Математический анализ

Бакалавриат 2020/2021

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс обязательный (Программная инженерия)

Направление: 09.03.04. Программная инженерия

Кто читает: Кафедра высшей математики

Где читается: Факультет экономики, менеджмента и бизнес-информатики

Когда читается: 1-й курс, 3, 4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Логинова Валерия Валерьевна, Плотникова Евгения Григорьевна

Язык: русский

Кредиты: 8

Контактные часы: 100

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

В результате освоения дисциплины «Математический анализ» студент должен: Знать основные понятия теории дифференциальных и разностных уравнений. Уметь производить математические расчеты в стандартных постановках, давать содержательную интерпретацию результатов вычислений. Иметь представление о сферах применения и возможностях теории дифференциальных и разностных уравнений. Обладать навыками применения современного математического инструментария для решения экономических задач, владеть методикой построения, анализа и применения математических моделей для оценки состояния и прогноза развития экономических явлений и процессов.

Цель освоения дисциплины

приобретение студентами базовых знаний по математическому анализу;
формирование навыков работы с абстрактными понятиями высшей математики;
знакомство с прикладными задачами дисциплины;
формирование умения решать типовые задачи дисциплины.

Содержание учебной дисциплины

Введение в анализ
Тема 1. Введение. Элементы теории множеств Предмет математического анализа и его роль в экономической теории. Понятие множества и подмножества. Операции над множествами. Элементы математической логики. Кванторы существования и всеобщности. Множество действительных чисел. Структура множества действительных чисел: натуральный ряд, целые, рациональные, иррациональные числа. Аксиомы действительных чисел, определение действительных чисел. Расширенное множество действительных чисел. Подмножества множества действительных чисел: отрезок, интервал, полуинтервал, окрестность. Ограниченные множества действительных чисел. Понятие наибольшего (наименьшего) элемента числового множества, грани множеств, точные грани множеств. Теорема о существовании точной верхней (нижней) грани. Тема 2. Числовые последовательности Понятие числовой последовательности. Основные способы задания числовых последовательностей. Ограниченные и неограниченные числовые последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие числовые последовательности. Свойства бесконечно малых числовых последовательностей. Определение предела числовой последовательности. Свойства сходящихся числовых последовательностей. Арифметические действия со сходящимися числовыми последовательностями. Монотонные числовые последовательности. Существование предела ограниченной монотонной последовательности. Число «е». Экономический смысл числа «е» и экспоненты. Тема 3. Функции одной переменной Понятие функции. Способы задания функции: аналитический, логический, графический, табличный. Задача интерполяции. Неявно заданная функция. Функции заданные параметрически. Общие свойства функций: область определения, множество значений, четность, периодичность, нули функции, ограниченность, монотонность, наибольшее, наименьшее значение функции на множестве. Операции над функциями. Композиция функций: сумма (разность), произведение, частное двух функций. Суперпозиция двух функций, сложная функция. Понятие обратной функции. Основные свойства взаимно-обратных функций. Необходимое условие существования обратной функции. Классификация функций. Простейшие элементарные функции (графики, основные свойства). Элементарные функции: целые рациональные (линейная, квадратичная функции), дробно-рациональные (дробно-линейная функция), иррациональные, трансцендентные. Свойства и графики степенных функций. Функции в экономическом анализе. Тема 4. Предел функции Предел функции. Определение предела функции на языке  – , на языке последовательностей. Правый, левый предел функции. Предел функции на бесконечности. Различные виды предельного перехода. Понятие бесконечно малых и бесконечно больших функций. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших. Ограниченные функции. Монотонные функции. Существование предела монотонной функции. Свойства функций, имеющих предел. Вычисление пределов: пределы основных элементарных функций, предел многочлена, рациональной дроби. Типы неопределенностей. Первый замечательный предел, его следствия. Второй замечательный предел, его следствия. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших в окрестности заданной точки. Функции одного порядка, функции высшего и низшего порядка малости и роста, эквивалентные бесконечно малые, главная часть функции, применение при вычислении пределов. Тема 5. Непрерывность функции Различные определения непрерывности функций в точке. Непрерывность справа (слева). Взаимосвязь понятий. Точки разрыва, их классификация. Свойства функций, непрерывных в точке. Непрерывность функции на множестве. Свойства функций, непрерывных на множестве: теорема Больцано-Коши о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение, следствие теоремы о прохождении через нуль при смене знаков, теоремы Вейерштрасса об ограниченности непрерывной функции и достижении верхней и нижней грани. Понятие обратной функции. Непрерывность обратной функции. Равномерная непрерывность функции. Связь с понятием непрерывности. Теорема Кантора.
Дифференциальное исчисление функции
Тема 6. Производная и дифференциал функции одной переменной Определение производной функции в точке, понятие правой и левой производной, связь понятий. Вычисление производной по определению. Понятие дифференцируемости функции в точке, теорема о необходимом и достаточном условии дифференцируемости, связь свойств дифференцируемости и непрерывности. Дифференциал функции. Геометрический смысл производной и дифференциала. Уравнения касательной и нормали к графику функции. Физический смысл производной. Производная суммы, разности, произведения и частного функций. Производная обратной функции. Производная и дифференциал сложной функции, инвариантность формы первого дифференциала. Производные основных элементарных функций (вывод по определению). Таблица производных. Логарифмическая производная, производная степенно-показательной функции. Производные и дифференциалы высших порядков. Тема 7. Основные теоремы дифференциального исчисления Локальный экстремум функции. Теорема Ферма (необходимое условие локального экстремума). Теорема Ролля (о нуле производной). Теорема Лагранжа, формула конечных приращений. Условие постоянства функции. Теорема Коши, обобщенная формула конечных приращений. Правило Лопиталя, (случай 0/0, случай /). Раскрытие неопределенностей. Тема 8. Исследование функции Возрастание, убывание функции. Признаки монотонности функции на интервале. Достаточное условие возрастания (убывания) функции в точке. Общая схема исследования функции на монотонность. Необходимое условие экстремума. Стационарные точки. Экстремум функции, не дифференцируемой на интервале, критические точки. Достаточные условия экстремума по первой производной, по старшим производным. Общая схема решения задачи на экстремум функции. Направление выпуклости графика функции. Признак направления выпуклости. Точки перегиба. Необходимые и достаточные условия перегиба. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения графиков. Тема 9. Функции нескольких переменных Понятие n-мерного евклидового пространства (Rn)¬, интерпретация элемента пространства Rn как точки, как вектора. Окрестности точек в Rn. Понятие функции нескольких переменных, основные способы задания. График функции. Множества уровня. Предел функции n переменных. Непрерывность функции. Предел по множеству. Повторные пределы. Свойства пределов функции. Свойства непрерывных функций на множествах: аналоги теорем Вейерштрасса и Больцано–Коши. Тема 10. Дифференцирование функций нескольких переменных Частные производные. Дифференцируемость функций многих переменных. Дифференциал. Геометрический смысл частных производных и дифференциала. Свойства дифференцируемых функций – связь непрерывности и дифференцируемости. Дифференцирование сложной функции, инвариантность формы дифференциала. Неявно заданные функции и отображения. Вычисление производных неявно заданных функций. Уравнения нормали и касательной плоскости к графику функции. Производная по направлению. Градиент, его свойства. Частные производные и дифференциалы высших порядков, теорема о равенстве смешанных производных. Тема 11. Экстремум функции нескольких переменных Понятие локального экстремума функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия. Случай двух переменных. Условный экстремум. Прямой метод отыскания условного экстремума. Метод неопределенных множителей Лагранжа. Необходимые и достаточные условия относительного экстремума. Задача о нахождении наименьшего и наибольшего значения функции в области. Метод наименьших квадратов.
Интегральное исчисление
Тема 12. Неопределенный интеграл Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблицы интегралов. Непосредственное интегрирование. Методы интегрирования: замена переменной, формула интегрирования по частям. Интегрировании рациональных дробей. Интегрирование иррациональных функций. Интегрирование тригонометрических функций. Тема 13. Определенный интеграл и его приложения Задача о площади криволинейной трапеции. Определения интеграла. Интегральная сумма Римана, геометрический смысл интегральной суммы. Понятие интегрируемой функции. Свойства интегрируемых функций и определенного интеграла. Производная определенного интеграла с переменным верхним пределом по этому пределу. Теорема о существовании первообразной. Основная формула интегрального исчисления. Формула замены переменной в определенном интеграле. Формула интегрирования по частям. Приложения определенного интеграла. Интегральная теорема о среднем. Вычисление площади плоской фигуры. Вычисление длины дуги кривой. Вычисление объемов. Приближенное вычисление определенных интегралов: формула прямоугольников, трапеций, Симпсона. Понятие о несобственных интегралах. Определения. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов. Признаки сходимости: признаки сравнения, критерий Коши, признаки Дирихле и Абеля. Абсолютно и условно сходящиеся интегралы. Тема 14. Двойные интегралы Задача об объеме цилиндрического тела. Определение, геометрический смысл и свойства двойного интеграла. Сведение двойного интеграла к повторному. Замена переменной в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярной системе координат. Приложения двойного интеграла.
Ряды
Тема 15. Числовые ряды Определение числового ряда. Частичные суммы ряда. Понятие сходящегося числового ряда. Свойства сходящихся рядов: необходимое условие сходимости ряда, линейная комбинация сходящихся рядов, свойства остатка ряда. Критерий Коши сходимости ряда. Достаточные признаки сходимости положительных числовых рядов: интегральный признак Коши-Маклорена, признак Даламбера, радикальный признак Коши, признаки сравнения. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Знакопеременные ряды. Абсолютная, условная сходимость. Сходимость абсолютно сходящегося ряда. Признак Лейбница как признак условной сходимости. Тема 16. Степенные ряды Понятие функционального ряда. Сходящийся, абсолютно сходящийся ряд. Понятие интервала и области сходимости. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Абсолютная сходимость степенного ряда внутри интервала сходимости. Свойства степенных рядов. Почленное дифференцирование и интегрирование степенного ряда. Разложение функций в степенные ряды, ряд Тейлора и Маклорена. Приближенные вычисления.

Элементы контроля

Самостоятельная работа 1
Контрольная работа 1
Самостоятельная работа 2
Контрольная работа 2
Экзамен
Экзамен проводится в очной форме

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (4 модуль)
0.2 * Контрольная работа 1 + 0.2 * Контрольная работа 2 + 0.1 * Самостоятельная работа 1 + 0.1 * Самостоятельная работа 2 + 0.4 * Экзамен

Программа дисциплины

Программа дисциплины

Аннотация

Цель освоения дисциплины

Содержание учебной дисциплины

Элементы контроля

Промежуточная аттестация

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

Рекомендуемая дополнительная литература