуклых функций. Условные экстремумы. Необходимое условие экстремума. Принцип множителей. Лагранжа. Достаточные условия экстремума. Окаймленный гессиан. Зависимость безусловных и условных экстремумов от параметров. Теоремы об огибающей для безусловных и условных экстремумов. Условия Куна --- Таккера для задач с ограничениями-неравенствами и задач со смешанными ограничениями.
Раздел 7. Некоторые приложения многомерного анализа
Экономическая интерпретация множителей Лагранжа. Теневые цены (shadow price). Свойства косвенной функции полезности. Непрерывная зависимость экстремальных значений полезности от цен и дохода. Свойства функции оптимального спроса по Маршаллу. Тождество Роя. Функция издержек.

Элементы контроля

Письменная контрольная работа №1 160 минут
Работа проводится дистанционно с использованием асинхронного прокторинга Центра прокторинга Дирекции по онлайн обучению НИУ ВШЭ
Письменная контрольная работа №2 160 минут
Работа проводится дистанционно с использованием асинхронного прокторинга Центра прокторинга Дирекции по онлайн обучению НИУ ВШЭ
Письменный экзамен 160 минут
Работа проводится дистанционно с использованием асинхронного прокторинга Центра прокторинга Дирекции по онлайн обучению НИУ ВШЭ. При возникновении у преподавателя сомнений в самостоятельности выполнения студентом экзаменационной работы перед выставлением оценки может быть проведено устное собеседование.

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
Количество не сданных задач домашнего задания вычитается из суммы набранных на экзамене условных единиц. Полученное число находится в одном из промежутков вида [а,Ь) с границами 0,1.5, 3, 4.5, 5.5, 6.5, 7.5, 8.5, 9, 9.5,10,5. Номер промежутка (числа от 0 до 10) является итоговой оценкой. По итогам контрольных работ за некоторые задания экзамена заранее ставится условная единица (до четырех задач по каждой работе в зависимости от оценки за эту работу). Последние две задачи экзамена должны выполнять все.

Программа дисциплины