Математический анализ II

Бакалавриат 2020/2021

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс обязательный (Экономика)

Направление: 38.03.01. Экономика

Где читается: Санкт-Петербургская школа экономики и менеджмента

Когда читается: 1-й курс, 3, 4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Алексеева Татьяна Анатольевна, Ихсанов Лев Назарович, Коротяев Евгений Леонидович, Ксенофонтова Вера Алексеевна, Кузнецова Мария Станиславовна, Минабутдинов Алексей Рафаилович, Мокеев Дмитрий Сергеевич, Рунев Евгений Валентинович, Сейтманбитов Джемиль Акимович, Чамов Дмитрий Романович, Якубсон Михаил Яковлевич

Язык: русский

Кредиты: 7

Контактные часы: 120

Полная версия программы учебной дисциплины Задать вопрос

Аннотация

Целью освоения дисциплины «Математический анализ II» является изучение разделов «Интегральное исчисление», «Числовые и функциональные ряды» и «Дифференциальные уравнения», позволяющие студенту ориентироваться в таких дисциплинах, как «Теория вероятностей и математическая статистика», «Методы оптимальных решений», «Микроэкономика», «Макроэкономика», «Теория игр», «Эконометрика». Курс "Математический анализ II" будет использоваться в теории и приложениях дисциплин экономического цикла. Материалы курса могут быть использованы для разработки и применения численных методов решения задач из многих областей знания, для построения и исследования математических моделей в различных предметных областях, в первую очередь в экономике. Дисциплина является модельным прикладным аппаратом для изучения студентами-экономистами математической компоненты своего профессионального образования.

Цель освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины являются изучение разделов «Интегральное исчисление», «Числовые и функциональные ряды» и «Дифференциальные уравнения».

Планируемые результаты обучения

Знать основные понятия, теоремы и методы интегрального исчисления для неопределенного интеграла, уметь решать задачи с применением различных методов взятия неопределенного интеграла
Знать основные понятия, теоремы и методы интегрального исчисления для определенного интеграла, уметь решать задачи с применением формулы Лейбница и на приложения определенного интеграла.
Знать основные понятия, теоремы и методы интегрального исчисления для несобственного интеграла, уметь исследовать на сходимость несобственный интеграл.
Знать основные понятия, теоремы и методы интегрального исчисления для кратных (двойных) интегралов, уметь решать задачи с применением двойного интеграла и на приложения кратных интегралов.
Знать основные функции и понятия числовых, знакопеременных и функциональных рядов.
Знать основные понятия, теоремы и методы теории числовых и функциональных рядов, приемы исследования степенных и функциональных рядов. Уметь решать задачи на исследования сходимости числовых и функциональных рядов, а также их приложения.
Знать основные понятия, теоремы и методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений ОДУ, классы ОДУ, уметь использовать аппарат дифференциальных уравнений для моделирования простых экономических процессов.

Содержание учебной дисциплины

Интегрирование: первообразная, неопределенный интеграл
Первообразная и неопределенный интеграл. Первая основная теорема интегрального исчисления (о существовании первообразной у непрерывной функции). Свойства неопределенного интеграла. Интегралы от основных элементарных функций. Табличные интегралы. Основные методы интегрирования (простейшие приемы интегрирования, замена переменной, интегрирование по частям). Интегрирование некоторых элементарных функций.
Интегрирование: определенный интеграл и его приложения
Интегральная сумма Римана, определенный интеграл и его геометрическая интерпретация. Интегральные суммы Дарбу. Свойства определенного интеграла (связанные с подынтегральной функцией, с отрезком интегрирования). Теорема о среднем значении. Определенный интеграл с переменным верхним пределом и его производная по этому пределу. Формула Ньютона-Лейбница. Вторая основная теорема интегрального исчисления (о существовании определенного интеграла у непрерывной функции). Интегрируемые по Риману функции. Замена переменной и формула интегрирования по частям для определенного интеграла.
Интегрирование: несобственные интегралы.
Несобственные интегралы. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Признаки сходимости.
Кратные интегралы. Двойной интеграл
Понятие двойного интеграла и его геометрическая интерпретация. Свойства двойного интеграла. Сведение двойного интеграла к повторному. Замена переменной в двойном интеграле. Вычисление площади криволинейной фигуры с помощью двойного интеграла.
Числовые и функциональные ряды I.
Понятие о числовых рядах. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Необходимое условие сходимости ряда. Признаки сходимости для знакопостоянных и знакочередующихся рядов. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов. Функциональные ряды. Сходимость и равномерная сходимость функционального ряда. Почленное дифференцирование и интегрирование функциональных рядов.
Числовые и функциональные ряды II.
Степенные ряды. Промежуток и радиус сходимости степенного ряда. Формула для вычисления радиуса сходимости. Понятие ряда Тейлора. Понятие о рядах Фурье. Теорема о представлении функции в виде ее ряда Фурье.
Дифференциальные уравнения
Основные понятия теории дифференциальных уравнений: дифференциальное уравнение (ДУ), порядок, решение, интегральная кривая. ДУ первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности (формулировка). Общее и частное решение. ДУ первого порядка, интегрируемые в квадратурах. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним. ДУ первого порядка: однородное, приводящиеся к однородному, линейное, уравнение Бернулли, в полных дифференциалах. ДУ высших порядков. Задача Коши. ДУ высших порядков, допускающие понижение порядка. Линейные однородные и неоднородные уравнения 2-го порядка. Линейно зависимые и независимые решения. Определитель Вронского для решений линейного однородного уравнения. Фундаментальная система решений. Структура общего решения линейного однородного уравнения 2-го порядка. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера решения уравнений. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения 2-го порядка. Интегрирование линейных неоднородных ДУ методом вариации произвольных постоянных. Нахождение частных решений неоднородных уравнений с правыми частями специального вида.

Элементы контроля

Контрольная работа 1 (3 модуль)
При выполнении контрольных работ студент должен продемонстрировать знание основных определений, формулировок теорем и методов решения задач по интегральному исчислению функций одной и многих переменных, теории рядов и дифференциальных уравнений, уметь применять их для решения конкретных задач.
Контрольная работа 2 (3 модуль)
При выполнении контрольных работ студент должен продемонстрировать знание основных определений, формулировок теорем и методов решения задач по интегральному исчислению функций одной и многих переменных, теории рядов и дифференциальных уравнений, уметь применять их для решения конкретных задач.
Контрольная работа 3 (4 модуль)
При выполнении контрольных работ студент должен продемонстрировать знание основных определений, формулировок теорем и методов решения задач по интегральному исчислению функций одной и многих переменных, теории рядов и дифференциальных уравнений, уметь применять их для решения конкретных задач.
Контрольная работа 4 (4 модуль)
При выполнении контрольных работ студент должен продемонстрировать знание основных определений, формулировок теорем и методов решения задач по интегральному исчислению функций одной и многих переменных, теории рядов и дифференциальных уравнений, уметь применять их для решения конкретных задач.
Самостоятельная работа
Экзамен (110 минут, письменная работа)
На промежуточном/итоговом контроле в письменной экзаменационной работе студент должен продемонстрировать знание основных теоретических положений дисциплины (определения, формулировки теорем, свойства математических объектов) и математического инструментария дисциплины, умение формулировать и доказывать теоремы, выбирать метод решения и решать конкретные задачи на применение этих методов. Экзамен проводится в письменной форме. Экзамен проводится на платформе http://online.hse.ru/ с синхронизацией с конференцией в ZOOM. К экзамену (конференции Zoom и вход в аккаунт платформы online.hse) необходимо подключиться за 10 минут до начала экзамена и проверить работу всех устройств и ПО. Компьютер и рабочее место студента должен удовлетворять следующим требованиям: наличие камеры, звука, скоростного интернета. Подробная процедура проведения экзамена и других письменных контрольных мероприятий изложена инструкции, размещенной в LMS, с которой студенты обязаны ознакомиться заблаговременно Кратковременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение связи не более чем на 2 минуты. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение связи на более, чем 2 минуты. При долговременном нарушении связи студент не может продолжить участие в экзамене. Уважительную причину нарушения связи студент должен подтвердить справкой от провайдера (или иных служб обеспечения связи), направив ее преподавателю дисциплины с копией в учебный офис.

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (4 модуль)
Итоговая оценка M_fin выводится на основе накопленной оценки по результатам текущей аттестации M_тк и оценки за экзамен M_exam по формуле M_fin = 0.65*M_тк + 0.35*M_exam

Программа дисциплины