Математика для экономистов

Бакалавриат 2020/2021

Статус: Курс обязательный (Экономика)

Направление: 38.03.01. Экономика

Кто читает: Департамент математики

Где читается: Факультет экономических наук

Когда читается: 1-й курс, 3, 4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Демин Сергей Станиславович, Поляков Николай Львович, Федченко Анна Сергеевна, Хабина Элла Львовна

Язык: русский

Кредиты: 4

Контактные часы: 76

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Дисциплины «Математика для экономистов» предназначена для студентов 1-го курса бакалавриата, обучающихся по направлению 38.03.01. «Экономика», образовательная программа «Экономика». Формат изучения дисциплины - без использования онлайн курса. От студентов требуется первоначальное освоение курса «Математический анализ-1». В курсе студенты познакомятся с базовыми математическими методами оптимизации, элементами выпуклого анализа, теорией интегрирования, теорией разностных и дифференциальных уравнений. Теоретический материал нацелен на приложения к анализу экономических систем. В период карантинных мер, все занятия и формы контроля проводятся дистанционно.

Цель освоения дисциплины

Добиться усвоения студентами основных математических приемов и правил формального анализа экономических систем
Подготовить слушателей к чтению современных текстов по экономической теории, использующих модели и методы многомерного математического анализа, теории меры и интеграла и теории дифференциальных уравнений
Обеспечить запросы других разделов математики, использующих возникающие в математическом анализе конструкции
Научить слушателей решать качественные задачи на условный экстремум при различных типах ограничений
Обучить студентов технике практического использования числовых и функциональных рядов
Познакомить студентов с основными понятиями теории дифференциальных уравнений и их использованием при анализе и построении экономических моделей
Выработать у слушателей навыки решения типовых задач, способствующих усвоению основных понятий, а также задач, способствующих развитию начальных навыков научного исследования
Развить умение логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и быть корректным в употреблении математических понятий и символов для выражения количественных и качественных отношений

Планируемые результаты обучения

Студент исследует функции многих переменных на выпуклость, на экстремум при ограничениях.
Студент вычисляет неопределенные, определенные и кратные интегралы.
Студент решает задачи на сходимость, суммирование и разложение в ряд
Студент решает линейные дифференциальные и разностные уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

Содержание учебной дисциплины

Тема 1. Элементы выпуклого анализа и задачи глобальной оптимизации. Интегрирование функций одной и многих переменных. Раздел 1. Элементы выпуклого анализа и задачи глобальной оптимизации.
Элементы выпуклого анализа. Свойства выпуклых (вогнутых) и квазивыпуклых (квазивогнутых) функций: о выпуклости области определения, о выпуклости положительной линейной комбинации выпуклых функ-ций, о непрерывности выпуклых функций, о максимуме (минимуме) выпуклых (вогнутых) и квазивыпуклых (квазивогнутых) функций. Критерии выпуклости и квазивыпуклости непрерывно дифференцируемой функции. Экстремальные свойства выпуклых и квазивыпуклых функций. Выпуклые задачи в экономике. Задачи оптимизации с ограничениями типа неравенств. Условия Каруша — Куна — Таккера. Метод опорных векторов в задачах кредитного скоринга. Задачи глобальной оптимизации в экономике. Задачи выбора товаров, максимизирующего функцию полезности при бюджетном огра-ничении; двойственная (хиксианская) задача минимизации затрат потребителя на приобретение набора благ при условии ограничений снизу на полезность наборов, спрос Хикса; задача минимизации издержек при заданном объеме выпуска продукции.
Тема 1. Элементы выпуклого анализа и задачи глобальной оптимизации. Интегрирование функций одной и многих переменных. Раздел 2. Элементы теории меры и интеграла
Понятие первообразной и неопределенного интеграла функции. Свойства неопределенного интеграла. Таблица неопределенных интегралов основных функций. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям. Примеры. Задача о нахождении функции с заданной характеристикой изменения роста (населения, производства продукции и пр.), изменения цены. Интегрирование рациональных функций: понятие рациональной дроби, правильная и неправильная рациональные дроби, выделение целой части в неправильной дроби, понятие простых дробей, теорема о разложении на множители многочлена с действительными коэффициентами, теорема о разложении правильной дроби в сумму простых дробей, интегрирование простых дробей. Понятие рационализируемого интеграла. Интегрирование рационально-тригонометрических функций, частные случаи интегрируемости рационально-тригонометрических функций. Интегрирование некоторых классов иррациональных функций. Определенный интеграл. Определение определенного интеграла Римана: понятия разбиения, мелкости разбиения, интегральной суммы. Необходимое условие интегрируемости функции. Критерий интегрируемости в терминах сумм Дарбу. Примеры неинтегрируемых функций. Экономические модели: инвестиции и капитал, чистая приведенная стоимость (NPV) инвестиций в непрерывном случае. Некоторые классы интегрируемых функций: интегрируемость непрерывных функций, интегрируемость монотонных ограниченных функций. Критерий интегрируемости по Лебегу, понятие множества меры нуль. Примеры вычисления определенных интегралов по определению. Свойства определенных интегралов. Интеграл с переменным верхним пределом и его свойства: условия непрерывности и дифференцируемости. Теорема о существовании первообразной непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница. Формулы замены переменной и интегрирования по частям для определенного интеграла. Несобственные интегралы. Экономические модели: чистая приведенная стоимость (NPV) инвестиций в бессрочном случае. Интегралы, зависящие от параметров. Некоторые приложения определенного интеграла. Теорема об интегральном представлении функций. Площадь криволинейно трапеции и обобщенной криволинейной трапеции. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах. Понятие спрямляемой кривой и ее длины. Вычисление длины спрямляемой кривой: а) заданной параметрически; б) заданной функцией в декартовых координатах; в) заданной функцией в полярных координатах. Элементы вариационного исчисления. Уравнение Эйлера. Задачи оптимизации функционалов в экономике. Кратные интегралы. Мотивация введения кратного интеграла: геометрические и экономические задачи. Понятие измеримого множества и его меры в R^n (меры Жордана), свойства меры Жордана. Понятие множества меры нуль. Критерий измеримости множества. Понятие кратного интеграла по измеримому множеству (разбиение множества, мелкость разбиения, выборка точек в разбиении, интегральная сумма). Критерии интегрируемости, классы интегрируемых функций. Свойства кратных интегралов. Вычисления кратных интегралов с помощью повторных. Замена переменных в кратном интеграле. Задача об оптимальном размещении в непрерывном случае (метод центра тяжести). Плотностные и интегральные характеристики в экономическом анализе. Экономические задачи (объем выпуска при заданной пространственной плотности размещения производства, объем трафика при заданной плотности распределения источников и т.д.).
Тема 2. Ряды. Дифференциальные и разностные уравнения. Раздел 1. Числовые и функциональные ряды.
Числовые ряды. Частичные суммы, сходимость ряда и его сумма. Необходимое условие сходимости и его отрицание. Примеры. Свойства сходящихся числовых рядов. Критерий Коши сходимости числового ряда и его отрицание. Гармонический ряд. Абсолютная и условная сходимость рядов. Признаки сходимости рядов с неотрицатель-ными членами: признак ограниченности, признаки сравнения, интегральный признак, при-знак Даламбера, радикальный признак Коши. Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница, оценка остатка. Задача о нахождении рыночной цены бессрочной облигации. Задача об оценке прибыли от инвестиций. Функциональные последовательности и ряды. Поточечная, на множестве и равномерная сходимости последовательностей и рядов. Условия равномерной сходимости функциональных рядов, признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов: непрерывность суммы, почлен-ное интегрирование и дифференцирование. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости, формула Коши-Адамара. Равно-мерная сходимость степенного ряда, его дифференцируемость и интегрируемость. Ряд Тей-лора. Условия представимости функции своим рядом Тейлора. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора. Примеры. Приложения рядов к приближенным вычислениям.
Тема 2. Ряды. Дифференциальные и разностные уравнения. Раздел 2. Разностные и дифференциальные уравнения.
Понятие обыкновенного дифференциального уравнения (ДУ), задачи Коши. Экономико-математические задачи, приводящие к ДУ. Линейное ДУ с постоянными коэффициентами. Понятие разностного уравнения (РУ), задачи Коши. Экономико-математические задачи, приводящие к ДУ (рост процентного вклада и величина долга, модель Самуэльсона-Хикса). Линейные РУ с постоянными коэффициентами.

Элементы контроля

Контрольная 1
Время выполнения работы 90-120 минут (объявляется до проведения контрольной). До отмены карантинных мер все контрольные и экзамены проводятся дистанционно на платформе Zoom. Контроль за самостоятельностью выполнения заданий студентами (прокторинг) осуществляют преподаватели.
Контрольная 2
Время выполнения работы 90-120 минут (объявляется до проведения контрольной). До отмены карантинных мер все контрольные и экзамены проводятся дистанционно на платформе Zoom. Контроль за самостоятельностью выполнения заданий студентами (прокторинг) осуществляют преподаватели.
Экзамен
Время выполнения работы 160 минут. До отмены карантинных мер все контрольные и экзамены проводятся дистанционно на платформе Zoom. Контроль за самостоятельностью выполнения заданий студентами (прокторинг) осуществляют преподаватели.
Индивидуальное домашнее задание

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (4 модуль)
Экзаменационные работы состоят из 10 заданий. Время выполнения экзаменационной работы ‒ 160 минут. Полное правильное решение задания на экзаменационной работе оценивается в один балл. В случае неполного решения оценка может дробиться. По итогам контрольных работ студенты освобождаются от решения некоторых задач экзамена (получают заранее условную единицу за задачу). При наборе N баллов на контрольной студент освобождается от выполнения M задач по следующей схеме: 3≤N<4 => M=1 4≤N<5 => M=2 5≤N≤6 => M=3 . Номера засчитанных задач отсчитываются подряд от первой для контрольной работы №1, от пятой для контрольной работы №2. Кроме того, из общего результата вычитаются штрафные баллы за незачтенные задачи индивидуального домашнего задания (в сумме не более двух баллов). Окончательное количество условных баллов (M) подвергается округления для приведения к десятибалльной шкале. Правила округления описаны в отдельной ячейке.

Программа дисциплины