Алгебра (углубленный курс)

Бакалавриат 2020/2021

Статус: Курс обязательный (Прикладная математика и информатика)

Направление: 01.03.02. Прикладная математика и информатика

Кто читает: Департамент больших данных и информационного поиска

Где читается: Факультет компьютерных наук

Когда читается: 1-й курс, 4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Аржанцев Иван Владимирович, Гайфуллин Сергей Александрович, Калеева Галина Анатольевна

Язык: русский

Кредиты: 3

Контактные часы: 40

Полная версия программы учебной дисциплины Задать вопрос

Аннотация

Цель курс — познакомить слушателей с основными структурами современной алгебры. Первые пять лекций посвящены теории групп, последние пять — кольцам и полям. Мы докажем базовые факты об этих структурах и продемонстрируем их возможные приложения. Сдавшие курс смогут, среди прочего, перечислить с точностью до изоморфизма все коммутативные группы из 100 элементов, найти сумму кубов корней данного многочлена, доказать, что многочлен от одной или многих переменных однозначно раскладывается на простые множители и объяснить, почему не существует поля из 6 элементов.

Цель освоения дисциплины

Знать основные факты о таких алгебраических структурах, как группы, кольца и поля
Освоить алгоритмические аспекты современной алгебры
Уметь производить базовые вычисления с алгебраическими структурами, применять изученные факты и методы при решении прикладных задач

Планируемые результаты обучения

Овладеть основными техническими приемами алгебры многочленов и теории абелевых групп
Иметь навыки работы с конечными группами и конечными полями
Изучить основные приложения изученного материала в криптографии и теории кодирования

Содержание учебной дисциплины

Полугруппы и группы: основные определения и примеры. Группы подстановок и группы матриц. Порядок элемента и циклические подгруппы. Смежные классы и теорема Лагранжа. Индекс подгруппы.
Нормальные подгруппы, факторгруппы и теорема о гомоморфизме. Центр- группы. Прямое произведение групп. Факторизация по сомножителям. Разложение конечной циклической группы.
Решетки и дискретные подгруппы в евклидовом пространстве. Конечные абелевы группы. Строение конечно порожденных абелевых групп. Приложения к задачам криптографии.
Действие группы на множестве. Орбиты и стабилизаторы. Транзитивные и свободные действия. Три действия группы на себе. Теорема Кэли. Классы сопряженности.
Кольца, алгебры и поля. Идеалы и факторкольца. Теорема о гомоморфизме. Алгебра матриц над полем является центральной простой алгеброй. Делители нуля, обратимые элементы, нильпотенты и идемпотенты.
Евклидовы кольца, кольца главных идеалов и факториальные кольца. Факториальность кольца многочленов от многих переменных.
Конечно порожденные и свободные абелевы группы. Подгруппы свободных абелевых групп. Теорема о согласованных базисах. Алгоритм приведения целочисленной матрицы к диагональному виду.
Элементарные симметрические многочлены. Лексикографический порядок. Основная теорема о симметрических многочленах. Теорема Виета. Дискриминант многочлена. Понятие о базисе Грёбнера идеала.
Примеры полей. Характеристика поля. Расширения полей, алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен. Конечное расширение и его степень. Присоединение корня многочлена. Поле разложения многочлена: существование и единственность.
Конечные поля. Простое подполе и порядок конечного поля. Автоморфизм Фробениуса. Теорема существования и единственности для конечных полей. Поле из четырех элементов. Подполя конечного поля. Неприводимые многочлены над конечным полем. Приложение конечных полей в теории кодирования.

Элементы контроля

Домашнее задание 1
Состоит из 5 листков по 4 задачи в каждом по теме “Группы”. Листки выдаются после семинаров 1-5, на решение каждого из листков отводится одна неделя. Решения проверяют учебный ассистенты, результаты проверки размещаются на вики-странице. За решение каждой из задач можно получить 0, 1 или 2 балла. Набранное число баллов умножается на 1/40.
Домашнее задание 2
Состоит из 4 листков по 5 задач в каждом по теме “Кольца и поля”. Листки выдаются после семинаров 6-9, на решение каждого из листков отводится одна неделя. Решения проверяют учебный ассистенты, результаты проверки размещаются на вики-странице. За решение каждой из задач можно получить 0, 1 или 2 балла. Набранное число баллов умножается на 1/40.
Контрольная работа
Работа проводится письменно и включает в себя 6 задач. За решение каждой из задач можно получить 0, 1 или 2 балла. На решение задач отводится 1 час 20 минут. На контрольной можно использовать любые рукописные и печатные материалы, а также непрограммируемые калькуляторы. Использование других электронных устройств запрещено.
Экзамен
Экзамен проводится в устной форме, в аудитории. Каждый студент получает два вопроса, один из первой части курса и второй из второй. На подготовку к ответу отводится 40 минут. После ответа на вопросы преподаватель беседует со студентом по программе курса и может предложить дополнительные теоретические задачи. Оценка выставляется по 10-балльной системе. На экзамене можно использовать любые рукописные и печатные материалы. Использование электронных устройств запрещено.

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (4 модуль)
0.15 * Домашнее задание 1 + 0.15 * Домашнее задание 2 + 0.2 * Контрольная работа + 0.5 * Экзамен

Программа дисциплины