Линейная алгебра

Бакалавриат 2020/2021

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс обязательный (Экономика)

Направление: 38.03.01. Экономика

Где читается: Санкт-Петербургская школа экономики и менеджмента

Когда читается: 1-й курс, 1, 2 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Вагурина Ирина Вячеславовна, Кузнецова Мария Станиславовна, Кумачева Сурия Шакировна, Смирнова Надежда Владимировна

Язык: русский

Кредиты: 6

Контактные часы: 104

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Целями освоения дисциплины «Линейная алгебра» являются изучение разделов матричной алгебры, решение систем линейных уравнений и векторного анализа, позволяющие студенту ориентироваться в таких дисциплинах, как «Теория вероятностей и математическая статистика», «Методы оптимальных решений», «Математические модели в экономике». Курс "Линейная алгебра" будет использоваться в теории и приложениях многомерного математического анализа, дифференциальных уравнений, математической экономики, эконометрики. Материалы курса могут быть использованы для разработки и применения численных методов решения задач из многих областей знания, для построения и исследования математических моделей таких задач. Дисциплина является модельным прикладным аппаратом для изучения студентами факультета Экономики математической компоненты своего профессионального образования.

Цель освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины «Линейная алгебра» являются изучение разделов матричной алгебры, решение систем линейных уравнений и векторного анализа, позволяющие студенту ориентироваться в таких дисциплинах, как «Теория вероятностей и математическая статистика», «Методы оптимальных решений», «Математические модели в экономике». Курс «Линейная алгебра» будет использоваться в теории и приложениях многомерного математического анализа, дифференциальных уравнений, математической экономики, эконометрики. Материалы курса могут быть использованы для разработки и применения численных методов решения задач из многих областей знания, для построения и исследования математических моделей таких задач. Дисциплина является модельным прикладным аппаратом для изучения студентами направления «Экономика» математической компоненты своего профессионального образования.

Планируемые результаты обучения

Определяет простейшие алгебраические структуры; выполняет действия с матрицами; находит матрицы с заданными свойствами
Вычисляет определитель; верно пользуется свойствами определителя; решает матричные уравнения, находит обратную матрицу; исследует СЛАУ с помощью формул Крамера
Находит базис пространства / подпространства; определяет координаты элементов пространства относительно фиксированного базиса; находит разложения элементов пространства относительно произвольной системы векторов; строит матрицу перехода при изменении базиса
Верно и эффективно проводит элементарные преобразования матриц; приводит матрицу к ступенчатому виду; определяет ранг матрицы
Решает СЛАУ методом Гаусса; верно использует теоремы Кронекера-Капелли; анализирует структуру множества решений СЛАУ
Определяет ортогональность векторов; строит ортогональную проекцию на подпространство
Находит матрицу линейного оператора относительно фиксированного базиса и при замене базиса; находит собственные числа и векторы линейного оператора
Анализирует знакоопределенность квадратичной формы с помощью критерия Сильвестра; приводит квадратичную форму к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования; определяет тип поверхности второго порядка
Записывает жорданову форму матрицы
Оценивает норму оператора

Содержание учебной дисциплины

Матрицы и системы линейных уравнений
Простейшие алгебраические структуры. Матрица и расширенная матрица системы линейных уравнений. Операции с матрицами (сумма матриц, умножение матрицы на число, произведение матриц). Свойства арифметических операций над матрицами. Матричная запись системы уравнений.
Определитель
Перестановки. Инверсии, четность перестановки. Определитель и элементарные преобразования. Построение определителя разложением по столбцу. Определитель транспонированной матрицы. Вычисление определителя разложением по строке. Обратная и взаимная матрицы. Формулы Крамера. Построение обратной матрицы элементарными преобразованиями. Определитель произведения матриц.
Линейные пространства
Простейшие следствия аксиом линейного пространства. Подпространство линейного пространства. Свойства линейно зависимых векторов. Базис и размерность линейного пространства. Существование базиса конечномерного пространства.
Линейные операторы
Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса. Матрица композиции линейных операторов. Линейные функционалы. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. Характеристический многочлен линейного оператора. О корнях характеристического многочлена линейного оператора. Теорема Перрона.
Ранг матрицы
Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц. Обратимость элементарных преобразований. Приведение матриц к ступенчатому виду элементарными преобразованиями. Неизменность ранга при элементарных преобразованиях. Ранг ступенчатой матрицы. Теорема о ранге матрицы. Критерий линейной независимости системы строк (столбцов). Ранг произведения матриц.
Структура множества решений системы линейных уравнений
Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы линейных уравнений. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений со ступенчатой матрицей системы. Общее решение систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Структура множества решений системы линейных уравнений. Альтернативы Фредгольма.
Евклидовы пространства
Скалярное произведение. Неравенство Коши-Буняковского. Неравенство треугольника. Длина вектора и угол между векторами. Ортогональность векторов. Независимость попарно ор¬тогональных векторов. Ортогональная проекция вектора на подпространство. Построение орто¬нормированного базиса ортогонализацией произвольного базиса. Ортогональные матрицы и их свойства. Геометрическая интерпретация ортогональных матриц.
Симметричные матрицы и квадратичные формы
Квадратичные формы. Симметричная матрица, порождающая квадратичную форму. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Сопряженность операторов в евклидовом пространстве. Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. Симметричные матрицы и самосопряженные операторы в евклидовом пространстве. Ортонормированный базис из собственных векторов самосопряженного оператора. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Классификация кривых и поверхностей второго порядка.
Жорданова форма матрицы
Жорданова клетка. Присоединенные векторы. Каноническая жорданова форма матрицы. Алгоритм вычисления размерности клеток и построения ортогонального преобразования. Функции от матрицы. Примеры и приложения.
Норма линейного оператора
Норма линейного оператора. Ее простейшие свойства (норма линейной комбинации оператора, норма композиции оператора). Оценка нормы оператора через элементы его матрицы. Норма самосопряженного оператора. Примеры вычисления нормы.

Элементы контроля

Контрольная работа 1
Контрольная работа 2
Контрольная работа проводится дистанционно в письменной форме. На КР выделяется 80 минут и 10 минут на загрузку заданий. Работа проводится на платформе Smart LMS и Zoom или MS Teams . К занятию, на котором будет проводиться контрольная работа, необходимо подключиться за 15 минут до начала, по сигналу преподавателя приступить к решению заданий в Smart LMS. Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: наличие рабочей камеры и микрофона, скоростной интернет, поддержка Zoom/MS Teams. Ответы на задания записываются на белых листах А4, черной ручкой, листы нумеруются, при указании в задании ответы дополнительно вводятся в окно ответа. После окончания работы студент должен сфотографировать/отсканировать свое решение и загрузить в Smart LMS. Фотографии должны быть вертикальными, чтобы текст не был размыт и читался однозначно. Ответы и номера заданий нужно выделить . На протяжении работы камера и микрофон должны быть включены. Требуется расположить камеру сбоку или фронтально от себя таким образом, чтобы она была направлена на рабочее поле – лист, на котором выполняется работа, на студента и пространство вокруг студента (помещение должно быть хорошо освещено). Разрешается использовать вход в Zoom / MS Teams с мобильного телефона с его камерой. По требованию преподавателя студент обязан переключиться на трансляцию своего экрана: включить заднюю камеру мобильного телефона или повернуть в течение 5 секунд телефон к экрану компьютера, или запустить демонстрацию экрана. Выходить во время контрольной работы из комнаты нельзя. На столе можно иметь только письменные принадлежности, без пенала, чистые листы бумаги и воду. Наличие каких-либо носителей информации поблизости от рабочего места студента, а также других людей, считается нарушением и заканчивается удалением студента с работы и выставлением оценки «0». Во время контрольной работы студентам запрещено выключать камеру и микрофон: до окончания работы видео и звук должны оставаться активными, включая время на сканирование выполненной работы и отправку ее на проверку. Кратковременным нарушением связи во время контрольной работы считается нарушение связи менее 5 минут и не более одного раза. Долговременным нарушением связи во время контрольной работы считается нарушение от 5 минут и более. При долговременном нарушении связи студент может продолжить участие в написании работы по усмотрению преподавателя.
Контрольная работа 3
Контрольная работа проводится дистанционно в письменной форме. На КР выделяется 80 минут и 10 минут на загрузку заданий. Работа проводится на платформе Smart LMS и Zoom или MS Teams . К занятию, на котором будет проводиться контрольная работа, необходимо подключиться за 15 минут до начала, по сигналу преподавателя приступить к решению заданий в Smart LMS. Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: наличие рабочей камеры и микрофона, скоростной интернет, поддержка Zoom/MS Teams. Ответы на задания записываются на белых листах А4, черной ручкой, листы нумеруются, при указании в задании ответы дополнительно вводятся в окно ответа. После окончания работы студент должен сфотографировать/отсканировать свое решение и загрузить в Smart LMS. Фотографии должны быть вертикальными, чтобы текст не был размыт и читался однозначно. Ответы и номера заданий нужно выделить . На протяжении работы камера и микрофон должны быть включены. Требуется расположить камеру сбоку или фронтально от себя таким образом, чтобы она была направлена на рабочее поле – лист, на котором выполняется работа, на студента и пространство вокруг студента (помещение должно быть хорошо освещено). Разрешается использовать вход в Zoom / MS Teams с мобильного телефона с его камерой. По требованию преподавателя студент обязан переключиться на трансляцию своего экрана: включить заднюю камеру мобильного телефона или повернуть в течение 5 секунд телефон к экрану компьютера, или запустить демонстрацию экрана. Выходить во время контрольной работы из комнаты нельзя. На столе можно иметь только письменные принадлежности, без пенала, чистые листы бумаги и воду. Наличие каких-либо носителей информации поблизости от рабочего места студента, а также других людей, считается нарушением и заканчивается удалением студента с работы и выставлением оценки «0». Во время контрольной работы студентам запрещено выключать камеру и микрофон: до окончания работы видео и звук должны оставаться активными, включая время на сканирование выполненной работы и отправку ее на проверку. Кратковременным нарушением связи во время контрольной работы считается нарушение связи менее 5 минут и не более одного раза. Долговременным нарушением связи во время контрольной работы считается нарушение от 5 минут и более. При долговременном нарушении связи студент может продолжить участие в написании работы по усмотрению преподавателя.
Самостоятельная работа
Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов: оценивается выполнение домашних заданий и подготовка к семинарам. Контроль может проводиться в форме устных и письменных опросов по материалу домашних заданий. Накопленная оценка по 10-ти балльной шкале за самостоятельную работу определяется перед итоговым контролем.
Экзамен
Экзамен проводится в письменной форме (теоретические вопросы и задачи по материалам курса). На экзамен выделяется 90 минут и 15 минут на загрузку заданий. Экзамен проводится на платформе Smart LMS и Zoom . К экзамену необходимо подключиться за 15 минут до начала. Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: наличие рабочей камеры и микрофона, скоростной интернет, поддержка Zoom. Ответы на экзаменационные задания записываются на белых листах А4, черной гелевой ручкой, листы нумеруются. После окончания экзамена студент должен сфотографировать/отсканировать свое решение и загрузить в Smart LMS. Фотографии должны быть вертикальными, чтобы текст не был размыт и читался однозначно. Ответы и номера заданий выделить . Для участия в экзамене студент обязан: явиться на экзамен согласно расписанию, на всем протяжении экзамена держать включенными камеру и микрофон. Расположить камеру сбоку или фронтально от себя таким образом, чтобы она была направлена на рабочее поле – лист, на котором выполняется экзаменационная работа, на студента и пространство вокруг студента (помещение должно быть хорошо освещено). Разрешается использовать вход в Zoom с мобильного телефона с его камерой. По требованию преподавателя студент обязан переключиться на трансляцию своего экрана: включить заднюю камеру мобильного телефона или повернуть в течение 5 секунд телефон к экрану компьютера, или запустить демонстрацию экрана. Выходить во время экзамена из комнаты нельзя. На столе можно иметь только письменные принадлежности, без пенала, чистые листы бумаги и воду. Наличие каких-либо носителей информации поблизости от рабочего места студента, а также других людей, считается нарушением и заканчивается удалением студента с экзамена с выставлением оценки «0». Во время экзамена студентам запрещено выключать камеру и микрофон: до окончания экзамена видео и звук должны оставаться активными, включая время на сканирование выполненной работы и отправку ее на проверку. Кратковременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение связи менее 5 минут и не более одного раза. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение от 5 минут и более. При долговременном нарушении связи студент может продолжить участие в экзамене по усмотрению преподавателя. Процедура пересдачи подразумевает использование усложненных заданий.

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
0.1 * Контрольная работа 1 + 0.15 * Контрольная работа 2 + 0.15 * Контрольная работа 3 + 0.14 * Самостоятельная работа + 0.46 * Экзамен

Программа дисциплины