Алгебра

Бакалавриат 2020/2021

Статус: Курс обязательный (Программная инженерия)

Направление: 09.03.04. Программная инженерия

Кто читает: Кафедра высшей математики

Где читается: Факультет экономики, менеджмента и бизнес-информатики

Когда читается: 1-й курс, 1, 2 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Плотникова Евгения Григорьевна, Черемных Елена Леонидовна

Язык: русский

Кредиты: 8

Контактные часы: 100

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

В результате освоения учебной дисциплины «Алгебра» студенты должны владеть следующими знаниями, умениями и навыками: знать основные понятия и методы дисциплины; уметь применять методы дисциплины для решения задач, возникающих в других дисциплинах и практической жизни; иметь навыки применения современного инструментария дисциплины.

Цель освоения дисциплины

формирование навыков работы с абстрактными понятиями высшей математики;
знакомство с прикладными задачами дисциплины;
формирование умения решать типовые задачи дисциплины.

Планируемые результаты обучения

Решает средствами линейной алгебры учебные и прикладные задачи
Описывает аналитически геометрические объекты, определяет их взаимное расположение

Содержание учебной дисциплины

Линейная алгебра
Тема 1. Комплексные числа Определение. Алгебраическая, тригонометрическая, показательная формы комплексного числа. Геометрическая интерпретация, модуль, аргумент. Операции над комплексными числами: сложение, умножение, возведение в степень, извлечение корня. Решение алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел. Тема 2. Матричное исчисление Матрицы и их преобразования. Основные определения. Виды матриц. Линейные операции над матрицами: сложение вычитание, умножение на действительное число. Свойства, арифметические операции над матрицами. Умножение матриц, свойства. Многочлены от матриц. Транспонированная матрица, свойства. Алгебра матриц. Применение матричного исчисления к решению прикладных задач. Определитель матрицы. Определители второго и третьего порядков, свойства. Перестановки и подстановки, виды. Определители п-го порядка, свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителя разложением по строке (столбцу), методом приведения к треугольному виду, по теореме Лапласса. Ранг матрицы. Ранг матрицы, ранг ступенчатой матрицы. Элементарные преобразования матрицы. Обратимость элементарных преобразований. Теоремы о ранге матрицы. Критерий линейной независимости системы строк (столбцов). Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями. Определитель произведения матриц. Ранг произведения матриц. Обратная матрица. Построение обратной матрицы элементарными преобразованиями. Тема 3. Системы линейных уравнений Матричные уравнения. Основные определения. Решение систем линейных уравнений. Совместная и несовместная системы линейных уравнений. Определенные и неопределенные системы линейных уравнений. Равносильность (эквивалентность) системы линейных уравнений. Элементарные преобразования. Матрица и расширенная матрица системы. Матричная запись системы линейных уравнений. Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных. Метод Гаусса. Решение системы линейных уравнений со ступенчатой матрицей системы. Общее решение системы линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Решение системы линейных уравнений с помощью определителей (теорема Крамера) неоднородной системы линейных уравнений. Исследование и решение линейных систем. Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы уравнений. Структура множества решений системы линейных уравнений. Теорема о выборе главных и свободных неизвестных. Численные методы линейной алгебры. Приложение матричного исчисления к задачам экономического характера. Межотраслевой баланс, модель Леонтьева.
Аналитическая геометрия
Тема 4. Элементы векторной алгебры Направленные отрезки. Равенство векторов. Сложение и вычитание векторов и их свойства. Умножение вектора на действительное число, свойства. Теорема о коллинеарных векторах. Система векторов. Базис. Разложение вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам. Координаты вектора. Длина вектора. Операции с векторами, заданными своими координатами. Скалярное произведение векторов, его свойства. Угол между векторами. Линейная зависимость векторов. Линейные векторные пространства. Трёхмерное векторное пространство. Разложение вектора по трём некомпланарным векторам. Ортонормированный базис. Векторное произведение векторов и его свойства, следствия. Смешанное произведение векторов и его свойства, следствия. N-мерное линейное векторное пространство. Тема 5. Элементы аналитической геометрии плоскости и пространства Аффинная и прямоугольная системы координат. Формулы преобразования координат при переходе от явной системы координат к другой. Полярные координаты. Метод координат на плоскости и его применение. Аффинные пространства. Прямые и плоскости в аффинном пространстве. Прямая линия. Уравнение прямой. Общее уравнение прямой на плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Параметрическое и каноническое уравнение прямой. Уравнения прямой с угловым коэффициентом ив отрезках. Плоскости и прямые в пространстве. Элементы аналитической геометрии на прямой, плоскости и в трехмерном пространстве. Уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Общее уравнение плоскости. Основные задачи на прямую и плоскость. Кривые второго порядка, общий вид. Уравнение окружности, ее характеристики. Уравнение эллипса, его характеристики. Уравнение гиперболы, ее характеристики. Уравнение параболы, ее характеристики. Тема 6. Линейные пространства и линейные операторы в них Алгебраические операции (определение, примеры). Алгебраические структуры: группы относительно сложения и умножения, кольца и поля (определения, примеры, свойства). Связь между базисами линейного пространства. Линейные подпространства. Линейная оболочка векторов. Операторы и преобразования линейных пространств. Линейные преобразования. Линейные отображения. Матрица линейного преобразования. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Базис из собственных векторов линейного преобразования. Нахождение базиса из собственных векторов линейного преобразования. Действия с линейным преобразованиями. Тема 7. Линейные, билинейные и квадратичные формы Основные определения квадратичных форм. Общий вид линейной формы в п-мерном пространстве. Преобразование коэффициентов линейной формы при изменении базиса. Общий вид билинейной формы в п-мерном линейном пространстве. Матрицы билинейной и симметричной билинейной форм. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции квадратичных форм. Знакоопределение квадратичной формы. Критерий Сильвестра определенности квадратичной формы. Тема 8. Евклидовы пространства и операторы в них Основные понятия, определения, замечания. Скалярное произведение. Неравенство Коши-Буняковского. Неравенство треугольника. Длина вектора и угол между векторами. Ортогональность векторов. Независимость попарно ортогональных векторов. Ортогональная проекция вектора на подпространство. Построение ортонормированного базиса ортогонализаций произвольного базиса. Матрица скалярного произведения в ортонормированном базисе. Ортогональные матрицы. Геометрическая интерпретация. Евклидово пространство. Ортогональные преобразования евклидова пространства. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Матрица сопряженных оператор. Самосопряженные операторы, их собственные векторы и собственные значения, ортонормированный базис из собственных векторов самосопряженного оператора.

Элементы контроля

Самостоятельная работа 1
Контрольная работа 1
Самостоятельная работа 2
Контрольная работа 2
Экзамен
Экзаменационное тестирование проводится в системе контроля знаний "Траектория" http://trajectory.hse.perm.ru/

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
0.2 * Контрольная работа 1 + 0.2 * Контрольная работа 2 + 0.1 * Самостоятельная работа 1 + 0.1 * Самостоятельная работа 2 + 0.4 * Экзамен

Программа дисциплины