Линейная алгебра и геометрия

Бакалавриат 2020/2021

Лучший по критерию «Полезность курса для Вашей будущей карьеры»

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс обязательный (Прикладная математика и информатика)

Направление: 01.03.02. Прикладная математика и информатика

Кто читает: Департамент информатики

Где читается: Санкт-Петербургская школа физико-математических и компьютерных наук

Когда читается: 1-й курс, 3, 4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Антипов Михаил Александрович, Афанасьева Софья Сергеевна, Иванова Ольга Юрьевна

Язык: русский

Кредиты: 5

Контактные часы: 102

Полная версия программы учебной дисциплины Задать вопрос

Аннотация

Целями освоения дисциплины «Линейная алгебра и геометрия» являются формирование у студентов теоретических знаний и практических навыков по основам линейной алгебры, в частности уметь решать системы линейных уравнений, владеть понятиями матрицы, векторного пространства, базиса, линейного отображения, спектра линейного оператора, квадратичной формы, тензора, понимать их взаимосвязь, а так же уметь решать с помощью этих понятий задачи нахождения расстояния между аффинными подпространствами, минимума квадратичной формы на сфере, применять понятие спектра графа для получения различных свойств графов. В результате освоения дисциплины студент должен: − Знать основные понятия и факты линейной алгебры, такие как матрица, векторное пространство, линейная независимость, базис, размерность, ранг, спектр линейного оператора. − Уметь находить базис подпространства заданного набором векторов или системой линейных условий, ранг линейного отображения, спектр и жорданову форму линейного оператора, сигнатуру вещественной квадратичной формы, ортогонализацию базиса евклидового пространства, спектр графа. − Иметь навыки (приобрести опыт) обращения с основными конструкциями и объектами линейной алгебры.

Цель освоения дисциплины

формирование у студентов теоретических знаний и практических навыков по основам линейной алгебры, в частности уметь решать системы линейных уравнений, владеть понятиями матрицы, векторного пространства, базиса, линейного отображения, спектра линейного оператора, квадратичной формы, тензора, понимать их взаимосвязь, а так же уметь решать с помощью этих понятий задачи нахождения расстояния между аффинными подпространствами, минимума квадратичной формы на сфере, применять понятие спектра графа для получения различных свойств графов.

Планируемые результаты обучения

Знает метод Гаусса в решении систем линейных уравнений, Владеет понятиями: векторные пространства, линейная зависимость, базис, теорема о равномощности базисов, линейное отображение, теорема о размерностях ядра и образа, ранг, прямая сумма, алгебра матриц, присоединѐнная матрица
Владеет понятиями: линейные операторы; определитель и след оператора; многочлен от оператора; собственные числа; критерий диагонализуемости; оператор на факторпространстве; теорема Гамильтона-Кэли; диаграммы Юнга.
Знает билинейные формы, ранг, приведение квадратичной формы к диагональному виду, критерий Сильвестра, дискриминант формы, евклидовы и унитарные пространства, ортогонализация, расстояние и ортогональная проекция. Владеет понятиями: канонические изоморфизмы, тензорное произведение линейных отображений, кронекерово произведение матриц, симметричные тензоры, кососимметричные тензоры, алгебра Грассмана, теорема Бине-Коши
Владеет понятиями: максимум квадратичной формы на сфере, принцип Куранта-Фишера, чередование собственных чисел при ограничении на подпространство, метод главных компонент, SVD-разложение Знает: спектр графа, характеризация двудольности, сильно регулярные графы, спектр произведения графов, спектр графа и размер максимального независимого множества